1、1第三节 圆的方程考纲传真 (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第 134 页)基础知识填充1圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)2( y b)2 r2(r0)圆心 (a， b)，半径 r一般方程x2 y2 Dx Ey F0，(D2 E24 F0)圆心 ，(D2， E2)半径12D2 E2 4F2.点与圆的位置关系点 M(x0， y0)与圆( x a)2( y b)2 r2的位置关系：(1)若 M(x0， y0)在圆外，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.
2、(2)若 M(x0， y0)在圆上，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.(3)若 M(x0， y0)在圆内，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程( x a)2( y b)2 t2(tR)表示圆心为( a， b)，半径为 t 的一个圆( )(3)方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F0 表示圆的充要条件是A C0， B0， D2 E24 AF0.( )(4)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F0 外，则 x y Dx0 Ey0 F0.
3、( )20 20解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当 t0 时，表示圆心为( a， b)，半径为| t|的圆，不正确答案 (1) (2) (3) (4)2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A( x1) 2( y1) 21 B( x1) 2( y1) 21C( x1) 2( y1) 22 D( x1) 2( y1) 22D 由题意得圆的半径为 ，故该圆的方程为( x1) 2( y1) 22，故选 D.23(2016全国卷)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为 1，2则 a( )A B C D243 34 3A 圆 x2
4、 y22 x8 y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax y10 的距离 d 1，解得 a .|a 4 1|a2 1 434点(2 a， a1)在圆 x2( y1) 25 的内部，则 a 的取值范围是( )A1 a1 B0 a1C1 a D a115 15D 由(2 a)2( a2) 25 得 a1.155(教材改编)圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_(x2) 2 y210 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，| CA| CB|，即 ，(a 1)2 1 (a 1)2 9解得 a2，所以圆心为
5、 C(2,0)，半径| CA| ，(2 1)2 1 10圆 C 的方程为( x2) 2 y210.(对应学生用书第 135 页)圆的方程(1)(2017豫北名校 4 月联考)圆( x2) 2 y24 关于直线 y x 对称的圆的方程33是( )A( x )2( y1) 243B( x )2( y )242 2C x2( y2) 24D( x1) 2( y )243(2)(2015全国卷)过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1，7)的圆交 y 轴于 M， N 两点，则| MN|( )A2 B863C4 D106(1)D (2)C (1)设圆( x2) 2 y24 的圆心(2,0)关于直线
6、 y x 对称的点的坐33标为( a， b)，则有Error!解得 a1， b ，从而所求圆的方程为 (x1) 2( y )3 324.故选 D.(2)设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则Error! 解得Error!圆的方程为 x2 y22 x4 y200.令 x0，得 y22 或6y22 ， M(0，2 2 )， N(0，22 )或 M(0，22 )， N(0，22 )，6 6 6 6 6| MN|4 ，故选 C6规律方法 求圆的方程的两种方法1 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2 待定系数法：若已知条件与圆心 a， b 和半径 r 有关，则设圆的
7、标准方程，依据已知条件列出关于a， b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值.易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.跟踪训练 (1)(2018海口调研)已知圆 M 与直线 3x4 y0 及 3x4 y100 都相切，圆心在直线 y x4 上，则圆 M 的标准方程为( ) 【导学号：79140274】A( x3) 2( y1) 21B( x3) 2( y1) 21C( x3) 2( y1) 21D( x3) 2( y1) 21(
8、2)(2016天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C 上，5且圆心到直线 2x y0 的距离为 ，则圆 C 的方程为_455(1)C (2)( x2) 2 y29 (1)到两直线 3x4 y0 和 3x4 y100 的距离都相等的直线方程为 3x4 y50，联立方程组Error!解得Error!所以圆 M 的圆心坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为 2，所以圆 M 的半径为 1，所1032 42以圆 M 的方程为( x3) 2( y1) 21，故选 C(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，4所以圆心到直线 2x y0
9、的距离 d ，2a5 455解得 a2，所以圆 C 的半径 r| CM| 3，4 5所以圆 C 的方程为( x2) 2 y29.与圆有关的最值问题已知 M(x， y)为圆 C： x2 y24 x14 y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求| MQ|的最大值和最小值；(2)求 的最大值和最小值y 3x 2解 (1)由圆 C： x2 y24 x14 y450，可得( x2) 2( y7) 28，圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 .2又| QC| 4 ，(2 2)2 (7 3)2 2| MQ|max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(2)可知 表示直线
10、MQ 的斜率 k.y 3x 2设直线 MQ 的方程为 y3 k(x2)，即 kx y2 k30.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以 2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2可得 2 k2 ，3 3 的最大值为 2 ，最小值为 2 .y 3x 2 3 31(变化结论)在本例的条件下，求 y x 的最大值和最小值解 设 y x b，则 x y b0.当直线 y x b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， 2 ， b9 或 b1.|2 7 b|12 ( 1)2 2因此 y x 的最大值为 9，最小值为 1.2(变换条件)若本例中条件“点 Q(2,3)”改为“点 Q 是直线 3x4 y10 上的
11、动点” ，其它条件不变，试求| MQ|的最小值5解 圆心 C(2,7)到直线 3x4 y10 上动点 Q 的最小值为点 C 到直线3x4 y10 的距离，| QC|min d 7.|23 74 1|32 42又圆 C 的半径 r2 ，2| MQ|的最小值为 72 .2规律方法 与圆有关的最值问题的三种几何转化法1 形如 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.y bx a2 形如 t ax by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.3 形如 m x a 2 y b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.跟踪训练 (1)(2018陕西质检(一)圆： x2 y22
12、x2 y10 上的点到直线 x y2的距离的最大值是( )A1 B22C1 D2222 2(2)(2017广东七校联考)圆 x2 y22 x6 y10 关于直线ax by30( a0， b0)对称，则 的最小值是( )1a 3bA2 B.3203C4 D.163(1)A (2)D (1)由已知得圆的标准方程为( x1) 2( y1) 21，则圆心坐标为(1,1)，半径为 1，所以圆心到直线的距离为 ，所以圆上的点到直线|1 1 2|2 2的距离的最大值是 1 ，故选 A2(2)由圆 x2 y22 x6 y10 知其标准方程为( x1) 2( y3) 29，圆x2 y22 x6 y10 关于直线
13、 ax by30( a0， b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即 a3 b30， a3 b3( a0， b0)， (a3 b)1a 3b 13 ，当且仅当 ，即 a b 时取(1a 3b) 13(1 3ab 3ba 9) 13(10 23ab3ba) 163 3ba 3ab等号，故选 D.6与圆有关的轨迹问题已知 A(2,0) 为圆 x2 y24 上一定点， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点. 【导学号：79140275】(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知，P
14、 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以(2 x2) 2(2 y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt PBQ 中，| PN| BN|，设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2，所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y10.规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法1 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.2 定义法：根据圆的定义列方程求解.3 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.4 代入法 相关点法 ：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.跟踪训练 已知点 A(1,0)，点 B(2,0)，动点 C 满足| AC| AB|，求点 C 与点 P(1,4)所连线段的中点 M 的轨迹方程解 由题意可知：动点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为(x1) 2 y29.设 M(x0， y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x01,2 y04)，代入点 C 的轨迹方程得 4x 4( y02) 29，20化简得 x ( y02) 2 ，2094故点 M 的轨迹方程为 x2( y2) 2 .94
