1、2016 届江苏省溧水高级中学高三迎三模模拟卷(4 月) 数学数学试卷(2016 年 4 月) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上)1、已知集合 2,1A, 1,0B,则集合 BA的所有子集的个数为 个。2、已知 ,ab为实数,设复数 izab满足 2iz( 是虚数单位) ,则 = 3、运行下面的一个流程图,则输出的 S值是 4、从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 5、已知等比数列 na的公比为正数,且 3a 9=2 25, a=1,则 1a= 6、如图,已知正方体 1D
2、CBA的棱长为 2, O为底面正方形 ABCD的中心,则三棱锥 的体积为 7、已知椭圆 152tyx的焦距为 62,则实数 t 8、已知 ),0(,,若 54)sin(,135)cos(,则 2cos 9、已知函数 xfln,若直线 l过点 0并且与曲线 )(xfy相切,则直线 l被圆4)2(yx截得的弦长为 10、设椭圆 C的两个焦点为 1F、 2,过点 1的直线与椭圆 C交于点 ,MN,若 21F,且11,MFN,则椭圆 的离心率为 11、 平行四边形 ABD中 6, 4A,若点 ,满足: 3B, DNC,则 12、已知函数 )0(24)(xmxf,若方程 xf2)(有且只有一个实数根,则
3、实数 m的取值范围为 13、已知函数 2(),()fxg,若存在整数 ,ab,使得 ()fxgb的解集恰好是 ,ab,则 的值为 1B C 1A AD B O 14、若 yx,为实数,且 72yx,则 2yx的最小值为 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15、(本小题满分 14 分)在 ABC中, cba,分别是角 CBA,的对边, )cos,(),2,(CBncabm,且 nm/。(1)求角 的大小;(2)设函数 0sicos)( xBxf ,且函数 (xf的最小正周期为 ,求函数 )(xf在区间 ,0上的值域。16、(本小题满分 14
4、 分)如图,在四棱锥 ABCDP中,四边形 ABC为矩形, NMBP,分别为 PDAC,的中点。(1)求证: /MN平面 ;(2)求证:平面 平面 的充要条件是 。17、(本小题满分 14 分)某服装企业从事 M国某品牌服装的加工业务,按照国际惯例以美元结算。依据以往的加工生产数据统计分析,若加工订单的金额为 x 万美元,可获得的加工费的近似值为 )12ln(x万美元。受美联储货币政策的影响,美元持续贬值。由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失 mx美元(其中 m 是该时段的美元贬值指数,且 0m1),从而实际所得的加工费为 ()ln(21)fxmx万美元(1)若某
5、时段的美元贬值指数 201,为了确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增加,该企业加工产品订单的金额 x 应该控制在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为 201万美元。已知该企业的生产能力为 0,1x,试问美元贬值指数 m 在何范围内时,该企业加工生产不会出现亏损?(提示:已知 12)(lnx, 1)ln(x)18、(本小题满分 16 分)已知圆 )0(:22ryxO,点 P为圆 O上任意一点(不在坐标轴上),过点 P作倾斜角互补的两条直线分别交圆 于另一点 BA,。(1)当直线 P的斜率为 时,若点 的坐标为 )57,1(,求点 的坐标;若点 的横
6、坐标为 2,且 P,求 r的值.(2)当点 在圆 O上移动时,求证:直线 O与 AB的斜率之积为定值.19、(本小题满分 16 分)已知直线 01yx为函数 bxfalog)(在点 )1(,f处的一条切线。(1)求 a,b 的值;(2)若函数 ()yfx的图象 1C与函数 ()ngxm(n0)的图象 2C交于 1()Pxy,, 2()Qxy,两点,其中 1x 2,过 PQ 的中点 R 作 轴的垂 线 分 别 交 1C, 2于点 M、N,设 C1在点 M 处的切线的斜率为 1k,C2在点 N 处的切线的斜率为 2k,求证: 1k 220、(本小题满分 16 分)已知数列 nx和 y的通项公式分别
7、为 nxa和 1,ynbN(1)当 5,3ba时,试问: 24x分别是数列 ny中的第几项?记 nc,若 kc是 中的第 m项 (,)kN,试问: 1kc是数列 ny中的第几项?请说明理由;(2)对给定自然数 a,试问是否存在 1,2b,使得数列 nx和 有公共项?若存在,求出 b的值及相应的公共项组成的数列 nz,若不存在,请说明理由附加题1、已知矩阵 的一个特征值为 ,其对应的一个特征向量为 ,已知 ,求 . 2、在直角坐标系 xoy 中,直线 的参数方程为 (t 为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为
8、 。()求圆 C 的直角坐标方程;()设圆 C 与直线 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 ,求|PA|+|PB|。3、某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为 , 乙的命中率为 , 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“ 先进和谐组”.(1 )若 , 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;(2 )计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组” 的次数为 , 如果, 求 的取值范围.4、如图,已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,AC,M 是 的中点,N 是 BC 的中
9、点,点 P 在直线 上,且满足.()当 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大?()若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 ,试确定点 P 的位置.2016 届高三三模模考数学参考答案及评分标准一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1 8; 2 53; 3 35; 43; 5 2; 6 3; 7 6,2; 8 6;9 14; 10. 2; 11 9; 12 ),1813 2; 14 7二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15(本小题满分 14 分)解:(1)由
10、 nm/,得: BcaCbos)2(cos 2 分由正弦定理得: ABinsi )0(sincsi)si(cosin AC4 分21且 ),0(,故 3 6 分(2)由(1)知: xxxxf sinis6cossin)6cos( )in(3)21i23sinx8 分由函数 )(f的最小正周期为 ,得 ,即 62si(xxf 10 分又因为 2,0x,所以 65,x,故 1,)in 12 分从而函数 )(f在区间 ,上的值域为 3,2。 14 分注意:第(1)问中不交代角 B的范围,直接写角的大小扣一分;第(2)问中不交代角 62x的范围,直接写三角函数的大小扣一分。16(本小题满分 14 分)
11、证明:(1)连接 BD,由已知,M 为 AC 和 BD 的中点,又因为 N 为 PD 的中点 /NBP 2 分AA平 面,平 面 平面 ABP 6 分注意:条件“ BPBP平 面,平 面 ”少写一个扣除 2 分,两个都不写本小步 4 分扣完!(2) CAB, ,BP、BC 在平面 BPC 内交于 BBPCA平 面 8 分充分性: ,A面平面 ABP平面 C 11 分必要性:过点 B 作 EP于 E平面 平面 BAC面 BEP CABPA面14 分注意:不说明充分性、必要性的扣 1 分,充分性、必要性写反了的扣 2 分!17解:(1)由已知 20m,则 )0()12ln()xxf所以 )(191
12、)(/ xf 2 分由 0290f ,解得 0x99.5即加工产品订单金额 )5.,(x(单位:万美元),该企业的加工费随 x 的增加而增加。5 分(2)依题意设,企业加工生产不出现亏损,则当 20,1x时,都有 xmx201)ln(1。 6 分法一:即 0()在 x10,20 时恒成立7 分所以,g(x) ming(20)10ln41 20(20 m1)0,m ln4120,又 m0,所以,m(0, ln4120时,该企业加工生产不会亏损 14 分法二:变量分离 01)(x,令 2)l(2ttx.7 分求出函数的最小值: ln4120 12 分正确写出答案: m(0, 时,该企业加工生产不会
13、亏损 14 分18(本小题满分 16 分) 解析:(1)因为点 A)57,1(在圆 O上,所以 254912r,即圆 2:2yxO.当直线 P的斜率为 2时,直线 P的方程为: xy.联立直线与圆方程 1,代入消去y得: 01452x,解得: 51x或 ,所以点 P的坐标为 )1,(. 4 分因为直线 A与直线 B的倾斜角互补且直线 A的斜率为 2,所以直线 A的斜率为 2。设点 P的坐标为 ),(t,则直线 P的方程为: 042ty,直线 B的方程为: 0tyx。圆心0,到直线 ,的距离分别为 5|,|21d。由垂径定理得:5)4(2,5)4(22trPBtrPA。因为 PBA,故 )1(4
14、80315803)()( 2222 trttt,又因为点P),2(t在圆 O上,所以 )2(42rt,联立 )(解得 37rt或 13rt。10 分(2)由题意知:直线 PBA,的斜率均存在。设点 P的坐标为 )0,)(0yx,直线 PA的斜率为 )1(k,则直线 PA的方程为:(00xky,直线 O的斜率为 0x。联立直线 PA与圆 方程 022ykyrx,消去 得:)()(2)1( 200 kxk,因为点 P在圆 O上,即 202ryx,所以 0201ykxry,代入得:xkxk)()(02 )(。由韦达定理得: Ax0 202002 1)(1)( kyxxkyxA,代入直线 PA的方程得
15、:2001kyyA,故点 坐标为 20)( ),200,用 “代替 得:点 B的坐标为 201)(kyx)1,20kyx,所以 ,1)(22000ykxxBABA 。因为点 ,都在圆 22r上,所以 22ryxBA,两式相减得:0)()(BABAyxx,所以 BABAyxxyk022002)1(yxkky,故 10yABOP。当 时,点 A的坐标为 ),0(此时点 与点 关于坐标原点对称,故 1OPk),点 B的坐标为 ),(0xy,故 10yxkB,满足 1ABOPk。同理,当 1k时,也满足 A。综上,当点 P在圆 O上移动时,直线 与 的斜率之积为定值 。16 分19解:(1)直线 1xy的斜率为 1,且过 (0),点,又 ()lnfxa, log10ab,3 分, e0b,; 5 分(2) PQ的中点为 1212()lnxyfx,, 6 分 121 2(ln)xk, 7 分12122 21xxnnmmx, 8 分