1、3.2 数据模型在某种意义上, 大多数基于信号处理的现代方法都依靠某些假设，而这些假设的数据是在真实的世界里观测到的数据。本章节讨论的是本书后文用到的现行数据模型。以下的情况是我们假设,我们在DOA估计算法中保持这种描述：各向同性和线性传输媒介：有 d信源发出 信号; 然后穿过介质侵犯到一个有M个元件的天线或传感器阵列。传输媒介来源和阵列之间假设是各向同性和线性的,换句话说,介质在所有不同的方向上其物理性能都相同,电磁波或信号在任何特定的点具有线性叠加性。各向同性介质和线性特性的保证：(1)电磁波的传播特点不会改变信号的到达方向。和（2）信号通过介质传播，然后受碰撞或者被有M个元素阵列中的元件
2、接收，这些元件计算出来可以作为 d信源所发出的以连续波阵面传递能量的d信号的线性的的叠加。此外,每个天线的增益或传感器单元假定是一个。远场假设： 信源位于远离阵列,这样每一个源所产生的波到达所有在平等的传播方向和波阵面平面的元件(远场近似)。这样，该授权领域的d信号到达阵列也会被考虑为彼此平行的。在信源和数组之间的距离远远大于阵列天线尺寸的情况下，这种假设可以实现。一种概测法是他们的距离比 2/D大， 是阵列天线的尺寸， 是信号波长。窄带假设：来自 d信源的 信号有着一样的载波频率，这样他们的频率集中在载波频率 cf附近。这样，从算数角度来讲，任何一个瞬时信源可以表示如下式： ()cos2()
3、tiicistft， 1id （3.1）若信号的振幅 ()it和信息承载 相位 ()it相对于 变化缓慢，那么可以认为信号是窄带的。 为波形信号从一个元件传播到另一个地方的时间。换句话说,()(iittand )(iitt (3.2)变化缓慢的 i和相位 i确保了式（3.1）的傅里叶变换中的的大多数频率在载波频率 cf的附近。为了方便数学分析，可以定义有复杂包络或相位的信号，表达式如下： ()()ijtenviistesuch that 2()Re()cjftrnviists (3.3)大多数接收器支持这种形式的复杂(或解析) 信号，这些接收器将接收到的信号分解成两个部分，同相部分（实部）和正
4、交部分（虚部）。AWGN信道: 假设噪声是复杂的白色高斯噪声。附加噪声取零均值，是一个和信号无关的空间随机过程。噪声对所有的阵列元件有相同的方差 2N，而且和所有的阵列元件或者传感器无关。图3.1描述了上述假定的场景。3.2.1均匀线阵（ULA）现在考虑一个由M个相同的全方位的元件等间隔的排列在一条直线上的均匀线阵。元件的邻间距为 ，信号源和第一个元件（最右边的）的距离为 d。这个配置如图3.2所示。图 3.1 本书考虑的场景图3.2 有M个元件的线阵的 d信源的方位估计数据模型假设信号源i 产生 一个平面电磁波信号 ,和阵列成 i角.此信号是一个窄带信号，用()rist表示。然后信号以速度
5、c经过 d距离的传播到达第一个（最右边的）元件。换句话说，被最右边元件接收的信号是信号 ()rist的延迟，延迟时间为 dc。表示如下，1()co2()()riididcdidstttftt (3.4)与之相对应的相量信号是 2()2()ci cjftfiidste。因为均匀线阵的元件位于一条直线上，信号到达第m个元件和信号到达最右边元件的距离相比，会多传播一个额外的距离（见图3.2）。这个额外的距离可以被表示为：(1)sini 1,2.mM (3.5) 因此，到达第m个元件的信号会有一个额外的延迟，表示如下：i()iicc (3.6)被第m个元件接收的信号是信号 1()ist（被第一个元件接
6、收的信号）的 mi秒延迟，表示如下：1(1)()()cos2()1Reirimimiidmidcidmii ijsttfttts(3.7)在此式中， snsinci if； i为空间频率，与产生 i度的信号的第i个信号源相关， /cf表示载波频率 cf对应的波长。在(3.7)推导中,应用(3.2)中用的近似法。在复杂的相量形式下,上述被接收的信号相当于：2()(1)(1)()cdii ijfttjmjmimidsteeste (3.8) 方程（3.8）表明，第 i个信号源发出的被第 个元件接受的信号和被第一个元件（最右边的）接受的信号是一样的，只不过有一个附加相移因子 (1)ijm。这一因子完
7、全取决于空间频率 i和与第一个元件的相对位置。为每个入射角 i确定一个来源，这里存在一个相应的空间频率 i。因此， (.,)iDOAe估计的整个目标是提取这些被阵列接受的信号的空间频率 i。为了能够由 i确定独特的 i，我们期望他们能够一对一的对应。因此，我们规定空间频率 i满足 i，可能DOA范围满足 90i。反过来需要元件间距满足/2如果元件间距不满足这个关系，那么在确定DOA的时候就会是非单值的，就是说，对由一个特定的 i确定的角度会有两个结果。这将会导致天线阵列具有光栅叶：除了主要的叶裂片，其他的允许信号来自不希望的方向。从技术上讲,这被称为空间混叠。类似于信号进行频域分析时的奈奎斯特
8、采样率。现在假设所有的信号产生于所有的 d信源，为 (),1istid，第 m个元件在 t时刻接收到的所有信号和噪声可以表达为：1()()dmimxtstnt(1)1(idjitet(3.9)(1)(idjmistnt1,2.M 为了区分信源产生的原始信号和加了噪声的信号或被接受的或被检测的受损信号,后者以后称为数据，用符号x或 x表示。用矩阵形式表示，（3.9）可以写为：1212()(),().()()dstt tststxanA(3.10)12()().TMttxt是被阵列接收的数据列向量。ss是信源产生的信号列向量。 12()().TMtntt是一个与附加噪声无关的零均值空间向量，空间协方差矩阵等于 2NM。阵列 ia转置列向量定义为：2(1)()=1 e .e ii ijjjMTia (3.11)它是未知空间频率 i的功能;它形成 Md转置矩阵 A:12() . .()dAaa (3.12)1212(1)()(1)ddjjjjMjMjee 根据阵列的不同阵型，不同的转置矩阵可以形成阵列。许多算法特别要求矩阵是中心对称的。幸运的是，许多用到的阵列阵型满足这个条件。例如均匀线阵和矩形阵列。在下一节里，我们回顾两个非常常见的中心对称阵列：ULA和URA。
