1、1第二节 两条直线的位置关系考纲传真 (教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离(对应学生用书第 132 页)基础知识填充1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k1， k2，则有 l1 l2k1 k2.当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有 l1 l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直
2、线的斜率为 0 时， l1 l2.2两条直线的交点的求法直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20( A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数)，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组Error!的解3三种距离P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点之间的距离|P1P2|d (x2 x1)2 (y2 y1)2点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离 d|Ax0 By0 C|A2 B2平行线 Ax By C10 与 Ax By C20 间的距离 d|C1 C2|A2 B24.线段的中点坐标公式若点 P1， P2的坐标分别为( x1
3、， y1)，( x2， y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为( x， y)，则Error!知识拓展 三种常见的直线系方程(1)平行于直线 Ax By C0 的直线系方程： Ax By 0( C)(2)垂直于直线 Ax By C0 的直线系方程： Bx Ay 0.(3)过两条已知直线 A1x B1y C10， A2x B2y C20 交点的直线系方程：A1x B1y C1 (A2x B2y C2)0(不包括直线 A2x B2y C20)2基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2l1 l2.( )(
4、2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 .( )|kx0 b|1 k2(4)已知直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20( A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数)，若直线 l1 l2，则 A1A2 B1B20.( )(5)若点 P， Q 分别是两条平行线 l1， l2上的任意一点，则 P， Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离( )(6)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2(教材改编)已知
5、点( a,2)(a0)到直线 l： x y30 的距离为 1，则 a 等于( )A B22 2C 1 D. 12 2C 由题意得 1，即| a1| ，|a 2 3|2 2又 a0， a 1.23已知直线 l1： ax(3 a)y10， l2： x2 y0.若 l1 l2，则实数 a 的值为_2 由 2，得 a2.aa 34已知点 P(1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_x y40 线段 PQ 的中点坐标为(1,3)，直线 PQ 的斜率 k11，直线 l 的斜率 k21，直线 l 的方程为 x y40.5直线 l1： x y60 与 l2：3 x3 y20 的距离
6、为_直线 l1可化为 3x3 y180，则 l1 l2，所以这两条直线间的距离 d823 .|18 2|32 32 823(对应学生用书第 133 页)两条直线的平行与垂直3(1)设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线 l2： x( a1)y40 平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)若直线 l1：( a1) x y10 和直线 l2：3 x ay20 垂直，则实数 a 的值为( )A B.12 32C D.14 34(1)A (2)D (1)当 a1 时，显然 l1 l2，若 l1 l2，则 a(a1)210，所以 a
7、1 或 a2.所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件(2)由已知得 3(a1) a0，解得 a .34规律方法 1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法1 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；2 两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则 l1 l2A1B2 A2B10，且A1C2 A2C10 或 B1C2 B2C10 ； l1 l2A1A2 B1B20.易错警示：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情
8、况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件.跟踪训练 (1)(2017广东揭阳一模)若直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70平行，则 m 的值为( )A7 B0 或 7C0 D4(2)(2017安徽池州月考)已知 b0，直线( b21) x ay20 与直线x b2y10 互相垂直，则 ab 的最小值等于_(1)B (2)2 (1)直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70 平行， m(m1)3 m2， m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B.4(2)由题意知 a0.直线( b21) x ay20 与直线 x b
9、2y10 互相垂直， 1，b2 1a 1b2ab (a0)， ab 2，当且仅当 b1 时取等号，b2 1b 2bb ab 的最小值等于 2.两条直线的交点与距离问题(1)求经过两条直线 l1： x y40 和 l2： x y20 的交点，且与直线2x y10 垂直的直线方程为_. 【导学号：79140268】(2)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_(1)x2 y70 (2) x3 y50 或 x1 (1)由Error!得Error! l1与 l2的交点坐标为(1,3)设与直线 2x y10 垂直的直线方程为 x2 y c0，则
10、 123 c0， c7.所求直线方程为 x2 y70.(2)法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2 k(x1)，即kx y k20.由题意知 ，|2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1即|3 k1|3 k3|， k ，13直线 l 的方程为 y2 (x1)，即 x3 y50.13当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意法二：当 AB l 时，有 k kAB ，直线 l 的方程为13y2 (x1)，即 x3 y50.13当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为(1,4)，直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3 y
11、50 或 x1.规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法5求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略1 点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.2 动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.跟踪训练 (1)(2017河北省“五个一名校联盟”质检)若直线 l1： x ay60 与l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2间的距离为 ( )A B.2823C D.3833(2)已知点 P(4， a)到直线 4x3 y1
12、0 的距离不大于 3，则 a 的取值范围为_(1)B (2)0,10 (1)因为 l1 l2，所以 ，所以Error!解得 a1，1a 2 a3 62a所以 l1： x y60， l2： x y 0，所以 l1与 l2之间的距离 d ，23 |6 23|2 823故选 B.(2)由题意得，点 P 到直线的距离为 .|44 3a 1|5 |15 3a|5 3，即|153 a|15，|15 3a|5解得 0 a10，所以 a 的取值范围是0,10对称问题(1)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2 x y80 和 l2： x3 y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_
13、(2)平面直角坐标系中直线 y2 x1 关于点(1,1)对称的直线 l 方程是_(1)x4 y40 (2) y2 x3 (1)设 l1与 l 的交点为 A(a,82 a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B( a,2a6)在 l2上，把 B 点坐标代入 l2的方程得 a3(2 a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以由两点式得直线 l 的方程为 x4 y40.6(2)法一：在直线 l 上任取一点 P( x， y)，其关于点(1,1)的对称点 P(2 x,2 y)必在直线 y2 x1 上，2 y2(2 x)1，即 2x y30.因此，直线 l 的方程为 y2 x
14、3.法二：由题意， l 与直线 y2 x1 平行，设 l 的方程为 2x y c0( c1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等， ，解得 c3.|2 1 c|22 1 |2 1 1|22 1因此所求直线 l 的方程为 y2 x3.法三：在直线 y2 x1 上任取两个点 A(0,1)， B(1,3)，则点 A 关于点(1,1)对称的点 M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的点 N(1，1)由两点式求出对称直线 MN的方程为 ，即 y2 x3.y 11 1 x 12 11在题(2)中“将结论”改为“求点 A(1,1)关于直线 y2 x1 的对称点” ，则结果如何？解 设点 A(1,1)关于
15、直线 y2 x1 的对称点为 A( a， b)，则 AA的中点为 ，(1 a2 ， 1 b2 )所以Error! 解得Error!故点 A(1,1)关于直线 y2 x1 的对称点为 .(35， 95)2在题(2)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x y0 对称” ，则结果如何？解 在直线 y2 x1 上任取两个点 A(0,1)， B(1,3)，则点 A 关于直线 x y0 的对称点为 M(1,0)，点 B 关于直线 x y0 的对称点为 N(3,1)，根据两点式，得所求直线的方程为 ，即 x2 y10.y 10 1 x 31 3规律方法 常见对称问题的求解方法1 中心对称点 P x，
16、y 关于 Q a， b 的对称点 P x， y 满足Error!直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.2 轴对称点 A a， b 关于直线 Ax By C0 B0 的对称点 A m， n ，则有Error!即转化为垂直与平方问题.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练 (1)已知点 A(1,3)关于直线 y kx b 对称的点是 B(2,1)，则直线y kx b 在 x 轴上的截距是_. 7【导学号：79140269】(2)(2017河北五校联考)直线 ax y3 a10 恒过定点 M，则直线2x3 y60 关于 M 点对称的直线方程为( )A2 x3 y1
17、20 B2 x3 y120C2 x3 y120 D2 x3 y120(1) (2)D (1)由题意得线段 AB 的中点 在直线 y kx b 上，直线 AB56 ( 12， 2)与直线 y kx b 垂直，故Error!解得 k ， b .所以直线 y kx b 的方程即32 54为 y x .令 y0，即 x 0，解得 x ，故直线 y kx b 在 x 轴上的32 54 32 54 56截距为 .56(2)由 ax y3 a10，可得 a(x3)( y1)0，令Error!可得x3， y1， M(3,1)， M 不在直线 2x3 y60 上，设直线 2x3 y60关于 M 点对称的直线方程为 2x3 y c0( c6)，则 | 6 3 6|4 9，解得 c12 或 c6(舍去)，所求方程为 2x3 y120，故选| 6 3 c|4 9D.
