1、实例 考虑n个小学生列队散步的问题：设有n个小学生，每天他们要排成一列队到公园散步一次，除第一个学生外，每个学生前面都有另一个学生，由于学生们不喜欢每天排在自己前面的同学总是同一个人，他们希望每天都要改变一下排在自己前面的那个人，问有多少种方法改变他们的位置?,3.4 相对位置上有限制的排列问题,这个问题实质上是一个相对位置上有限制的排列问题。将它抽象成一般的数学问题： 对于给定的正整数n，计算集合1,2,n的且不允许出现12，23，34，(n-1)n的全排列个数Qn。, 对于这个问题，有下列定理，其结论就是该问题的解。,对于n1，有,定理3.4,证明：设S是集合1,2,n的所有全排列组成的集
2、合，显然有S=n!。 令pj(j=1,2,n-1)表示S中的排列有形式j(j+1)出现这一性质。而Aj(j=1,2,n-1)表示S中具有性质pj的排列所组成的集合。于是S中不具有性质p1,p2,pn-1的排列的集合为,因而有,定理3.4,由容斥原理有,定理3.4,由于Aj表示S中具有性质pj的排列所组成的集合。于是A1中的一个排列可以看作是具有(n-1)个元素12,3，4，,n的一个排列， 因此有A1=(n-1)! 同理 Aj=(n-1)!(j=2,3,n-1),定理3.4,又由于AiAj表示S中同时具有性质pi,pj的排列所组成的集合。于是A1A2中的一个排列可以看作是具有(n-2)个元素1
3、23,4，5，,n的一个排列， 因此有A1A2=(n-2)!而A1A3中的一个排列可以看作是具有(n-2)个元素12,34，5，,n的一个排列， 因此也有A1A3=(n-2)!,定理3.4,类似地，有 AiAj=(n-2)!(ij;i,j=1,2,n-1) 一般地，一个具有性质p1,p2,pn-1中的k-个性质的排列可以看作是具有(n-k)个元素的一个排列。,从而对于1,2,n-1中的一个k-组合i1,i2,ik有,定理3.4,由本3.4定理知，当问题中的n=6时，满足题设要求的方法数为,又由于对k=1,2,n-1有 个1,2,n-1的k-组合。将以上值代入Qn表达式可得,定理3.4,由此可见
4、 相对位置上有限制的排列问题实际上也是一个错排问题。 它与前节中讲的错排问题都是一种有限制条件的排列，所不同的仅在于： 前节计算的是1,2,n的且第i个位置上不允许出现i(i=1,2,n)的排列数，即计算的是1,2,n的且有一些绝对禁用位置的排列个数。 而本节则研究的是计算1,2,n的且有某些相对禁用位置的排列数。,利用式(3.10)可以从已知的Dn，Dn-1来计算Qn。,只要仔细考察式(3.9)，不难发现相对位置上有限制的排列问题与错排问题有着密切的关系。它体现在下面的定理中。,定理3.5,当n2时，有 Qn=Dn+Dn-1 (3.10),证明：留作练习。,解：这个问题实际上是求集合 1,2
5、,n的圆排列中不出现12，23，(n-1)n,n1的圆排列个数。,例1,有n名儿童围坐在一个旋转木马上，问有多少种方式改变他们的座位，使得每个儿童有一个不同的儿童坐在他们的前面。,设S是集合1,2,n的所有圆排列组成的集合，由式(1.6)知S=(n-1)! 又设pi(i=1,2,n-1)表示S中圆排列具有i(i+1)形式这一性质。pn表示S中圆排列具有n1形式这一性质。,令Ai(i=1,2,n)表示S中具有性质pi的元素组成的集合。则 就表示S中不具有性质p1,p2,pn的元素组成的集合,由容斥原理有,由于A1是所有圆排列中出现12的圆排列的集合，故A1的一个圆排列可以看成是具有n-1个元素的
6、集合1，2,3，,n的一个圆排列， 因此有A1=(n-2)! 同理可得Ai=(n-2)!i=2,3,n,类似地，A1A2中的一个圆排列可以看成是具有n-2个元素的集合123,4，,n的一个圆排列， 故有 A1A2=(n-3)!同理有AiAj=(n-3)!(ij;i,j=1,2,n),一般地，对于1kn-1，有,故所求方式数为,解：令S表示集合A中所有全排列组成的集合，p1表示在S中的一个排列出现abc这一性质，p2表示在S中的一个排列出现efgh这一性质，Ai(i=1,2)表示S中具有性质pi的排列所组成的集合， 则 表示不出现abc也不出现efgh的排列所组成的集合。,例2,求集合A=a,b,c,d,e,f,g,h的全排列中，abc和efgh均不出现的全排列个数。,而S=8!。A1的一个排列相当于集合abc,d,e,f,g,h的一个排列， 故A1=6!,由容斥原理式(3.4)有,例2,同样，A2的一个排列相当于集合a,b,c,d,efgh的一个排列， 故A2=5! 而A1A2的一个排列相当于集合abc,d,efgh的一个排列， 故 A1A2=3! 所以A1A2=8!-(6!+5!)+3!=39486,例2,于是，在集合A的全排列中，abc和efgh均不 出现的全排列个数是39486。,例题3：求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个不在原来位置的排列数。,
