1、1考点七：整式方程（组）及应用聚焦考点温习理解一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为 未 知 数 ，（ 0ax0ba叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项。二.一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2
2、的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 )0(acbxa，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。三、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知， ax是 b 的平方根，当 0b时， bax，当 b0 时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的
3、应用。配方法的理论根据是完全平方公式 222)(baa，把公式中的 a 看做未知数 x，并用2x 代替，则有 222)(bxbx。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 )0(2acbxa的求根公式：42x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、二元一次方程组 1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程.2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组
4、两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。名师点睛典例分类考点典例一、一元一次方程【例 1】 （2017 湖北武汉第 17 题）解方程： 432(1)x 3【答案】x= 12.考点：解一元一次方程.【点睛】按照步骤去括号，移项，合并同类项
5、，系数化为 1 解方程即可【举一反三】1. （2017 浙江温州一模）解方程 132x，去分母正确的是（ ）A. 1x B. 2 C. 36 D. 2316x【答案】C【解析】 等式的两边同时乘以公分母 6 后去分母解：在原方程的两边同时乘以 6，得2-3（x-1）=6；故选 C2.若代数式 x5 与 2x1 的值相等，则 x 的值是 【答案】4【解析】试题分析：根据题意得： x5=2 x1，解得： x=4，故答案为：4考点：解一元一次方程考点典例二、一元一次方程的应用【例 2】 （2017 广东深圳二模）中国 CBA 篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1
6、场得 1 分，今年某队在全部 38 场比赛中最少得到 70 分，那么这个队今年胜的场次是（ ）A. 6 场 B. 31 场 C. 32 场 D. 35 场【答案】C4【解析】设胜了 x 场，由题意得：2x+（38x）=70，解得 x=32答：这个队今年胜的场次是 32 场故选 C【点晴】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“全部 38 场比赛中最少得到 70 分” ，等量关系：列出方程解答即可.【举一反三】1.闽北某村原有林地 120 公顷，旱地 60 公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的 20%，设把 x 公顷旱地改造为林地，则可列
7、方程为（ ）A60 x=20%（120+ x） B60+ x=20%120C180 x=20%（60+ x） D60 x=20%120【答案】A【解析】试题分析：设把 x 公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60 x=20%（120+ x） 故选 A考点：由实际问题抽象出一元一次方程2. （2017 新疆乌鲁木齐第 13 题）一件衣服售价为 20元，六折销售，仍可获利 02，则这件衣服的进价是 元【答案】100.【解析】试题解析：设进价是 x 元，则（1+20%）x=2000.6，解得：x=100则这件衬衣的进价是 100 元考点：一元一次方程的应用考点典例三、一元二次方程【例 3】解方程：
8、（1）2（x+1） 2=8；（2）x 2+2x+1=8（配方法） ；（3）2x 23x1=0 （公式法） ；（4）64（3y2） 2=9（2y3） 25（5） （x1） 24（x1）+4=0【答案】 （1）x 1=1，x 2=3；（2） 12x， 21x；（3） 1+74x， 2374；（4） 156y， 278；（4）x 1=x2=3试题解析：（1）2（x+1） 2=8，（x+1） 2=4，x+1=2， x=12，x 1=1，x 2=3；（2）x 2+2x+1=8，（x+1） 2=8，x+1= ，x 1=-1+2，x 2=-1- ；（3）2x 23x1=0，a=2，b=3，c=1，=（3）
9、242（1）=170，x= 317（ ） = 4 ，x 1= ，x 2= ；（4）64（3y2） 2=9（2y3） 2，664（3y2） 29（2y3） 2=0，8（3y2）+3（2y3）8（3y2）3（2y3）=0，（30y25） （18y7）=0，解得，y 1= 56 ，y 2= 78 ；（5） （x1） 24（x1）+4=0，（x1）2 2=0，（x3） 2=0，x3=0，得 x1=x2=3【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法观察方程的特征，选择适当的方法解方程即可.【举一反三】1.一元二次方程 x26x5=0 配
10、方后可变形为（ ）A（x3） 2=14 B（x3） 2=4 C（x+3） 2=14 D（x+3） 2=4【答案】C.【解析】试题分 析：x 26x5=0，把方程的常数项移到右边得，x 26x=5，方程两边都加上 32得，x 26x+9=5+9，所以（x3） 2=14，故答案选 C.考点：解一元二次方程.2.解方程：x 2+4x1=0【答案】x 1=2+ 5，x 2=2 5【解析】试题分析：移项可得 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解试题解析：x2+4x1=0x2+4x=1x2+4x+4=1+47（x+2） 2=5x=
11、2 5x1=2+ ，x 2=2 5考点：解一元二次方程.考点典例四、一元二次方程的应用【例 4】（2017 江苏无锡第 7 题）某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从1 月份到 3 月份，该店销 售额平均每月的增长率是（ ）A20% B25% C50% D62.5%【答案】C【解析】考点：一元二次方程的应用【点睛】根据增长率问题由 1 月份的销售额是 2 万元就可以表示出 2 月的快递总件数为 2（1+x） ，则 3 月的快递总件数为 2（1+x） 2，列出方程求解即可.【举一反三】1.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014 年约
12、为 20 万人次，2016 年约为 28.8万人次，设观赏人数年均增长率为 x，则下列方程中正确的是（ ）A20（1+2x） =28.8 B28.8（1+x） 2=20C20（1+x） 2=28.8 D20+20（1+x）+20（1+x） 2=28.8【答案】C.【解析】试题分析：设这两年观赏人数年均增长率为 x，根据“2014 年约为 20 万人次，2016 年约为 28.8 万人次” ，可得方程 20（1+x） 2=28.8故答案选 C8考点：一元二次方程的应用.2. （2017 甘肃庆阳第 9题）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
13、地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（ ）A （32-2x） （20-x）=570 B32x+220x=3220-570C （32-x） （20-x）=3220-570 D32x+220x-2x 2=570【答案】A【解析】试题解析：设道路的宽为 xm，根据题意得：（32-2x） （20-x）=570，故选 A考点：由实际问题抽象出一元二次方程考点典例五、二元一次方程组【例 5】. （2017 浙江衢州第 6 题）二元一次方程组 236yx的解是（ ）A. 1yx B. 24yx C. 15 D. 24yx【答案】B【解析】试题解析： 得到 y=
14、2，把 y=2 代入得到 x=4， 4y2x 故选 B考点：解二元一次方程组.【点睛】观察方程组方程的特点，选择适当的方法解方程组即可 9【举一反三】1. （2017 浙江嘉兴第 6 题）若二元一次方程组 3,54xy的解为 ,xayb则 （ ）A 1B 3C 1D 7 【答案】D.【解析】试题解析：x+y=3，3x-5y=4，两式相加可得：（x+y）+（3x-5y）=3+4，4x-4y=7，x-y= 74，x=a，y=b，a-b=x-y= 74故选 D.考点：二元一次方程组的解.2.已知 x，y 满足方程组 ，求代数式（xy） 2（x+2y） （x2y）的值【答案】原式= 53.【解析】试题
15、分析：解方程组的求得 x 与 y 的值，把代数式化简后代入计算即可求出值试题解析：原式=x 22xy+y 2x 2+4y2=2xy+5y 2，+得：3x=3，即 x=1，把 x=1 代入得：y= 51，则原式= 52+ =310考点：二元一次方程组的解法；整式的化简求值.考点典例六、二元一次方程组的应用【例 6】 （2017 新疆乌鲁木齐第 18 题 ）我国古代数学名著孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有 94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？【答案】笼中鸡有 23 只，兔有 12 只
16、【解析】考点：二元一次方程组的应用【点睛】设这个笼中的鸡有 x 只，兔有 y 只，根据“从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿”列出方程组，解方程组即可【举一反三】1. （2017 四川自贡第 15 题）我国明代数学家程大位的名著直接算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100 个和尚分100 个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y 人，则可以列方程组 【答案】13+=0【解析】试题解析：设大、小和尚各有 x，y 人，则可以列方程组：13+=0xy
