1、管理运筹学 Operational Research,天津大学管理学院 郭均鹏,教师简介：,郭均鹏：博士，副教授，硕士生导师。 主要研究领域： 运筹决策技术；信息管理与企业信息化；绩效考核与薪酬体系设计联系方式：天津大学管理学院，,授课内容：,线性规划图论与网络分析网络计划风险型决策 排队论博弈论,课程教材：,吴育华,杜纲. 管理科学基础，天津大学出版社。,绪 论,产生于二战时期，运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用在我国，50年代中期由钱学森等引入,运用数学方法，为决策者进行最优决策提供科学依据的一门应用科学
2、。,一、运筹学的产生与发展,二、学科性质,三、运筹学的分支,线性规划 非线性规划 图论与网络分析 存储论 决策论 排队论 对策论（博弈论）,四、管理运筹学的工作程序,明确问题,问题分类,建立数学模型,求解数学模型,结果分析,实施,注意计算机软件的应用 Lindo、WinQSB等,第一章 线性规划 （Linear Programming，简称LP）,1 线性规划的模型与图解法,一、LP问题及其数学模型,例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源，有关单耗数据如表，试拟定使总收入最大的生产计划。,产品,资源,线性规划模型三要素： （1）决策变量设甲产品生产x1，乙产品生产x2 （2
3、）目标函数Max Z=7 x1 +12x2 （3）约束条件,9 x1 +4x2360 4x1 +5x2 200 3 x1 +10x2 300 x1 , x20,s.t.,返回,Subject To， 意为“使其满足”,LP模型的一般形式,其中: X= (x1,x2, , xn) T 为决策变量 C=(c1,c2, , cn) 称为价格系数 A=(aij)mn 称为技术系数 b= (b1,b2, , bm) T 称为资源系数,课堂练习,某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决定总花费最小的购买方案。（
4、列出模型）,养分,饲料,课堂练习,某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）,养分,饲料,答案：设购买M饲料x1，N饲料x2,0.5 x1 +0.1x210 0.2x1 +0.3x2 5 0.3x1 +0.4x2 80.2x2 7 x1 , x20,s.t.,Min Z=300 x1 +200x2,二、线性规划的图解法,1. 步骤,（1）作约束的图形可行域,可行解的集合,先作非负约束 再作资源约束,9x1+4x2=360,4x1+5x2=200,3x1+10x2=3
5、00,（2）作目标函数的等值线,给z不同的值，作相应直线，判断出z增大时，直线的移动方向,将直线向增大方向移动，直至可行域边界，交点X*即为最优解。,7x1+12x2=84,7x1+12x2=168,如：令7 x1 +12x2=847 x1 +12x2=168,X*=（20，24）， Z*=428,最优解： x1 = 0， x2 = 1 最优目标值 z = 3,课堂练习 图解法求解线性规划,2. LP 解的几种情况,注：出现（3）、（4）情况时，建模有问题,图解法的结论：,线性规划的可行域是凸集,线性规划的最优解若存在，必在可行域的在极点获得若在两个极点同时获得，则有无穷多最优解,极点,三、
6、线性规划应用举例与软件求解,例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,例1 （下料问题） 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,2,0,1,0.1,1,2,0,0.3,1,1,1,0.9,1,0,3,0,0,3,0,1.1,0,2,2,0.2,0,1,3,0.8,0,0,4,1.4,2x1 + x2 + x3 + x4 = 1002x2 + x3 + 3x5 + 2x6
7、 + x7 = 100x1 + x3+ 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 = 100x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 0,设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上述8种方案下料的原材料根数， 建立如下的LP模型：,最优解为： x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0,min Z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8,s.t.,一、线性规划的标准型,Max Z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn,a11 x1 + a12 x2 + + a1
8、n xn =b1 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn =bm x1 ，x2 ， ，xn 0,s.t.,1、标准形式,注：标准型中要求bi 0,2 单纯形法,（1）Min Z = CX,Max Z = -CX,（2）约束条件,例如： 9 x1 +4x2360,9 x1 +4x2+ x3=360,松弛变量,“”型约束，加松弛变量；,“”型约束，减松弛变量；,（3）自由变量xj,进行变量替换： xj= xj - xj ，其中xj 、 xj 0,二、LP解的基本概念,考虑标准型：,1. 可行解,满足（1）、（2）的解,2. 基本解,设r(A)=m，,则BX=b有唯一解，,，,结论：基
9、本解的个数,3. 基可行解,若基解X0，则称为基可行解。,结论：LP的基可行解对应于可行域的顶点。,基：A中m阶可逆子阵，记为B。,基向量：B中的列。,基变量：和基向量相对应的决策变量。,其余部分称为非基子阵，记为N。,例、研究约束集合,基本解的个数,令x2=x3=0，得基本解,X1=(1/2, 0, 0)T,对应于A点；,例、研究约束集合,基本解的个数,三、单纯形法的基本方法,基本方法：,确定初始基可行解,检验是否最优？,转到另一更好的 基可行解,停,Y,N,方法前提：模型化为标准型,1. 初始可行基B0的确定,若A中含有I：B0=I 若A中不含I：人工变量法,2. 最优性检验,把目标函数用
10、非基变量表示：,检验数向量，记为。当 0时，当前解为最优解。,方法：,（1）计算每个xj的检验数,（2）若所有j 0 ，则当前解为最优；,否则，至少有k 0 ，转3。,3. 换基迭代（基变换）,得新基，转2。,的计算:,四、单纯形法的实现单纯形表,12,0,0,0,单纯形表:,7,90,的计算:,40,30, ,枢纽元素,x3,x4,x2,30,0.3,1,0,0,0.1,50,2.5,0,0,1,-0.5,240,7.8,0,1,0,-0.4,3.4,0,0,0,-1.2,即:,即:,30.8,20,100,x3,x1,x2,24,0,1,0,-0.12,0.16,20,1,0,0,0.4,
11、-0.2,84,0,0,1,-3.12,1.16,0,0,0,-1.36,-0.52,X*=(20,24,84,0,0)TZ*=428,例：,用单纯形法求解,X*=(6,0,8,0)TZ*= -6,注：单纯形表中的信息 每一列的含义： B-1(b A)=(B-1b, B-1 P1,， B-1 Pn) 每个表中的B和B-1的查找：B从初表中找；B-1从当前表中找，对应于初表中的I的位置。,以第2个表为例：,终表分析最优基B* 和(B*)-1的查找,五、人工变量法（大M法）,1 问题:,增加人工变量 X人=（xn+1，xn+m）T， X人在目标函数中的系数为 -M（M为充分大正数）。,于是原问题化
12、为：,2 方法:,单纯形法求解() ,若,最优基变量中不含X人，则所得解的前n个分量即为X*,否则， ()无解。,3 结论:,例：用单纯形法求解,解：增加人工变量x5、x6，则模型化为：,Max Z = 5x1+3x2+2x3+4x4-Mx5-Mx6,5x1+ x2+ x3+8x4+x5 =10 2x1+4x2+3x3+2x4 +x6=10 x1,x6 0,s.t.,x5,x6,-M,-M,10,10,5/4,5,x4,x6,4,-M,10,2,x4,x2,4,3,5/3,10,x1,x2,5,3,X*=(5/3, 5/3, 0, 0)T, Z*=40/3,六、单纯形法总结,1、Min型单纯形
13、表与Max型的区别仅在于：令 k=minj 0的xk进基，当 0时最优。,2、解的几种情况及其在单纯形表上的体现（讨论Max型）,唯一 最优解,j 0, 非基0,多重 最优解,j 0 有非基k=0,无界解,有k 0 但B-1Pk 0,无可行解,用大M法求解，最优基中含有X人,退化解,最优解中某基变量为0,3 线性规划的对偶问题 （Dual Programming，简称DP）,一、对偶问题的提出和模型,1、问题的提出,煤电油例,今有另厂要购买三种资源，在原厂可接受的条件下，单价多少可是另厂付费最低？,设煤电油价格分别为y1, y2, y3,Min W=360y1+200y2+300y3,s.t.
14、,9y1+4y2+3y37,4y1+5y2+10y312,y1, y2, y3 0,DUAL,2、模型,原问题（P）：,对偶问题（D）：,Min W = bTY,ATY CT Y 0,s.t.,特点：,（1）P为max型，D为min型,（2）P的变量个数=D的约束个数,（3）P的约束个数=D的变量个数,1、对称性,（P）与（D）互为对偶,二、对偶性质与定理,2、弱对偶性,设X、Y 分别为（P）、（D）的任一可行解，则,3、解的最优性,设 、 分别为（P）与（D）的可行解，且,则,4、无界性,若（P）为无界解，则（D）无可行解,若（D）为无界解，则（P）无可行解,5、对偶定理,若（P）有最优解，
15、则（D）也有最优解，且二者最优值相等.,小结：,（1）对偶最优解Y*= CB B-1，其中B为原问题的最优基； （2）如何从（P）的终表中确定Y* ?,Y*即为（P）终表的XS的检验数的负值；若无XS，则用Y*= CB* (B*)-1计算。,6、检验数,（初表）,（终表）,由终表：Y*=(0 ,1.36 , 0.52)T,三、对偶问题最优解的经济解释影子价格,Y*=(y1* , y2* ,， ym* ）为DP的最优解，则yi* 表示 LP某资源bi 变化1个单位对目标 产生的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。,例、煤电油例的对偶问题的最优解为Y* =(0 1.36 0.52),则煤电油三种
16、资源的影子价格分别为0 、 1.36 、 0.52,影子价格在管理决策中的作用： （1）影子价格市场价格,若,影子价格市场价格，则应,影子价格市场价格，则应,买进该资源,卖出该资源,（2）影子价格反映了资源的稀缺性，影子价格越高，则越稀缺,例如：煤的影子价格为0，则表明有剩余,4 灵敏度分析,任务：当LP的系数A、b、c变化时，是否影响最优解或最优基？或：若不影响最优解或最优基， A、b、c的变化范围？,可行性：B-1b0,最优性：,一、b变,（只影响解的可行性）,问题：br在何范围变化时，不影响最优基？,例：煤电油例，讨论b2的变化,解得-5027或150b2227,问题： cj在何范围变化
17、时，不影响最优基（解）？,方法：,（讨论检验数）,（1） cj为非基价格系数,，解出,（2） cj为基价格系数,此时需考虑所有非基变量的检验数：,解出,例：煤电油例，为使最优解不变，求c1的变化范围。,解：考虑所有非基检验数,同理，,令,基变量的检验数仍全为0，故无需考虑。,三、A 变,（1） 增加新变量xn+1,例如，煤电油例又增加产品丙或丁，相关数据如右表。,问题：增加后是否影响最优基（解），从而判断是否 有利？（使目标改善）,方法：是否有利取决于是否进基。,故只需计算,，则有利,，则不利,例:,丙不应投产。,同理可得,丁应投产。,（2） 某列Pj Pj（只考虑非基向量情形）,问题：改变后
18、是否影响最优基（解）、有利？,方法：,只需计算,，则有利,，则不利,5 整数规划 Integer Programming(简称IP),一、 整数规划的一般模型,LP: max z=CXAX=bX0,IP: max z=CXAX=bX0X为整数,整数规划的解法：分枝定界法或割平面法,基本思想是把一个整数规划问题化为一系列的线性规划问题来求解,整数规划的分类：纯整数规划：所有变量都限制为整数混合整数规划：仅部分变量限制为整数0-1整数规划：变量的取值仅限于0或1,例 人力资源分配的问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：,设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工
19、作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,于是LP模型为:,x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0且为整数,min z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6,最优解：X* =(60 ，10，50 ，0 ，30 ，0）， Z*=150,二、 0-1整数规划,投资场所的选址问题指派问题背包问题消防队问题,1. 投资场所的选址问题某城市拟在东、西、
20、南三区设立商业网点，备选位置有A1A7共7个，如果选Ai，估计投资为bi元，利润为ci元，要求总投资不超过B元，规定东区：A1、A2、A3中至多选2个西区：A4、A5中至少选一个南区：A6、A7中至少选一个 问如何设点使总利润最大？,max z=,xi=0或 1，i=1, ,7,x1+x2+x32,x4+x51,x6+x71,s.t.,课堂练习1: 某钻井队要从S1S10共10个井位中确定五个钻井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且井位选择上要满足下列条件：（1）或选择S1和S7，或选择S8 ;,（2）选择了S3或S4就不能选择S5，反 过来也一样; （3）在S5，S6 ，S7，S8中
21、最多只能选两个。 问如何选择井位使总费用最小？,课堂练习1: 某钻井队要从S1S10共10个井位中确定五个钻井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且井位选择上要满足下列条件：（1）或选择S1和S7，或选择S8（2）选择了S3或S4就不能选择S5，反过来也一样（3）在S5，S6 ，S7，S8中最多只能选两个 问如何选择井位使总费用最小？,min z=,s.t.,或 1，i=1, ,10,某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？,课堂练习2:,
22、max z=,或 1，i=1, ,8,s.t.,某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？,2. 指派问题,例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示，问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？,问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由
23、一人完成。,x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作)x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作)x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作)x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( E任务只能一人干)x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( J任务只能一人干)x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( G任务只能一人干)x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( R任务只能一人干)xij = 0 或 1，i,j = 1,2,3,4,min z=2
24、x11+15x12+13x13+4x14+10x21+4x22+14x23+15x24+9x31+14x32+16x33+13x34+7x41 +8x42+11x43+9x44,课堂练习:P57例2.23,例：甲、乙、丙、丁是四名游泳运动员，他们各种姿势的100m游泳成绩如表。为组成一个4100m混合泳接力队，怎样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？,3. 背包问题,问题描述,已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,m）。,问题：携带哪些物品可使总价值最大？,一般模型,s.t.,1， 物品i被选中0，物品i没被选中,xi=,例：一个徒步旅行者
25、要在背包中选择一些最有价值的物品携带。他最多能带115kg的物品，现有5件物品，分别重54、35、57、46、19kg，其价值依次为7、5、9、6、3。问携带哪些物品可使总价值最大？,解：,模型为：,s.t.,4. 消防队问题,某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防救火站。下图表示消防站，111表示防火区域，图中连线表示各地区由哪个消防站负责。问题：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务？如果可以，应关闭哪个消防站？,则模型为,课堂练习:某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表所示，问为覆盖所有小区至少应建多
26、少所小学？,备选校址代号,覆盖的居民小区编号,ABCDEF,1、5、7,1、2、5,1、3、5,2、4、5,3、6,4、6,6 运输问题,一、运输问题的提出 生产某种产品，m个产地：A1,，Am,产量：a1,，amn个销地：B1,，Bn,销量：b1,，bn 已知：Ai至Bj的运输单价为cij 问题：确定Ai运往Bj的数量xij，使总运费最低？,二、运输问题的表示网络图 运输表 线性规划模型,A2,A3,B2,A1,B3,B4,B1,运输问题网络图,a2=125,a3=100,b1=80,b2=65,b3=70,b4=85,a1=75,供应量,供应地,运价,需求量,需求地,464,513,654
27、,867,352,416,690,791,995,682,388,685,运输问题的表格表示,运输问题线性规划模型,三、运输问题的分类,产销平衡问题：ai= bj产销不平衡问题：,供大于求：ai bj,供不应求：ai bj,四、产销不平衡问题,1. 产大于销 （ ）,模型：,运输表：,实际意义： 虚设一 个销地,运价为零,2. 产小于销 （ ）,模型：,运输表：,实际意义： 虚设一 个产地,五、应用举例（生产与储存问题）例、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台
28、每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,五、应用举例（生产与储存问题）例、某厂按合同规定须于当年每个 季度末分别提供10、15、25、20台同一 规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能 力及生产每台柴油机的成本如右表。如果 生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。 试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,产量,销量,25,35,30,10,10,15,25,20,10.95,10.8,11.10,11.25,11.1,11.25,11.40,11.00,11.15,11.30,M,分析：本问题可转化为一运输问题,最优方案为：,
