1、第 1 页一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率 100HZ,采样频率 1000HZ，通带最大衰减为 0.5HZ，阻带最小衰减为 10HZ，画出幅频、相频相应相应曲线。并假设一个信号 x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中 f1=50HZ,f2=200HZ。用此信号验证滤波器设计的正确性。三、设计原理1、数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只
2、是的形式和实现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过 ADC和 DAC,在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。2、数字滤波器的工作原理数字滤波器是一个离散时间系统，输入 x(n)是一个时间序列，输出 y(n)也是一个时间序列。如数字滤波器的系统函数为 H(Z),其脉冲响应为 h(n),则在时间域内存在下列关系y(n)=x(n) h(n) 在 Z 域内，输入输出存在下列关系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z)
3、,Y(Z) 分别为输入 x(n)和输出 y(n)的 Z 变换。同样在频率域内，输入和输出存在下列关系 Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw) 和 Y(jw)分别为 x(n)和 y(n)的频谱。w 为数字角频率，单位 rad。通常设计 H(jw)在某些频段的响应值为 1，在某些频段的响应为 0.X(jw)和 H(jw)的乘积在频率响应为 1 的那些频段的值仍为 X(jw)，即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。X(jw)和 H(jw)的乘积在频段响应为 0 的那些频段的值不管 X(jw)大小如何均为零，即在这些频段里的振幅不能通过滤
4、波器，这些频带称为阻带。一个合适的数字滤波器系统函数 H(Z)可以根据需要输入 x(n)的频率特性，经数字滤波器处理后的信号 y(n)保留信号 x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分。3、巴特沃斯滤波器设计原理(1) 基本性质巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示 1 cN/22a1)(jHN=1,2， （2-6）下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征a 对所有的 N， 。1aj20第 2 页b 对所有的 N， 即70.aj2cdB3alg2jHcc 是 的单调下降函数。jHa2d
5、 随着阶次 N 的增大而更接近于理想低通滤波器。如下图 2 所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次 N 的增加而变得越来越好，在截止频率 c 处的函数值始终为 1/2 的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于 1；在阻带内更迅速的趋近于零。图 2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数（2）系统函数设巴特沃斯的系统函数为 Ha（s） ，则：（3）设计过程巴特沃思低通滤波技术指标关系式为ap-20log|Ha(j )|， s其中： p 为通带边界频率， s 为阻带边界频率。代入式 1.4.1 可得:第 3 页经过化简整理可得：取满足上式的最小整数 N 作为滤波器的阶数。再将 N 代入可得： 或查
6、表求得归一化传输函数 H(s),令 s/ c 代替归一化原型滤波器系统函数中的 s,即得到实际滤波器传输函数。4、脉冲响应不变法所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列 h(n)等于模拟滤波器的响应 ha(t)的采样值，即h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)式中，T 为采样周期。因此数字滤波器的系统函数 H(Z)可由下式求得H(z)=Zh(n)=Zha(nT)Z-表示-的内容进行变换，变换的内容请参考相应的数字信号处理材料。如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数 Ha(s) ,求与之对应的数字滤波器的传递函数 H(z)的方法是：（1） 、求模拟滤波器的单位脉冲响应 ha
7、(t)。式中， LHa(s)表示对 Ha(s)的 Laplace.逆变换。Laplace 变换内容请参考高等数学的积分变换或信号处理教材。（2） 、求模拟滤波器单位冲激响应 ha(t)的采样值，即数字滤波器冲激响应序列 h(n)。（3） 、对数字滤波器的冲激 h(n)响应进行 z 变换，得到传递函数 H(z)。由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数 Ha(s)求出数字滤波器系统函数 H(z)的步骤是：（1）利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数 H(z)展开成Ha(s)= Rk(S-Pk)在 MATLAB 中这步可通过 residue 函数实现若调用 residue 函数的形式为b,a=
8、residue(R,P,K)形式。若为R,P,K=residue(a,b)则为上面调用形式的反过程。(2)将模拟极点 Pk 变换为数字极点 epkT 即得到数字系统的传递函数H(z)= Rk(1-epkT*z*(-1)式中 T 为采样间隔。（3）将上式转换为传递函数形式，可采用R,P,K=residue(b,a)。对于上面的步骤，中已经提供了冲激响应不变法设计数字滤波器的函数，调用格式为bz,az=impinvar(b,a ,Fs,Fp)第 4 页式中，b,a 为模拟滤波器分子和分母多项式系数向量；Fs 为采样频率（所滤波数据） ，单位Hz，缺省时为 1Hz，为预畸变频率（prewarped
9、frequency） ，是一个“匹配”频率，在该频率上，频率响应在变换前后和模拟频率可精确匹配。一般设计中不考虑。bz,az 分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。5、实验所用 MATLAB 函数说数。（1）N,wc=buttord(wp,ws,RP,As,s)该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数 N 和 3db 截止频率 wc。Wp、ws 和 wc是实际模拟角频率(rads)。Rp 和 As 为通带最大衰减和最小衰减。（2）Z,P,k=buttap(N)该格式用于计算 N 阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为 N 的列向量 Z 和 P，分别给出 N
10、 个零点和极点的位置， K 表示滤波器增益。（3）Y=filter(b,a,x)式中 b 表示系统传递函数的分子多项式的系数矩阵；a 表示系统传递函数的分母多项式的系数矩阵；x 表示输入序列；filter 表示输出序列。IIR 函数实现的直接形式。(4) b，a=butter（N，wc， ftype） 计算 N 阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量 b、a。说明： 调用参数 N 和 wc 分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和 3dB 截止频率的归一化值，一般是调用 buttord 格式（1）计算 N 和 wc。系数 b、a 是按照 z-1 的升幂排列。(5) B，A=butter
11、（N，c， ftype， s）计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量。说明：调用参数 N 和 c 分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和 3dB 截止频率(实际角频率)，可调用 buttord（2）格式计算 N 和 c。系数 B、A 按 s 的正降幂排列。tfype 为滤波器的类型：ftype=high 时，高通；c 只有 1 个值。ftype=stop 时，带阻；c=cl,cu，分别为带阻滤波器的通带 3dB 下截止频率和上截止频率。 ftype 缺省时：若 c 只有 1 个值，则默认为低通；若 c 有 2 个值，则默认为带通；其通带频率区间 cl cu。(6)H,w=freqz
12、(b,a,N)b 和 a 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，返回量 H 则包含了离散系统频响在 0pi 范围内 N 个频率等分点的值（其中 N 为正整数） ，w 则包含了范围内N 个频率等分点。调用默认的 N 时，其值是 512。可以先调用 freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用 abs()和 angle()函数及 plot()函数，绘制出系统的频响曲线。(7)lp2lp 函数 bt,at=lp2lp(b,a,w0)第 5 页该函数用于实现由低通模拟原型滤波器至低通滤波器的频率变换，可以用传递函数和状态空间 进行转换，但无论哪种形式，其输入必须是模拟滤波器原型。（8）
13、bz,az=impinvar（b,a,fs)把具有b,a模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为 fs 的数字滤波器的传递函数模型bz,az，如果在函数中没有确定频率 fs 时，函数默认为 1Hz. 4、设计思路 设定信号 模拟低通滤波器原型频率变换模拟离散化IIR 数字滤波器输出信号五、设计内容1.MATLAB 程序设计Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %滤波器截止频率Rp=0.5; Rs=10; %通带最大衰减和阻带最小衰减 Fs=1000; %采样频率Nn=128; %调用 freqz 所用的频率点数N,Wc=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); %模拟滤波器的
14、最小阶数z,p,k=buttap(N); %设计模拟低通原型 Butterworth 滤波器Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); %将零点极点增益形式转换为传递函数形式b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %进行频率转换bz,az=impinvar(b,a,Fs); %运用脉冲响应不变法得到数字滤波器的传递函数figure(1)H,W=freqz(bz,az,Nn,Fs); %绘制数字滤波器的幅值特性和相频特性subplot(2,1,1)plot(W,20*log10(abs(H);xlabel(频率);ylabel(幅度);grid on;subplot(2,1,2);第 6 页
15、plot(W,180pi*unwrap(angle(H);xlabel(频率); ylabel(幅度);grid on;figure(2)f1=50; f2=200; %输入信号的频率N=100; %数据长度dt=1Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采样间隔和时间序列x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %滤波器输入信号subplot(2,1,1); %绘制输入信号plot(t,x);title(输入信号 ); %用 filter 函数对输入信号滤波 y1=filter(bz,az,x); subplot(2,1,2); %绘出输出波形xlabel(时间)
16、title(输出信号 );第 7 页2.实验结果分析实验得到的两幅图如上所示，在第一幅图中，小于 100 处衰减小于 3Hz，而在大于120Hz 处衰减大于 15dB，满足滤波器设计指标。由第二幅图中看出对 50Hz 和 200Hz 频率成分的信号进行了滤波，滤除了 200dB 的信号，达到滤波的效果。六 .心 得 体 会程 序 仿 真 过 程 中 ， 我 找 到 了 我 要 设 计 的 低 通 滤 波 器 的 函 数 及 依 据 。 依 据 设计 的 滤 波 器 的 wp,ws,Rp,Rs 四 个 参 数 来 确 定 输 入 信 号 的 频 率 以 实 现 过 滤 的 目的 。 实 验 过
17、程 中 我 也 遇 到 很 多 问 题 ， 但 是 通 过 查 找 资 料 都 得 到 了 解 决 。 通 过这 次 课 程 设 计 学 习 ， 我 们 掌 握 了 matlab 的 仿 真 和 设 计 ， 对 低 通 滤 波 器 设 计 原 理的 加 深 了 解 及 技 术 指 标 的 设 置 。 这 次 课 程 设 计 不 仅 让 我 对 数 字 信 号 处 理 这 门 学科 的 理 论 知 识 加 深 理 解 ， 而 且 还 让 我 对 MATLAB 中 的 许 多 函 数 的 运 用 更 加 灵活 ， 而 且 还 增 强 了 我 的 解 决 问 题 的 能 力 。七、参考文献1数字信号处理 （第三版）高西全 丁美玉 编著 西安电子科技大学出版社2MATLAB 工具箱应用 苏金明 张莲花 刘波 编著 电子工业出版社3数字信号处理的 MATLAB 实现 万永革 编著 科学出版社第 8 页
