1、教学基本信息课题 点到直线的距离 授课人 北京市密云区第二中学 王 玥学科 数 学 学段 必 修 2相关领域 解 析 几 何教材 书名：普通高中课程标准试验教科书数学（必修 2）出版社：人民教育出版社指导思想与理论依据建构主义学习理论认为：个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中。所以，教学应当重视学生已有的经验，把这些经验作为新知识的生长点，引导学生从原有经验中“生长”出新的知识经验。教学不是简单的知识传递，而是知识的处理和转换。同时数学课程标准明确指出：“倡导积极主动，勇于探索的学习方式。 ”基于此，本节课的教学从学生初中课
2、本中的一个例子出发，引导学生发现解决同一问题的不同途径和方法。通过对几个具体的特殊的情况的分析和解决，从而得出推广到一般情况下的结论，体现了由特殊到一般的解决问题的方法。对于解决问题两种方法的思考来源，追问学生依据是什么，让学生体会新、旧知识之间的处理和转换，符合学生的认知特点。学生活动的设计，围绕以学生为中心，突出学生的主体作用。教学背景分析直线与方程是平面解析几何的第一章，是研究解析几何的起始章节。在方法上介绍了坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。 点到直线的距离这一节，是联结两点间的距离和两条平行直线间的距离的桥梁。它既是两点间距离的应用，又是两条平行直线间距离公式的来源，还可以求三
3、角形的高，求圆心到直线的距离，求抛物线的方程等等。无论是从知识结构还是教材的编排上看，它都是本章的核心内容。学生刚刚接触解析几何，对坐标法的理解和掌握都不是很到位，因此本节课的教学继续强化学生对坐标法的理解和应用。学生已经掌握了直线的倾斜角和方程、直线的方程、两点间的距离等相关知识，在此基础上继续进行对点到直线的距离的探索。通过本节课的教学，能让学生在探索过程中深刻的体会到新、旧知识之间的联系，领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想，由浅入深，由特殊到一般的研究数学问题的方法，培养学生的发散思维。本节课我采用启发式教学、计算机辅助教学等教学方式。启发式教学
4、重视全面发挥学生的主观能动性，启发学生通过自己积极主动的思维去获取知识，发展思维能力，培养智力。启发式教学主要是善于问答，从引入的问题开始，通过一个个精心设计，逐步递进的问题，引发学生思考，引导学生探索公式推导的思路并完成公式的推导，培养学生思维的灵活性，严密性，渗透数学思想。计算机辅助教学，使学生直观感知点到直线的距离，并由特殊情况推广到一般情况，从而突破难点。谈话法是对部分学生进行前测，找到他们在恒等变形中存在的问题，针对这一问题，我在直线是特殊的位置时，即平行（或垂直于）坐标轴时，向学生渗透了 轴互换位置的想法，提高了学生对推导公式yx,的操作性。建构主义的学生观认为教学应当重视学生已有
5、的经验，把这些经验作为新知识的增长点，引导学生从原有经验中“生长出”新的知识经验。因此，在推导点到直线的距离公式的第一种方法中，将点到直线距离转化为两点间距离，体现了“化归”的数学思想方法。第二种方法运用了推导两点间距离公式中构造直角三角形的方法，培养学生学以致用的能力。教学目标教学的目的是促进学生的发展，一是掌握数学基本知识、基本技能、基本思想、基本方法，二是培养数学能力，三是培养个性品质，得到全面发展，因此我将教学目标定为：1.推导点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式，会利用公式求点到直线的距离；2.学生通过自主探究，个别展示，互助交流，共同寻求点到直线的距离公式的推导方法，在探究过
6、程中，学生体会数形结合，化归与转化的数学思想方法，以及由特殊到一般的研究方法。3.学生能够用联系的观点看问题，在探究问题的过程中形成锲而不舍的钻研精神，并体验成功的喜悦。重、难点从学生已有的知识和经验看，可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题，从而完成任务，此种方法虽然思路清晰，但是计算量大，所以公式的推导是难点。公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合，等价转化等） ，所以公式的推导也是重点，基于在解析几何中点到直线的距离公式的频繁应用，因此也将点到直线的距离公式的简单应用作为重点。教学阶段教师活动 学生活动 设计意图创设情境引入新课尝试探一、创设情境，引入新课问题 1：如图，在灌
7、溉时，要把河中的水引到农田 P处，如何挖渠能使渠道最短？如何求这条最短渠道的长度？问题 2：点到直线的距离的定义是什么？直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。二、尝试探究，合作交流问题 3：已知一定点 P 的坐标为 ，自己动手画)1,2(直线，并试着求出此时点 P 到直线 的距离。l教师通过巡视，学生画的直线分三类：垂直于 轴的x直线，垂直于 轴的直线，既不垂直于 轴也不垂直y于 轴的直线。前两种情况，找学生说出具体的做法，然后将点的坐标和直线的方程推广到一般情况，表示点到直线的距离。学生观察图片，找到解决问题的途径和方法，并回忆初中求距离的方法。学生思考并回答定义。学生动手
8、在坐标纸上画一条直线，找具有代表性的学生作品进行展示。从学生熟悉的初中课本的例子出发，学生有亲切感，能够激发学生学习兴趣。同时也考查学生从实际问题中抽象出数学问题的能力，引出高中阶段解决几何问题的方法可以不同于初中，初中可以进行度量，而高中阶段我们可以用坐标法解决几何问题，为本节内容的引出做好铺垫。明确点到直线的距离的定义，为学生推导点到直线的距离究合作交流（1） 当直线垂直于 轴时：x， ),(0yxPal:ad0（2） 当直线垂直于 轴时：y， ),(0bl:b0观察两个式子，当直线垂直于 轴时，得到了点x到直线的距离 ，当直线垂直于 轴时，就axd0y可以看成是 轴， 轴互换位置，只要把
9、式子中的y换成 ，相应的 换成 即可。xb问题 4：当直线既不垂直于 轴也不垂直于 轴时，xy如何求点 P 到直线 的距离？给出一组具体点的坐标l和直线的方程，求此时点到直线的距离。法 1: 利用两点间距离公式 如图，由 可得直线 的斜率为 ，则042yxl2直线 PQ 的斜率为 ，由直线方程的点斜式，可得直1线 PQ 的方程为： ，联立方程2xy，得点 Q 的坐标为 ，由两点间214xy )51,4(距离公式可得 .7)2()(P方法 1 利用了两点间距离公式，将点到直线的距离转学生回答点到直线的距离的表示。学生展示方法 1教师点评后，学生思考其中所蕴含的公式奠定基础。使学生体会由特殊到一般
10、的思想，由具体到抽象的解决问题的方法，将 轴， 轴xy互换位置的思想也为后面推导点到直线的距离公式提供一种思路，可以减少学生的计算量，为公式的获取节省时间。通过巡视，选取具有代表性的解法，前面展示的同学与未展示的同学可以产生共鸣。可以吸引学生的注意力，找到自己与展示同学方法的异同。化为以前学习过的两点间的距离，思路比较清晰，学生能够体会坐标法的思想，但是计算上略显繁琐。学生总结用两点间距离公式求点到直线的距离的步骤：方法 2：等面积法如图，过 点分别作 轴和 轴的平行线，交直线Pxy与 R 和 S，则直线 PR 的方程为 ,R 的坐标为l 1，直线 PS 的方程为 ，S 的坐标为 ，)1,23
11、( 2x)8,2(于是 由三角形面积公,7P,S,57R式可得， ,所以Pd d数学思想方法。学生总结利用两点间距离公式求点到直线的距离的步骤。学生展示方法 2通过学生之间的纠错，点评，能够发现自己的问题，解题步骤的总结，也为解决同一类提供了解决的方法和途径。使学生掌握解决同一类问题的规范的解题步骤。充分发挥学生学习的主动性，通过多种解法，解决问题，在上课的过程中，学生可能还会有其他的解法，在分析思路以及方法的可行性后，教师要确定直线 的斜率lk求与 垂直直线的斜率l求过点 P 垂直于 的直线 的方程ll求 与 的交点 Ql求点 P 与点 Q 间的距离得到点 P 到 的l距离方法 2 利用三角
12、形面积相等，在计算上要优于方法 1。先求与坐标轴平行的线段的长度，再求与坐标轴不平行的线段的长度。把斜线段的长度问题转化为两条 图 9平行于坐标轴的线段的长度问题，体现了降维的思想。学生总结用等面积法求点到直线的距离的步骤：问题 5：推广到一般的直线，又该如何求点到直线的距离？方法：等面积法过点 P 分别作 轴和 轴的平行线，交直线 于 R 和xyl教师点评后，学生思考其中所蕴含的数学思想方法。学生总结利用等面积法求点到直线的距离的步骤。将具体的情况推广到一般情况，学生思考如何用点的坐标和直线方程中的系数来表示点到直线的距离。给予肯定。解题步骤的总结也为后面推导点到直线的距离公式提供思路，规范
13、解题步骤。方法 2 是教材中介绍的方法，将点到直线的距离转化为直角三角形斜边上的高，这种方法也是学生需要自己动手完成的，此方法的思路与上节课学习的两点间距离公式的推导方法相似，都是构造直角三角形，体现了知识之间的相互联系，以及学生学以致用的能力，同时也考察了学生一求出点 R 的坐标 求出点 S 的坐标求出 P求出 P利用勾股定理求出 RS等面积法求出 PQS，则直线 PR 的方程为 ，R 的坐标为0y；直线 PS 的方程为 ，S 的坐),(00yACB0x标为 ),(0x于是有 ,ACByxACByPR000xS000,CByAxPSR022设 ，由三角形面积公式可得dQ,于是得，S 20BA
14、CyxRPd因此，点 到直线 的距离)(0, 0:l是 2yxd三、获取结论，巩固应用方法 1 用到了两点间距离公式，能够与上节课的两点间的距离很好的衔接上，但是易想难算，方法 2利用图形的几何特征，可以使计算简化，方法中的构造直角三角形也与推导两点间距离公式的方法类似，可以让学生体会到方法的迁移。问题 6：当直线垂直（或者平行）于坐标轴时，即或者 时，公式是否适用？0AB问题 7：如何记忆点到直线的距离公式？教师明确方法后，学生自己动手推导公式。通过巡视发现学生推导过程中遇到的问题，找学生黑板板演，对于相同的问题统一解决。学生分析两种方法的异同。学生验证，当A=0，或者B=0 时公式是否成立
15、。学生观察公定的计算能力。培养学生的计算能力。说明推导出的公式具有一般性。剖析公式获取结论巩固应共同观察公式的简洁形式，从数学美的角度出发，用定点的坐标和定直线方程中的系数表示；公式保证了.；距离公式是一个分式，分子是将定点坐标0d代入直线方程一般式的左侧，取绝对值，分母,()xy是 系数的平方和的算术平方根。 例 1.（1）求点 到直线 的距(,2)A10xy离解： ,0CByx52120)(d（2）求点 到直线 的距离(,3)Bx解： 由 ，得 ，03x38)2(d（3）求点 到直线 的距离,4C250y解：由 ，得 ，052y134d问题 8：求点到直线的距离的步骤是什么？（1）当直线是
16、平行（或垂直）于坐标轴的直线时，可以直接进行计算。（2）当直线与坐标轴既不平行也不垂直时，应用点到直线的距离公式。点到直线的距离公式是用直线的一般形式推导出来的，因此，用公式之前先要将直线方程化为一般式。问题 9：应用公式求点到直线距离的一般步骤：（1）给点的坐标赋值： ， 0x0y式的特征并记忆公式。学生板演例1 的解题过程。学生通过例1 总结求点到直线距离的解题步骤。学生总结应用公式求点到直线距离的步骤。是教学中的一个重要环节，引导学生分析公式的特征，有助于加深对公式的理解和记忆，为熟练应用公式奠定基础。使学生体会对于公式并不是拿来就用的，而是要先观察直线方程的特征，对于直线垂直于坐标轴的
17、情况，可以直接求解，其他情况时才考虑应用公式。加深学生对公式的理解和掌握。用归纳概括总结反思（2）给 A,B,C 赋值：A= ,B= ,C= （3）利用公式 进行运算。02AxByCd备选例题：已知点 ,求)01(,3),1(的面积。ABC四、归纳概括，总结反思问题 10：通过本节课的学习，在知识和思想方法上有哪些收获？知识上：点到直线的距离公式思想方法上：由特殊到一般的思想方法，数形结合的思想，转化的思想。五、布置作业，查漏补缺1课本第 110 页 B 组 2，3，42.本节课关于点到直线的距离公式的探究告一段落，我们是否还有其它的推导公式的方法，可以留给同学们课下思考。学生总结本节课的收获
18、。用初中的方法解决起来有些麻烦，但是利用坐标法，可以大大减少计算量。同时加深对公式的理解，掌握与应用，强化基本技能。 通过作业进一步巩固本节课所学。将课上的内容延伸到课下，有兴趣的同学可以自行探究，尝试用不同的方法解决问题，同时将各种方法归类，找出其中的异同。教学流程图创设情境，引入新课尝试探究，合作交流布置作业，查漏补缺归纳概括，总结反思获取结论，巩固应用教学反思本节课的设计创新之处在于：1.激发学生的求知欲：用初中教材上的例子作为引例，使学生具有亲切感，对于初中可以解决的问题或者不容易解决的距离问题，到了高中有新的解决方法，启发学生求知欲。2.紧紧抓住启发诱导：对于两种方法的推导，不是凭空
19、得到的，而是根据学生已经具备的知识，在此基础上实现对知识的迁移，弄清两种方法的理论依据。3.鼓励学生大胆猜想，培养创新思维：借助计算机辅助教学，投影仪用于展示学生的探索成果，增强学生的学习信心，为进行展示的同学可以与自己的方法进行比较，取他之长，补己之短。本节课是一节公式课，我采用的是“引入特殊问题类比一般问题证明”的课堂结构。遵循以一般的原理为前提，推求到某个特殊场合作出新的结论的演绎推理规律。教学时坚持采用启发式的教学思想。在学生回答解决问题的思路时，追问学生思路的来源是什么，理论依据是什么，有的学生虽然找到了解决问题的思路，但是只是凭借自己的经验或是“感觉” ，并没有真正的思考，这种解法的来源是什么，说明对问题的本质还是认识的不够，而我希望通过本节课的学习，学生能够体会新、旧知识的一个联系，会用联系的观点看问题。采用由特殊到一般的思想方法，可以使学生面对新的问题时，不至于手足无措，把特殊情况解决了，推广到一般情况，思路上就很明确了，充分发挥了学生的主体地位，从课堂效果上看，学生已经掌握了两种推导点到直线距离的方法。但是在操作层面上看，学生的计算能力还有待提高，因此，我采用了分阶段实现目标的方案，但是由于后面的时间紧张，所以给同学推导公式的时间不是很充足，还有一部分同学并没有得到相应的公式。由于课堂容量有限，还有的同学方法没有时间和机会展示。
