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孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7 非简谐效应.ppt

上传人:yjrm16270 文档编号:7328205 上传时间:2019-05-15 格式:PPT 页数:28 大小:865.50KB
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资源描述

1、4.7 非简谐效应,一、 晶体的热传导,本节主要内容:,二、 晶体的热膨胀,4.7 非简谐效应,在简谐近似的情况下,晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加,各振子间不发生作用,也不交换能量;,晶体中某种声子一旦产生,其数目就一直保持不变,既不能把能量传递给其他声子,也不能使自己处于热平衡状态。,也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.,所以,用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。,实际上,原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。,当在晶体的势能展开式中,考虑3次方及其

2、以上的高次项时,则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子.,通常把3次方及其以上的高次项称为非简谐项。,如果原子的位移相当小,则非简谐项和简谐项(2次方项)相比为一小量,则可把非简谐项看成微扰项。,由于微扰项的存在,这些谐振子就不再是相互独立的了,而相互间要发生作用,即声子和声子之间要相互交换能量。,这样,如果开始时只存在某种频率的声子,由于声子间的互作用,这种频率的声子转换成另一种频率的声子。即一种频率的声子要湮灭,而另一种频率的声子会产生。,这样,经过一定的弛豫时间后,各种声子的分布就能达到热平衡。,所以,非简谐项的存在是使晶格振动达到热平衡的最主要原因.,一般把从简谐晶体的声子出

3、发,在此基础上做进一步修改的方法,称为准简谐近似。,一、 晶体的热传导,1. N过程和U过程,把声子看成准粒子后,非简谐项的微扰作用,可导致声子态之间的跃迁。,这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用,或声子之间的碰撞或散射。,声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。,非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程,如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子;非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。,三声子过程(势能展开取到3次方项),四声子过程 (势能展开取到4次方项),两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.,声子的这

4、种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制.,由于弹性模量的变化,将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。,该过程遵循能量守恒和准动量守恒。,设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为1、q1和2、q2;而第三个声子的频率和波矢为3、q3,对于该三声子过程,则有:,由于晶格振动的状态是波矢的周期函数,即q 态和q + Gh态等价。因此还有如下等效关系,实际情况确实存在上述两种对应关系.,比如在研究热阻时,发现两个同向运动的声子相互碰撞,产生的第三个声子的运动方向与它们相反,即运动方向发生倒转。,因此两

5、个声子的碰撞过程可以满足,称为正常过程(normal process)或N过程.,两个声子的碰撞过程也可以满足,称为倒逆过程(Umldapp process)或U过程,也叫反转过程。,显然对于三声子碰撞过程来说,N过程意味着波矢q1+q2=q3始终在第一布里渊区内,且方向大致相同,因而不改变热流的基本方向.,而U过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外,导致q3几乎与q1+q2方向相反.,N过程,U过程,反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果,它是产生热阻的一个重要机制。,2. 晶格的热传导和热导率,我们在第一章已经讨论过金属的热传导,金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格

6、而言,我们可以认为晶格中存在大量的声子气体,声子是热能的携带者。声子属于波色子,满足波色统计,即,显然温度高的地方,声子数目就多;温度低的地方,声子数目就少。从而由于温度梯度的存在,将导致声子从高温向低温的扩散,形成热流。这是热传导的准经典解释。,类似于第一章,晶格的热导率满足,由于声子的平均热运动速度一般取成固体中的平均声速,所以基本上与温度无关,因而影响热导率的主要是晶格比热容CV和声子的平均自由程。,其中,CV为晶格比热容,为声子的平均自由程, 为声子的平均热运动速度,常取固体中的平均声速。,声子的平均自由程与声子数目有关,声子数目越多,声子之间的碰撞几率就越大,从而声子的平均自由程就越

7、小;反之,声子数目越少,声子之间的碰撞几率就越小,从而声子的平均自由程就越大。,声子数目可由波色统计给出。,高温时,声子数目满足 :,所以, 高温时, 声子数目与温度成正比, 从而导致声子的平均自由程随温度升高而变小, 即 T-1。,我们知道在高温时, 也就是温度远高于德拜温度时, 晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。,因此T D时,晶格的热导率随温度的升高而变小,满足 T-1。,所以,声子数目随温度的升高成指数规律变小,从而导致声子的平均自由程随温度升高而成指数规律变大,即 e A/T。,低温下, T D时,声子数目满足,此外,TD时,晶格比热容CV满足德拜三次方定律,即CV T3。,所以

8、,TD时,晶格热导率满足 T3eA/T。,显然T0时,声子的平均自由程,从而导致晶格热导率。,对于完整的晶体,即不存在杂质和缺陷的晶体,则声子的平均自由程等于晶体的线度D,是一个常数。,实际上热导系数并不会趋向无穷大,因为在实际晶体中存在杂质和缺陷,声子的平均自由程不会非常大。,所以TD时,对于线度为D的完整晶体,其热导率主要依赖于晶格的比热容,亦即,热导率 T3。,如图为4个表面状况不同的蓝宝石(Sapphire,Al2O3)晶体热导率的实验结果。,在低温下热导率 。,温度升高,q 变大,U过程开始出现,,峰值对应于N过程向U过程的过渡。,热膨胀:在不施加压力的情况下,晶体体积随温度变化的现

9、象称为热膨胀。,假设有两个原子,一个在原点固定不动,另一个在平衡位置R0附近作振动,离开平衡位置的位移用表示,势能在平衡位置附近展开:,1.物理图象,二、 晶体的热膨胀,(1)简谐近似,简谐近似下,温度升高,导致振幅变大,但位移的平均值为零,所以两原子间距不变,无热膨胀现象。,展开式中取前两项:,(2)非简谐效应,展开式中取前三项:,非简谐近似下,温度升高,导致振幅变大,位移的平均值不再为零,两原子间距增大,有热膨胀现象。,由热力学知,压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的关系为:,自由能F(T,V)是最基本的物理量,求出F(T,V),其它热力学量或性质就可以由热力学关系导出。,1.晶体的

10、状态方程,下面我们首先从热力学出发,给出晶体的状态方程,进而讨论热膨胀,自由能F分为两部分:内能U(和体积有关);束缚能(-TS),与温度有关。,晶格自由能,F1= Uequ(V),F2,由统计物理知道:,Z是晶格振动的配分函数。,频率为s的格波,配分函数为:,由晶格振动决定的内能,T=0时晶格的内能,若能求出晶格振动的配分函数, 即可求得热振动自由能。,按照自由能的定义,晶格自由能可表示如下:,忽略晶格之间的相互作用能,总配分函数为:,对于简谐晶体, 与体积无关;对于非简谐晶体,由于非线性振动,格波频率s也是宏观量V的函数.,采用准简谐近似,亦即体系能量仍由简谐近似给出,但 随体积变化,代表

11、非简谐效应,所以:,式中,表示频率为s的格波在温度T时的平均能量,而s与体积的关系很复杂,因此格林艾森假定,对于所有振动模式它近似相同,因此可令:,是与晶格的非线性振动有关与s无关的常数,称为格林艾森常数(Grneisen constant )。,这称为晶体的状态方程(格林艾森方程).,为晶格振动总能量。,对于大多数固体,体积的变化不大,因此可将 在晶体的平衡体积V0附近展开:,2.由状态方程讨论晶体的热膨胀,若只取到关于 的一次方项,则:,其中K是体积弹性模量.,热膨胀是在不施加压力的情况下,体积随温度的变化.上式两边对温度T求导得:,上式等号右边第二项是非常小的量可略去,所以,-称为格林艾

12、森定律,(1)热膨胀系数与格林艾森常数成正比.,对于简谐近似,格林艾森常数 = 0, 无热膨胀现象.,热膨胀是非简谐效应,热膨胀系数 可作为检验非简谐效应大小的尺度; 同样格林艾森常数 也可用作检验非简谐效应的尺度.,由于热膨胀系数 , 体积弹性模量K和比热CV可由实验测定,所以格林艾森常数 可求.对大多数晶体,格林艾森常数 值一般在13范围内.,(2) 热膨胀与热振动成正比,所以热膨胀系数 与晶体热容量 CV 成正比。,所以高温下,当TD时,晶体比热CV为常数,导致热膨胀系数为常数;,在很低温度下,TD时, 晶格比热CV T 3,所以热膨胀系数 T 3;,在更低温度(10K左右),对于金属,由于电子气的作用,热膨胀系数 T。,

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