1、1第六节 空间向量及其运算考纲传真1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(对应学生用书第 120 页)基础知识填充1空间向量的有关概念名称 定义空间向量 在空间中，具有大小和方向的量自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向量方向向量 A、 B 是空间直线 l 上任意两点，则称 为直线 l 的方向向量AB 法向量如果直线 l 垂直于平面 ，那么把直线 l 的方向向量 n 叫作平面 的法向量2.空间向量的有关
2、定理(1)共线向量定理：空间两个向量 a， b(b0)，共线的充要条件是存在实数 ，使得 a b.(2)空间向量基本定理：如果向量 e1， e2， e3是空间三个不共面的向量 a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3，使得 a 1e1 2e2 3e3，其中 e1， e2， e3叫作这个空间的一个基底3两个向量的数量积及运算律(1)非零向量 a， b 的数量积 ab| a|b|cos a， b (2)空间向量数量积的运算律：交换律： ab ba；分配律： a(b c) ab ac；( a)b (ab)4空间向量的坐标表示及其应用设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b
3、2， b3)向量表示 坐标表示数量积 ab a1b1 a2b2 a3b3共线 a b(b0， R)a1 b 1， a2 b 2， a3 b32垂直 ab0( a0， b0) a1b1 a2b2 a3b30模 |a| a21 a2 a23夹角 cos a， b( a0， b0) a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量 a， b 共面( )(2)对任意两个空间向量 a， b，若 ab0，则 a b.( )(3)若 ab0，则 a， b是钝角( )(4)若 A， B，
4、C， D 是空间任意四点，则有 0.( )AB BC CD DA 答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)如图 761 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 a， b， c，则下列向量中与 相等的向量是( )AB AD AA1 BM 图 761A a b c B a b c12 12 12 12C a b c D a b c12 12 12 12A ( ) c (b a) a b c.BM BB1 B1M AA1 12AD AB 12 12 123若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b， d a b( 、 R，且 0)，则( )A
5、 c dB c dC c 不平行于 d， c 也不垂直于 dD以上三种情况均有可能B 由题意得， c 垂直于由 a， b 确定的平面 d a b， d 与 a， b 共面 c d.4已知 a(2,3,1)， b(4,2， x)，且 a b，则| b|_.2 a b， ab2(4)321 x0，6 x2，| b| 2 .( 4)2 22 22 65已知向量 a(4，2，4)， b(6，3,2)，则( a b)(a b)的值为_313 ( a b)(a b) a2 b24 2(2) 2(4) 26 2(3) 22 213.(对应学生用书第 121 页)空间向量的线性运算如图 762 所示，在空间几
6、何体 ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 a， b， c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a， b， c 表示以AA1 AB AD 下各向量：图 762(1) ；AP (2) .MP NC1 解 (1)因为 P 是 C1D1的中点，所以 a AP AA1 A1D1 D1P AD 12D1C1 a c a c b.12AB 12(2)因为 M 是 AA1的中点，所以 MP MA AP 12A1A AP a a b c.12 (a c 12b) 12 12因为 N 是 BC 的中点，则 NC1 NC CC1 12BC AA1 c a，12AD AA1
7、 124所以 MP NC1 (12a 12b c) (a 12c) a b c.32 12 32规律方法 用基向量表示指定向量的方法1 结合已知向量和所求向量观察图形.2 将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.3 利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练 如图 763 所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 ，若 x y z ，则MG GN OG OA OB OC x y z_.图 763连接 ON，设 a， b， c，56 OA OB OC 则 ( )MN ON
8、 OM 12OB OC 12OA b c a，12 12 12 OG OM MG 12OA 23MN a a b c.12 23(12b 12c 12a) 16 13 13又 x y z ，所以 x ， y ， z ，OG OA OB OC 16 13 13因此 x y z .16 13 13 56共线、共面向量定理的应用5(1)(2017佛山模拟)已知 a( 1,0,2)， b(6,2 1,2 )，若 a b，且 a与 b 反向，则 _. 【导学号：79140244】(2)已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点，用向量方法求证： E
9、， F， G， H 四点共面； BD平面 EFGH.(1) a b，且 a 与 b 反向，52(6,2 1,2 ) k( 1,0,2)， k0.Error! 解得Error!或Error!当 2， 时， k2 不合题意，舍去12当 3， 时， a 与 b 反向12因此 3 .12 52(2)证明 连接 BG，则 ( ) ，由共面向量定理EG EB BG EB 12BC BD EB BF EH EF EH 知 E， F， G， H 四点共面因为 ( ) ，因为 E， H， D， B 四点不共线，所以EH AH AE 12AD 12AB 12AD AB 12BD EH BD.又 EH 平面 EFG
10、H， BD 平面 EFGH./所以 BD平面 EFGH.规律方法 1.证明点共线的方法,证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A， B， C 三点共线，即证明 ， 共线，亦即证明 0.AB AC AB AC 2.证明点共面的方法,证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P， A， B， C四点共面，证明 x y ，或对空间任一点 O，有 x y ，或 x yPA PB PC OA OB PB PC OP OA z x y z1 即可.OB OC 6跟踪训练 已知 A， B， C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 ( )OM 13OA OB OC (1
11、)判断 ， ， 三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内解 (1)由已知 3 ，OA OB OC OM ( )( )OA OM OM OB OM OC 即 ，MA BM CM MB MC ， ， 共面MA MB MC (2)由(1)知 ， ， 共面且过同一点 M.MA MB MC 四点 M， A， B， C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内空间向量数量积的应用如图 764 所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M， N 分别是 AB， CD 的中点图 764(1)求证： MN AB， MN CD；(2)求异面直线 AN 与 C
12、M 所成角的余弦值解 (1)证明：设 p， q， r.AB AC AD 由题意可知，| p| q| r| a，且 p， q， r 三个向量两两夹角均为 60. ( )MN AN AM 12AC AD 12AB (q r p)，12 (q r p)pMN AB 12 (qp rp p2)127 (a2cos 60 a2cos 60 a2)0.12 ，即 MN AB.MN AB 同理可证 MN CD.(2)设向量 与 的夹角为 .AN MC ( ) (q r)，AN 12AC AD 12 q p，MC AC AM 12 (q r)AN MC 12 (q 12p)12(q2 12qp rq 12rp
13、)12(a2 12a2cos 60 a2cos 60 12a2cos 60) .12(a2 a24 a22 a24) a22又| | | a，AN MC 32 | | |cos a acos .AN MC AN MC 32 32 a22cos .23向量 与 的夹角的余弦值为 ，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .AN MC 23 23规律方法 1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法： ab| a|b|cos a， b (2)坐标法：设 a( x1， y1， z1)， b( x2， y2， z2)，则 ab x1x2 y1y2 z1z2.2利用数量积可解决有关垂直、夹角、
14、长度问题(1)a bab0.(2)|a| .a2(3)cos a， b .ab|a|b|易错警示：空间向量的坐标( x， y， z)有三个，在进行运算时千万别看串了跟踪训练 如图 765，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.8图 765(1)求 AC1的长；(2)求 AC 与 BD1夹角的余弦值. 【导学号：79140245】解 (1)设 a， b， c，AB AD AA1 则| a| b| c|1， a， b b， c c， a60， ab bc ca .12| |2( a b c)2 a2 b2 c22( ab bc ca)AC1 1112 6，(12 12 12)| | ，即 AC1的长为 .AC1 6 6(2) b c a， a b，BD1 AC | | ，| | ，BD1 2 AC 3 ( b c a)(a b)BD1 AC b2 a2 ac bc1.cos ， .BD1 AC BD1 AC |BD1 |AC | 66 AC 与 BD1夹角的余弦值为 .66
