1、1专题 23 平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：（1） “三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以 A， B， C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：_x0001_ 作平行线：如图，连结 AB， BC， AC，分别过点 A， B， C 作其对边的平行线，三条直线的交点为 D， E， F则四边形 ABCD， ACBE， ABFC 均为平行四边形FEDCBA倍长中线：如图，延长边 AC， AB， BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点 D，
2、E， F，连结 DE， EF， FD则四边形 ABCD， ACBE， ABFC 均为平行四边形ABCDE F（2） “两个定点、两个动点”的平行四边形存 在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答如图，若 AB CD 且 AB CD，分别过点 B， C 作一组平行线 BE， CF，分别过点 A， D 作一组平行线 AE， DF，则 AEB DFC，从而得到
3、线段间的关系式解决问题2ABC DE F（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论 列方程，然后解方程并检验如图已知平行四边形 ABCD连结 AC， BD 交于点 O设顶点坐标为A（ xA， yA） B（ xB， yB） ， C（ xC， yC） ， D（ xD， yD） ODCB A_x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标： , ,.BACDBCADxxxyyy -=-=- 或利用中点坐标公式求未知点的坐标： ,2.ACBDxxyy+=有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好例题讲解例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 mx n 经过点 A（3，0） ，
4、B（0，3） ， P 是直线 AB 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的表达式；（2）是否存在这样的点 P，使得以点 P， M， B， O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由yxMOPB A3解：（1）将点 A， B 的坐标代入抛物线的表达式，得 y x22 x3设直线 AB 的表达式为 y kx b，将点 A， B 的坐标代入，得 y x3（2）存 在因为 PM OB，所以当 PM OB 时，四边形即为平行四边形根据题意设点 P 的坐标为（ p， p3） ，则点 M 的坐标为（ p， p
5、22 p3） 所以 2(3)()p-=解得 ，故满足条件的点 P 的横坐标为 1= 312=例 2 边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， D 是 OA 边的中点，连结 CD，点 E 在第一象限，且 DE DC， DE DC，以直线 AB 为对称轴的抛物线过 C， E 两点（1）求抛物线的表达式；（2） M 为直线上一动点， N 为抛物线上一动点，问：是否存在点 M， N，使得以点M， N， D， E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由ExyO ABCD图1GExyO ABCD解 （1）如图 1，过点 E 作 EG x
6、 轴于点 G易证 ODC GED（ AAS） ，所以 2=所以点 E 的坐标为（3，1） 而直线 AB 为抛物线的对称轴，直线 AB 的表达式为 x2，所以可设抛物线的表达式为 y a（ x2） 2 k，将 C， E 两点的坐标代入表达式，得 解得4,1+=1,32.ak所以抛物线的表达式为 22143yxx（2）存在由题意可设点 M 的坐标为（2， m） ， N 的坐标为 21,3n以点 M， N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：4当 DE 为平行四边形的边时，（i）如图 2，若 DE MN， MD NE，由平移的性质可得 213401nm解得 1.4n此时点 M 的坐标为
7、（2，1） ， N 的坐标为（4，2） （ii）如图 3，若 DE MN， ME ND由平移的性质可得 23.01.nm解得 3.0mn此时点 M 的坐标为（2，3） ， N 的坐标为（0，2） 当 DE 为平行四边形的对角线时，如图 4由平行四边形对角线互相平分性质可得 213.4.3nm5解得1.32mn此时点 M 的坐标为 ， N 的坐标为,2,.3例 3 如图，抛物线 的顶点为 D（1，4） ，与 y 轴交于点2yxbcC（0，3） ，与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求抛物线的表达式；（2）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A
8、， C， E， F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）将点 C， D 的坐标代入抛物线的表达式，得 23.yx（2）存在令 1230,3.xx解 得所以点 A 的坐标为（3，0） ， B 的坐标为（1，0） 由点 F 在抛物线上可设点 F 的坐标为 2,3m方法一：如图 1、图 2，当 AC 为平行四边形的边是，图 1 图 2yxOPFEDCBAyxOPFEDCBA6过点 F 作 FP 垂直于抛物线的对称轴，垂足为 P易证 PEF OCA所以 PF AO3，从而点 F 的坐标为（2，5）或（4，5） 如图 3，当 AC 为平行四
9、 边形的对角线时，过点 F 作 FP y 轴于 点 P令抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，易 证 PCF QEA所以 PF AQ2，从而点 F 的坐标为（2，3） ，此 时点 F 与点 C 纵坐标相同，所以点 E 在 x 轴上yxOPFEDCBA图 3方法二：如图 3，当 AC， EF 为平行四边形的对角线时，可得 20Exmy， 又因为点 E 在抛物线的对称轴上，所以 m2 ，则点 F 的坐标为（2，3） 如图 1，当 AE， CF 为平行 四边形的对角线时，可得 25Exy+， 又因为点 E 在抛物线的对称轴上，所以 m4，则点 F 的坐标为（2，3） 如图 2，当 AF， CE 为平行四
10、边形的对角线时，可得 Exy， 又因为点 E 在抛物线的对称轴上，所以 m2则点 F 的坐标为（2，5）综上可得，满足 平行四边形的点 F 的坐标为（2，3）（4，5）（2，5）进阶训练1如图，四边形 ABCD 是直角梯形， AD/BC， B90， AD24cm， BC28cm，点 P 从点 A 出发，沿 AD 以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，沿 CB 以 3cm/s 的速7度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动问：从运动开始，经过多长时间，四边形 PQCD 成为平行四边形？P CAB DQ2如图，抛物线 y ax bx c 过 A（
11、3，0）， B（1，0）， C（0，3） 三点，抛物线的顶点位 P（1） 求抛物线的表达式；（2）直线 y2 x3 上是否存在点 M，使得以 A， P， C， M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 xyPOCBA3如图，在矩形 OABC 中， OA5， AB4，点 D 为边 AB 上一点，将 BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以 OC， OA 所在的直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系若点 N 在过 OD C 三点的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，问是否存在这样的点 M 与点 N，使得以 M，
12、N， C， E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出 M 点坐标;若不存在，请说明理由答案：存在满足条件的点 M，其坐标为（2，16） ， （6，16）或（2， ） 316提示：易证 DAE EOC，从而点 D 的坐标为 ，得到过点 O， D， C 的抛物线的)5-,3(解析式为 再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，xy31642+=从而找到符合条件的点 M （参考例 3 的方法二）4如图，抛物线与 x 轴交于点 A（5，0） ， B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，5） 有一宽度为 1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 x 轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物
13、线8于点 P， Q交直线 AC 于点 M， N在矩形的平移过程中，当以点 P， Q， M， N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标答案：点 M 的坐标为（2，3） ， )63,2-()63,-2(+或提示由点 A， B， C 的坐标可得抛物线的表达式为 ，直线 AC 的表达式5-12=xy为 y x5，设点 M 的坐标为（ t， t5） ，则点 N（ t1， t4） ， P（ t，)316-,()32-12+tQt在矩形平移的过程中，以 P， Q， N， M 为顶点的平行四边形有两种情况：当 P， Q 在直线AC 同侧时，有 yP yM yQ yN，得到点 M 的坐标为（2，3）;当 P， Q 在直线 AC 异侧时，有 yP yM yN yQ得到点 M 的坐标为（2 ，3 ）或（2 ，3 ） 66
