1、1第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 1298.1 优先序一、二元关系1.无差异(Indifferent to)2.(严格) 优于(Strict preference to)3.不劣于(preference of indifference to)可以用 定义， ：AB AB 且 BAAB AB 且非 BA因此，在任何决策问题中， 是偏好结构的基础，有必要假设 关系的存在。至于 是否确定实存在，则取决于能否以直接或 间接的方式找到构造 的途径。在单目标问题 ，有时存在可测属性( 或代用属性)如成本
2、、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。二、二元关系的种类(用 R 表示二元关系)传递性，若 xRy, yRz 则 xRz自反性 reflectivity: xRx非自反性： (Irreflexivity)非 xRx对称性(Symmetry)若 zRy,则 yRx非对称性(asymmetry)若 xRy，则非 yRx反对称性(anti-symmetry)若 xRy 且 yRx 则必有 x = y连通性(connectivity) comple
3、teness, Comparability对 x, yX xRy 或/和 yRx任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理， 实则 不然，例如，20.00020.001 20.00120.002 99.999100, 但是 20100连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.连通性 传递性 完全序8.2 多属性价值函数一、价值函数的存在性定理 8.3X , 是 X 上的弱序，且RN 若 ;xyxy 若 则 必存在唯一的 01 使 +(1-) ;z, zyxz则存在定义在 X 上的实值 函数 v，满足 v( ) v( )xyx v
4、( ) = v( )2Note: 1. 条件 为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件 为偏好空 间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v( )=f( ) f 的形式通常十分复杂，即使 为线性 v 的形式仍十分xvxn1(),( vxi()复杂.例： , 的价值函数为线性, 即: =k1 =k22 vx且 k2=1.5k1, 但是 v( ) ( )+ ( )12因此, 价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数1.定义：若 v( )= , 则称价 值函数 V( )是加性的yvin
5、1()y2.加性价值函数的存在条件定理 8.6(P133) (n3)定义在 YR 上的价值函数 v( )=v( )对任何 , ”Y ,Nyyn1, y ” iff v( )v( ”)则 属性集满足互相偏好独立条件 时当且仅当存在定义在 Y , y ii=1,n 上的 实值函数 v 使 i ” ( )+ + ( ) ( ”)+ + ( ”)1ynyv1vny3.互相偏好独立的定义：属性集 称为互相偏好独立 ,若 的每个非定正常子集 偏好独立于其补集 (=U )4.属性集 的子集 偏好独立于其补集 的定义(P130 定义 8.2) 当且仅当：对特定的 若 ( , ) ( ”, ) 则对所有 必有(
6、 , ) yYy0y0yYy( ”, ) 称属性集 的子集偏好独立于其补集 .y5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义 8.4，定理 8.4)消去条件 对 , , , , , x1ya1x2yaY2有( , )( , ),( , )( , )则必有( , )( , )1a2 x1y12则称 满足消去条件.Thomson 条件 将消去条件中的 改为.三、其他简单形式 31.拟加性：v( )= + +ykvyini1()jinjijkvy1()kjnjiii ijkvyvy1()()+ + ( ) ( )n2 n条件 i=1,2,n 弱差独立于其 补集 (详见 p135,定义 8.7)Yi Yi2
7、.乘性(pp136-137)若属性集 的每个非室子集 弱差独立于其补集 , 则v( )= +k +ykvyini1()kvyijnji ij1()k2kvyvyijjnjiii jk1()()+ + ( ) ( )n2 1n8.3 多属性效用函数一、二个属性的效用函数后果空间 XY，后果(x,y) ，设决策人在 XY 上的偏好满足公理(1)(6) ，则可用形如 v(x,y)= (x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)v设决策人关于 XY 空间及 P 上的抽奖的偏好为 u(x,y)则 u(x,y)和 v(x,y)代表了 XY 上相同的偏好，u(x,y)=(v(x,y)
8、. 其中 ()是保序变换决策人的行为符合理性行为 公理时, 形如 的抽奖p1xypnxy可以用期望效用 Eu(x,y)= 来衡量其优 劣. uxyini1,二、效用独立(Utility Independence)1.例： : l1: 2: 3: l4若效用独立, 则 l12l342.定义：若二个抽奖有公共的固定的 Y 的值而 X 中的值不同，决策人对它们的偏好与 Y 的取值无关，则称 X 是效用独立于 Y。效用独立又称风险独立(若 X 效用独立于 Y 则决策人对抽奖的 X上的风险态度与 Y 无关). 更一般的定义见 P147，定义 8.103.效用独立蕴含偏好独立(x,)(x,) 对某个 由
9、UI，对任何 成立 (x,) (x, )4.引理：X 是效用独立于 Y 的，当且仅当，对固定的 y0u(x,y)= (y) u(x, ) + (y) (x,y)XYy0其中 (y)0, (y),(y)的确定与 有关。0同理，Y 是效用独立于 X 的，当且仅当对固定的 x0u(x,y)= (y) u( , y) + (y) (x,y)XYx0其中(x)0, (x),(x)的确定与 有关。x045. X、Y 相互效用独立定理：X 和 Y 是相互效用独立的，则：若选( , )使 u( , )=0x0y0必有 u(x,y)= u(x, )+ u( ,y)+k u(x, )u( ,y)y0即 XY 相互
10、效用独立且 u( , )=0 时，u(x,y)具拟加性. x6.加性条件： 在上述假设下，再附加：对某个 , X, , Y,12y12x1yxx2y1且 ( , ) ( , ), ( , ) ( , )0200则 u(x,y)= u(x, )+ u( ,y)x加性独立也可以用另一种方式来表示:属性 X、Y 是加性独立的，若对所有 x,xX, y,yY8.定理设 u(x,y)是 XY 上的效用函数,且 X、Y 是加性独立的,则若选( , )使 u( , )=0x0y0有 u(x,y)= u(x, )+ u( ,y)y0x加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很 难满足。拟加性效用函数
11、的例某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣x:每天的日照时数y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:a. 他的偏好是相互效用独立的;b. x 的边际效用是线性的，日照愈 长愈好;c. y 的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)(8,12)(15,16)(12,8)他面临的度假地有两种选择A：x=10, y=14B: y=15 有 25%的可能性是 x=13, 75%的可能性是 x=4他应选择那一地点度假?解: 先选( , ).由于需要( , )( , )x0yx1y01在(10,16)(8,12)中， =8, =16 则 =10, =120y
12、令 u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由 x 边际效用的线性性 u(x, 16)=(x-8)/2同样，由 y 边际效用的线性性以及 u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1 可得：u(8,y)=(16-y)/4因此：u(x,y)= u(x, )+ u( ,y)+k u(x, )u( ,y)0y0x=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8(15,16)(12,8) u(15, 16) = u(12, 8)即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k 4/2 8/4 得 k=1/8因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64
