1、1第三节 三角函数的图像与性质考纲传真 (教师用书独具)1.能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 内的单调性( 2， 2)(对应学生用书第 51 页)基础知识填充1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x， x0,2图像的五个关键点是：(0,0)， ，(，0)，( 2， 1)，(2 ，0)(32， 1)余弦函数 ycos x， x0,2图像的五个关键点是：(0,1)， ，(，1)，( 2， 0)，(2 ，1)(32，
2、0)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数 ysin x ycos x ytan x图像定义域 R R Error!值域 1,1 1,1 R单调性递增区间：2k 2， 2k 2， kZ，递减区间：2k 2， 2k 32， kZ递增区间：2k，2 k，kZ，递减区间：2k，2 k，kZ递增区间，(k 2， k 2)kZ奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称性对称中心( k，0)，kZ对称中心 对称中心 ，(k2， 0)2， k(k 2， 0)ZkZ对称轴 x k(kZ) 2 对称轴x k( kZ)周期性 2 2 知识拓展 1.若 f(x) Asin(x )(A0， 0)，则(1)f(x)为偶
3、函数的充要条件是 k( kZ)； 2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)2 f(x) Acos(x )(A0， 0)(1)f(x)为奇函数的充要条件： k ， kZ. 2(2)f(x)为偶函数的充要条件： k， kZ.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)常数函数 f(x) a 是周期函数，它没有最小正周期( )(2)函数 ysin x 的图像关于点( k，0)( kZ)中心对称( )(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( )(4)已知 y ksin x1， xR，则 y 的最大值为 k1.( )(5)ysin | x|是偶函
4、数( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2(2017全国卷)函数 f(x)sin 的最小正周期为( )(2x 3)A4 B2C D 2C 函数 f(x)sin 的最小正周期 T .故选 C(2x 3) 223函数 ytan 2 x 的定义域是( )AError!BError!CError!DError!3D 由 2x k ， kZ，得 x ， kZ， 2 k2 4所以 ytan 2 x 的定义域为Error!.4函数 ysin ， x2，2的单调递增区间是( )(12x 3)A B 和 2 ， 53 2 ， 53 3， 2 C D53， 3 3， 2 C 令 z x ，函数 ysi
5、n z 的单调递增区间为 (kZ)，12 3 2k 2， 2k 2由 2k x 2 k 得 4k x4 k ，而 x2，2， 2 12 3 2 53 3故其单调递增区间是 ，故选 C53， 35(教材改编)函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为_(2x 4) 0， 2 由已知 x ，得 2x ，22 0， 2 4 4， 34所以 sin ，故函数 f(x)sin 在区间 上的最小(2x 4) 22， 1 (2x 4) 0， 2值为 .22(对应学生用书第 52 页)三角函数的定义域与值域(1)(2016全国卷)函数 f(x)cos 2 x6cos 的最大值为( )( 2 x)A4 B5 C
6、6 D7(2)函数 ylg sin x 的定义域为_cos x 12(1)B (2) (1) f(x)cos x|2k x 3 2k ， k Z2x6cos cos 2 x6sin x( 2 x)412sin 2x6sin x2 ，(sin x32)2 112又 sin x1,1，当 sin x1 时， f(x)取得最大值 5.故选 B(2)要使函数有意义，则有Error!即 Error!解得Error! (kZ)，2 k x 2 k， kZ. 3函数的定义域为.x2k x 3 2k ， k Z规律方法 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 ，常借助三角函数
7、线或三角函数图像来求解.2.求三角函数最值或值域的常用方法1 直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解.2 化一法：把所给三角函数化为 y Asin x k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.3 换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin xcos x 换成 t，转化为二次函数求解.跟踪训练 (1)已知函数 y2cos x 的定义域为 ，值域为 a， b，则 b a 的值 3， 是( )A2 B3 C 2 D23 3(2)函数 ysin xcos xsin x cos x， x0，的值域为_(1)B (2)1,1 (1) x ，cos x ， y
8、2cos x 的值域为 3， 1， 122,1， b a3.(2)设 tsin xcos x，则 t2sin 2xcos 2x2sin xcos x，即 sin xcos x ，且1 t .1 t22 2 y t (t1) 21.t22 12 12当 t1 时， ymax1；5当 t1 时， ymin1.函数的值域为1,1三角函数的单调性(1)函数 f(x)sin 的单调减区间为_. ( 2x 3)【导学号：79140111】(2)若函数 f(x)sin x ( 0)在区间 上单调递增，在区间 上单0， 3 3， 2调递减，则 _.(1) (kZ) (2) (1)由已知函数为 ysin ，欲求
9、函k 12， k 512 32 (2x 3)数的单调减区间，只需求 ysin 的单调增区间即可(2x 3)由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 3 2得 k x k ， kZ.12 512故所求函数的单调减区间为 (kZ)k 12， k 512(2) f(x)sin x ( 0)过原点，当 0 x ，即 0 x 时， ysin x 是增函数； 2 2当 x ，即 x 时， ysin x 是减函数 2 32 2 32由 f(x)sin x ( 0)在 上单调递增，0， 3在 上单调递减知， ， . 3， 2 2 3 32规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法1 代换法：求形如 y Asi
10、n x 0 的单调区间时，要视“ x ”为一个整体，通过解不等式求解.若 0，应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错.2 图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间.2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练 (1)函数 y|tan x|在 上的单调减区间为_. ( 2， 32)6【导学号：79140112】(2)已知函数 f(x)sin cos 2 x，则 f(x)的一个单调递减区间是( )(2x 6)A B12， 712 512， 12C D 3， 23 6， 56(1) 和 (2)A (1)如图，观察图像可知， y|
11、tan x|在( 2， 0 ( 2， 上的单调减区间为 和 .( 2， 32) ( 2， 0 ( 2， (2)由题意得 f(x)sin cos 2x sin 2x cos 2xcos 2x sin(2x 6) 32 12 3，由 2 k2 x 2 k， kZ，得(2x 3) 2 3 32 k x k， kZ，令 k0，得函数 y f(x)的一个单调递减区间为12 712，故选 A12， 712三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度 1 三角函数的奇偶性与周期性(1)在函数： ycos|2 x|； y|cos x|； ycos2 x ； ytan 6中，最小正周期为 的所有函数为( )(2x 4)
12、A BC D(2)函数 y12sin 2 是( )(x34)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数7C最小正周期为 的奇函数 2D最小正周期为 的偶函数 2(1)C (2)A (1) ycos|2 x|cos 2 x， T.由图像知，函数的周期 T. T. T . 2综上可知，最小正周期为 的所有函数为.(2)y12sin 2 cos 2 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为(x34) (x 34) 的奇函数角度 2 三角函数的对称性(1)(2018 东北三省四市模拟(一)已知函数 f(x)2sin ( 0)的周( x 6)期为 ，则下列选项正确的是( )A函数 f(x)的图像
13、关于点 对称( 6， 0)B函数 f(x)的图像关于点 对称(12， 0)C函数 f(x)的图像关于直线 x 对称 3D函数 f(x)的图像关于直线 x 对称12(2)已知 0,0 ，直线 x 和 x 是函数 f(x)sin( x )图像 4 54的两条相邻的对称轴，则 ( )A B 4 3C D 2 34(1)B (2)A (1)因为 2，所以 f(x)2sin .由 2x k( kZ)，2T (2x 6) 6得 x (kZ)，当 k0 时， x ，所以函数 f(x)的图像关于点 对k2 12 12 ( 12， 0)称，故选 B(2)由题意得 2 ， 1，2 (54 4)8 f(x)sin(
14、 x )， k (kZ)， k (kZ)，又 4 2 40 ， ，故选 A 4规律方法 1.函数 f x Asin x 的奇偶性与对称性1 若 f x Asin x 为偶函数，则当 x0 时， f x 取得最大或最小值；若 f x Asin x 为奇函数，则当 x0 时， f x 0.2 对于函数 y Asin x ，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x x0或点 x0，0 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f x0 的值进行判断.2.求三角函数周期的方法：1 利用周期函数的定义.2 利用公式： y Asin x 和 y Acos x 的
15、最小正周期为 ，2| |ytan x 的最小正周期为 .| |3 借助函数的图像.跟踪训练 (1)(2017全国卷)设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的是( )(x 3)A f(x)的一个周期为2B y f(x)的图像关于直线 x 对称83C f(x)的一个零点为 x 6D f(x)在 单调递减( 2， )(2)如果函数 y3cos(2 x )的图像关于点 中心对称，那么| |的最小值(43， 0)为( )A B 6 4C D 3 2(1)D (2) A (1)A 项，因为 f(x)cos 的周期为 2k( kZ)，所以 f(x)的(x 3)一个周期为2，A 项正确B 项，因为 f(x)
16、cos 图像的对称轴为直线 x k (kZ)，所以 y f(x)(x 3) 39的图像关于直线 x 对称，B 项正确83C 项， f(x)cos .令 x k (kZ)，得 x k ，当 k1(x43) 43 2 56时， x ，所以 f(x)的一个零点为 x ，C 项正确 6 6D 项，因为 f(x)cos 的递减区间为 (kZ)，递增区间(x 3) 2k 3， 2k 23为 (kZ)，所以 是减区间， 是增区间，D 项错2k 23， 2k 53 ( 2， 23) 23， )误故选 D(2)由题意得 3cos(243 )3cos 3cos 0，(23 2 ) (23 )所以 k (kZ)， k (kZ)，23 2 6取 k0，得| |的最小值为 .故选 A 6
