1、第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图象判断极值例 1 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x) ，且函数 y(1 x)f(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_(填序号)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)；函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)；函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)；函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)答案 解析 由题图可知，当 x0；当22 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值命题点 2 求已知函
2、数的极值例 2 设函数 f(x)ln(x 1)a( x2x)，其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由解 f(x) a(2 x1)1x 1 (x1)2ax2 ax a 1x 1令 g(x)2ax 2 axa1，x ( 1，) 当 a0 时，g(x )1，此时 f(x)0，函数 f(x)在( 1， ) 上单调递增，无极 值点当 a0 时，a 28a(1a) a(9a8) a当 0 时，0 ，89设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1 .12 14 14由 g(1) 10，可得10，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x 1，x2)时，g(x )0，f(x)0
3、，函数 f(x)单调递增因此函数 f(x)有两个极值点当 a0 ，由 g(1) 10，可得 x10，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(x 2，)时，g(x ) 时，函数 f(x)有两个极值点89命题点 3 根据极值(点)求参数例 3 已知函数 f(x) k ，若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的取exx2 (2x ln x)值范围为_答案 (，e解析 因为函数 f(x) k ，exx2 (2x ln x)所以函数 f(x)的定义域是(0，)，所以 f(x) k .exx2 2xexx4 ( 2x2 1x) (exx k)x 2x2因为 x2 是函数 f(x)的唯
4、一一个极值点，所以 x2 是 yf(x)的唯一 变号零点所以 y k 在(0，)上无变号零点，exx设 g(x) k ，则 g(x) .exx x 1exx2当 x(0,1)时，g(x )0，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1 ，) 上单调递增，所以 g(x)ming(1)e k ，若 g(x)在(0，)上无变号零点，则需要 g(x)0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)min0，即 ek 0，即 ke，所以若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则应需 ke.思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数 f(x)极 值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数 f(x)；解方程 f
5、(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验 f(x) 在 f(x )0 的根 x0 左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练 1 已知函数 f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，x(0，) ，f (x)bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围解 (1)f(x) 的定 义域为(0 ，) f(x)a ，1x ax 1x当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x )0，得 x ，1af(x)在 上
6、 单调递减，在 上单调递增，即 f(x)在 x 处有极小值，无极大值(0，1a) (1a， ) 1a当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点，当 a0 时， f(x)在(0 ， ) 上有一个极值点(2)函数 f(x)在 x1 处取得极值，a1，f(x) bx 2，即 1 b，1x ln xx令 g(x)1 ，则 g(x) ，令 g(x)0，得 xe 2，则 g(x)在(0 ，e2)上单调递减，1x ln xx ln x 2x2在(e 2， ) 上单调递增，g(x) ming(e 2)1 ，即 b1 ，1e2 1e2即实数 b 的取值范围为 .( ，1 1e2题型二 用导数求函数的最值例 4
7、 已知函数 f(x) kln x，k0，由 ke，则 x ，即 k0，x(0，)时， f(x)0，即 f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；当 a0 得，x ，a2所以 f(x)在 上单调递 增；( a2， )由 f(x )0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.ax2 bx cex(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为 e3，求 f(x)在区间 5，)上的最大值解 (1)f(x) 2ax bex ax2 bx cexex2 . ax2 2a bx b cex令 g(x)ax 2(2 ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x )的零点就是 g(x)ax 2(2
8、ab )xbc 的零点且 f(x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以当 30，即 f(x)0，当 x0 时，g(x )5f (0)，5e 5所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.思维升华 (1)求极值、最 值时，要求步骤规范，含参数 时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区 间)上的最值，不 仅要研究其极 值情况， 还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致 图象，然后借助 图象 观察得到函数的最值跟踪训练 3 (2018南通模拟)已知函数 f(x)(xk1)e x(kR )(1)当 x0 时，求 f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意 x1,2，
9、都有 f(x)0.当 k0 时，f( x)0 恒成立，所以 f(x)的单调增区间是(0，)，无 单调减区间，无极 值当 k0 时，由 f(x)0，得 xk；由 f(x )0，所以 xk 1x1 对任意 x1,2恒成立4xex记 g(x)x1 ，x1,2 ，4xex则 g(x) 1 ，41 xex ex 4x 1ex因为 x1,2，所以 g(x )0，即 g(x)在1,2上单调递增，所以 g(x)maxg(2) 1 .8e2 e2 8e2所以实数 k 的取值范围为 .(e2 8e2 ， )利用导数求函数的最值例 (16 分) 已知函数 f(x)ln xax(aR )(1)求函数 f(x)的单调区
10、间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值规范解答 解 (1)f(x) a( x0)，1x当 a0 时，f(x) a0，即函数 f(x)的单调增区间为(0 ， ) 2 分1x当 a0 时，令 f(x ) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时，f(x) 0 时，函数 f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 .7 分(0，1a) (1a， )(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在1,2 上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.1a8 分当 2，即 00，函数f(x)单调递增，当 x( 2,2)时，f ( x)0，函数 f(x)单
11、调递增，所以 a2.3函数 yxe x 的最小值是_答案 1e解析 因为 yx ex，所以 ye xxe x(1x)e x.当 x1 时， y0；当 x0.1x x2 1x令 f(x )0，得 x1.令 f(x )0，解得 c 或 c0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件答案 3解析 y3x 2273(x3)(x3)，当 00；当 x3 时，y0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是_答案 (22， )解析 f(x) 3x 23a 23( xa)(xa)，由 f(x )0 得 xa，当aa 或 x0，函数 f(x)单调递增，f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a)f(a
12、) a 33a 3a0 且 f(a)a 33a 3a .22a 的取值范围是 .(22， )8已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f (x)ln xax ，当 x(2,0) 时，f (x)的最小(a12)值为 1，则 a_.答案 1解析 由题意知，当 x(0,2)时， f(x)的最大值为1.令 f(x ) a0，得 x ，1x 1a当 00；1a当 x 时，f(x)0)，则 l2a .1a 2a2 1a 2(a 22)(a 22)a令 l0，得 l a2ln a 在 上单调递增；(22， )令 l0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切12(1)求实数 a，b 的值；(2)
13、求函数 f(x)在 上的最大值1e，e解 (1)f(x) 2bx，ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12Error! 解得Error!(2)由(1)知，f(x)ln x x2，12f(x) x ，1x 1 x2x当 xe 时，令 f(x )0，得 x0 时，f( x)在1 ，e上单调递增，则 f(x)在1，e 上的最大值为 f(e)a.故当 a2 时，f(x)在1，e上的最大 值为 a；当 a0，g(x)e xx 22 单调递增，所以 g(x)mine1，g(x )maxe 22.所以 eme1 或 me.15已知函数 f(x)xln xme x(e 为自然对数的底数) 有两个极
14、值点，则实数 m 的取值范围是_答案 ( 1e，0)解析 f(x) xln xme x(x0)，f(x)ln x1m ex(x0)，由函数 f(x)有两个极值点可得 ym 和 g(x) 在(0，)上有两个交点，ln x 1exg(x) (x0)，令 h(x) ln x1，1x ln x 1ex 1x则 h(x) 0，1x2 1xh(x)在(0，)上单调递减且 h(1)0，当 x(0,1时，h(x )0，即 g(x)0，g(x)在(0,1上单调递 增，g(x) g(1) ，1e当 x(1 ， )时，h(x)0，即 g( x)0，g(x)在(1，)上 单调递减，故 g(x)maxg(1) ，1e而当 x0 时，g( x)，当 x时，g(x)0；若 ym 和 g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需 0m ，故 m0.1e 1e16已知函数 f(x)axln x，x(0，e的最小值是 2，求正实数 a 的值解 因为 f(x )a ，所以当 0 e 时，f(x)在 上单调递减，在 上单调递1x ax 1x 1a (0，1a) (1a，e增，所以 f(x)minf 1ln a2，解得 ae， 满足条件；(1a)当 e 时，f(x)在(0 ，e上单调递减， f(x)minf(e) ae12，解得 a (舍去)1a 3e综上，正实数 a 的值为 e.
