1、1第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲传真 (教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(对应学生用书第 47页)基础知识填充1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类Error!(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S | k360， kZ(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个
2、象限2弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，长度为 1的弧所对的圆心角称为 1弧度的角，它的单位符号是 rad.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)公式：角 的弧度数公式 | | (弧长用 l表示)lr角度与弧度的换算 1 rad；1 rad 180 (180 )弧长公式 弧长 l| |r扇形面积公式 S lr | |r212 123.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦 正切设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u， v)，那么定义 v叫作 的正弦，记作 sin u叫作 的余弦，记作 cos 叫作 的正切，记vu作 tan 各象 2 限符号
3、三角函数线有向线段 MP为正弦线有向线段 OM为余弦线有向线段 AT为正切线知识拓展 1.任意角的三角函数的定义(推广)设 P(x， y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O的距离为 r，则 sin ，cos yr ，tan (y0)xr yx2单位圆上任意一点可设为(cos ，sin )( R)3若 ，则 sin tan .(0，2)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)小于 90的角是锐角( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然( )(3)三角形的内角必是第一、第二象限角( )(4)角 的三角函数值与终边上点 P的位置无关( )(5)终边相同
4、的角的同一三角函数值相等( )(6)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2若 cos 0，且 sin 2 0，则角 的终边所在象限为( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限D 由 cos 0，sin 2 2sin cos 0 得 sin 0，则角 的终边在第四象限，故选 D3(教材改编)已知角 的终边与单位圆的交点为 M ，则 sin ( )(12， y)A B32 32C D22 223B 由题意知| r|2 y21，所以 y .由三角函数定义知 sin y .(12)2 32 324已知圆的一条弦的长等于半径长，则这
5、条弦所对的圆心角的大小为_弧度弧长等于半径长3该弦与两半径构成的三角形为正三角形故该弦所对的圆心角的大小为 .353 900是第_象限角，1 000是第_象限角四 一 3 90010360300，3 900是第四象限角1 000336080，1 000是第一象限角(对应学生用书第 48页)角的有关概念及其集合表示(1)若角 是第二象限角，则 是( )2A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)终边在直线 y x上的角的集合是_3(1)C (2) | 60 k180， kZ (1) 是第二象限角， 2 k 2 k， kZ，2 k k， kZ.4 2 2当 k为偶数时，
6、 是第一象限角；2当 k为奇数时， 是第三象限角2综上， 是第一或第三象限角2(2)如图，直线 y x过原点，倾斜角为 60，34在 0360范围内，终边落在射线 OA上的角是 60，终边落在射线 OB上的角是 240，所以以射线OA， OB为终边的角的集合为：S1 | 60 k360， kZ，S2 | 240 k360， kZ，所以角 的集合 S S1 S2 | 60 k360， kZ | 60180 k360， kZ | 602 k180， kZ | 60(2 k1)180， kZ | 60 k180， kZ规律方法 1.终边在某直线上角的求法四步骤1 数形结合，在平面直角坐标系中画出该直
7、线.2 按逆时针方向写出0，2 内的角.3 再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合.4 求并集化简集合.2.确定 k ， kN 终边位置的步骤k1 用终边相同角的形式表示出角 的范围.2 再写出 k 或 的范围.k3 然后根据 k的可能取值讨论确定 k 或 的终边所在位置.k3.注意角度与弧度不能混用.4.终边落在 x轴上角的集合 .x|x k ， k Z终边落在 y轴上角的集合Error!.终边落在坐标轴上的角的集合Error!跟踪训练 (1)设集合 MError!， NError!，那么( )A M N B MNC NM D M N(2)已知角 45，在区间720，0内与角 有相同终
8、边的角 _. 【导学号：79140099】5(1)B (2)675或315 (1)法一：由于 MError!，45，45，135，225，NError! ，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选 B法二：由于 M中， x 18045 k9045(2 k1)45，2 k1 是奇k2数；而 N中， x 18045 k4545( k1)45， k1 是整数，因此必k4有 MN，故选 B(2)由终边相同的角的关系知 k36045， kZ，所以取 k2，1，得 675或 315.扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为 40
9、，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解 (1)设圆心角是 ，半径是 r，则Error!解得 Error!(舍去)或Error!扇形的圆心角为 .12(2)设圆心角是 ，半径是 r，则 2r r 40.又 S r 2 r(402 r) r(20 r)( r10) 2100100.12 12当且仅当 r10 时， Smax100，此时 21010 40， 2，当 r10， 2时，扇形的面积最大规律方法 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项1 解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度.2 求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配
10、方法使问题得到解决.3 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练 (1)扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100，则该扇形的面积为_ cm 2.(2)如图 311，已知扇形的圆心角 120，弦 AB长 12 cm，则该扇形的弧长l_ cm.6图 311(1) (2) (1)由弧长公式 l| |r，得 r ，360 833 20100180 36 S 扇形 lr 20 .12 12 36 360(2)设扇形的半径为 r cm，如图由 sin 60 ，得 r4 ，6r 3 l| |r 4 cm.23 3 833三角函数的定义角度 1 三角函数定义的应用(2017 河
11、南八市联考)已知角 的顶点在原点，始边与 x轴非负半轴重合，点P(4 m,3m)(m0)是角 终边上的一点，则 2sin cos _.| OP| 5| m|5 m(m0)，25 ( 4m)2 (3m)2sin ，cos ，3m5m 35 4m5m 452sin cos 2 .35 45 25角度 2 三角函数值符号的判定若 sin tan 0，且 0，则角 是( )cos tan A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角C 由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而可判断角 为第二或第三象限角7由 0 可知 cos ，tan 异号，从而可判断角 为第三或第四象限角c
12、os tan 综上可知，角 为第三象限角角度 3 三角函数线的应用函数 y 的定义域为_2cos x 1(kZ) 2cos x10，cos x .2k 3， 2k 3 12由三角函数线画出 x满足条件的终边范围(如图阴影所示) x (kZ)2k 3， 2k 3规律方法 1.用定义法求三角函数值的两种情况.1 已知角 终边上一点 P的坐标，则可先求出点 P到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解.2 已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.2.确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.跟踪训练 (1)
13、(2018陕西质检(一)已知角 的终边过点 P(4，3)，则 cos的值为 ( )( 4)A B7210 7210C D210 210(2)已知角 的终边过点 P(8 m，6sin 30)，且 cos ，则 m的值为( ) 45A B12 12C D32 32(1)B (2)B (1)角 的终边过点 P(4，3)， r5，由三角函数的定义得 sin ，cos ，cos cos cos sin sin 35 45 ( 4) 48 ，故选 B4 45 22 ( 35) 22 7210(2) r ，64m2 9cos ， 8m64m2 9 45 m0， ，因此 m .4m264m2 9 125 12
