1、第二章 命题逻辑,第二章 命题逻辑,2.1 命题以及逻辑联结词 2.2 命题公式 2.3 命题公式的等价关系和蕴涵关系 2.4 范式 2.5 命题逻辑在二值逻辑器件 和语句逻辑中的应用,2.1 命题以及逻辑联结词,2.1.1 命题,所谓命题是指一句有真假意义的话。 例如：上海是中国最大的城市今天是星期二所有素数都是奇数1+1=2 命题用大写英文字母P，Q，P1，P2，表示。,如果一个命题是真的，就说它的真值是1； 如果一个命题是假的，就说它的真值是0。 也用“1”代表一个抽象的真命题，用“0”代表一个抽象的假命题。,定义2.1.1,设P是一个命题，命题 “P是不对的”称为P的否定，记以P，读作
2、非P。P是真的当且仅当P是假的。 例如： P：吉大是中国最大的大学。 P：吉大不是中国最大的大学。,定义2.1.2,设P，Q是两个命题，命题 “P或者Q”称为P，Q的析取，记以PQ，读作P或Q。 规定PQ是真的当且仅当P，Q中至少有一个是真的。 例如： P：今天下雨，Q：今天刮风， PQ：今天下雨或者刮风。,定义2.1.3,设P，Q是两个命题，命题 “P并且Q”称为P，Q的合取，记以PQ，读作P且Q。 规定PQ是真的当且仅当P和Q都是真的。 例如，P：22=5，Q：雪是黑的， PQ：22=5并且雪是黑的。,定义2.1.4,设P，Q是两个命题，命题 “如果P，则Q”称为P蕴涵Q，记以PQ。 规定
3、，PQ是假的当且仅当P是真的而Q是假的。 例如，P：f(x)是可微的，Q：f(x)是连续的， PQ： 若f(x)是可微的，则f(x)是连续的。,由定义知，如果P是假命题，则不管Q是什么命题，命题 “如果P，则Q”在命题逻辑中都被认为是真命题。 例如，P： 22=5，Q： 雪是黑的， 于是，命题 “如果22=5，则雪是黑的”是真命题。,定义2.1.5,设P，Q是两个命题，命题 “P当且仅当Q”称为P等价Q，记以PQ。规定，PQ是真的当且仅当P，Q或者都是真的，或者都是假的。 例如， P ： a2+b2=a2， Q： b=0， PQ： a2+b2=a2当且仅当b=0 。,例2.1.1,如果你走路时
4、看书，那么你会成为近视眼。 令P：你走路；Q：你看书； R：你会成为近视眼。 于是，上述语句可表示为（PQ）R。,例2.1.2,除非他以书面或口头的方式正式通知我，否则我不参加明天的会议。 令P：他书面通知我； Q：他口头通知我； R：我参加明天的会议。 于是，上述语句可表示为(PQ)R。,例2.1.3,设P，Q，R的意义如下： P：苹果是甜的；Q：苹果是红的； R：我买苹果。 试用日常语言复述下述复合命题： (1) (PQ)R (2) (PQ)R 解：(1)如果苹果甜且红，那么我买。(2)我没买苹果，因为苹果不甜也不红。,2.2 命题公式,2.2.1 公式,我们用大写的英文字母P，Q，R，等
5、代表一个抽象的命题，或称为命题符号。 定义2.2.1 命题符号称为原子。 例如，Q，S，等都是原子。,定义2.2.2 命题公式,命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串：(1) 原子是公式；(2) 0、1是公式； (3) 若G，H是公式，则(G)，(GH)， (GH)，(GH)，(GH)是公式；(4) 所有公式都是有限次使用(1)，(2)，(3) 得到的符号串。,规定：,公式(G)的括号可以省略，写成G。 整个公式的最外层括号可以省略。 五种逻辑联结词的优先级按如下次序递增： ， 例如，我们写符号串 PQRQSR 就意味着是如下公式： (P(QR)(Q(S)R),2.2.2 解释,定义2.2.
6、3 设G是命题公式，A1, , An是出现在G中的所有原子。 指定A1, , An的一组真值，则这组真值称为G的一个解释。 设G是公式，I是G的一个解释，显然，G在I下有真值，通常记为TI(G)。,例,定义2.2.4,公式G在其所有可能的解释下所取真值的表，称为G的真值表。 显然，有n个不同原子的公式，共有2n个解释。,例：G=(PQ)R，其真值表如下：,若公式G中出现的所有原子为A1，An，有时我们用m1，mn表示G的一个解释I，其中 例如，上例公式G的真值表中第二个解释就可以记为P，Q，R,定义2.2.5,公式G称为恒真的(或有效的)，如果G在它的所有解释下都是真的； 公式G称为恒假的(或
7、不可满足的)，如果G在它的所有解释下都是假的；公式G称为可满足的，如果它不是恒假的。 考虑G1= (PQ) P， G2=(P Q) P， G3=P P。,从真值表可以看出G1对所有解释具有“真”值，公式G3对所有解释具有“假”值，而G2具有“真”和“假”值。,G是恒真的当且仅当G是恒假的。 G是可满足的当且仅当至少有一个解释I，使G在I下为真。 若G是恒真的，则G是可满足的； 反之不对。 如果公式G在解释I下是真的，则称I满足G； 如果G在解释I下是假的，则称I弄假G。,在逻辑研究和计算机推理以及决策判断中，人们对于所研究的命题，最关心的莫过于“真”、“假”问题，所以恒真公式在数理逻辑研究中占
8、有特殊且重要的地位。,判定问题,能否给出一个可行方法，对任意的公式，判定其是否是恒真公式。 因为一个命题公式的解释的数目是有穷的，所以命题逻辑的判定问题是可解的(可判定的，可计算的)，亦即，命题公式的恒真，恒假性是可判定的。,2.3 命题公式的等价关系 和蕴涵关系,2.3.1 公式的等价,定义2.3.1 公式G，H说是等价的，记以G=H，如果G，H在其任意解释I下，其真值相同。 显然，公式G，H等价的充要条件是公式GH是恒真的。,基本等价式,1) (GH)=(GH)(HG)； 2) (GH)=(GH)； 3) GG=G，GG=G； (等幂律) 4) GH=HG，GH=HG； (交换律) 5)
9、G(HS)=(GH)S， G(HS)=(GH)S； (结合律),基本等价式,6) G(GH)=G，G(GH)=G； (吸收律) 7) G(HS)=(GH)(GS)， G(HS)=(GH)(GS)； (分配律) 8) G0=G，G1=G； (同一律) 9) G0=0，G1=1； (零一律) 10) (GH)=GH， (GH)=GH。 (摩根律),从上述众多的等价公式可以看出，每一个命题公式的表达式是不唯一的，这种不唯一性使得人们在进行逻辑推理时可以有千变万化的方式，即对于一个公式G，可根据如上等价公式，在等价的意义下，对其进行推演，从而得到G的各种等价形式。经验表明，自觉的使用逻辑规律和不自觉的
10、使用是完全不一样的，熟悉这些规律可以使我们的思维正确而敏锐。,定义2.3.2 完备集,设Q是逻辑运算符号集合，若所有逻辑运算都能由Q中元素表示出来，而Q的任意真子集无此性质，则称Q是一个完备集。 可以证明，都是完备集。,定义2.3.3 与非式,设P，Q是两个命题，命题 “P与Q的否定”称为P与Q的与非式，记作PQ。 “”称作与非联结词。 PQ为真当且仅当P，Q不同时为真。 由定义可知： PQ=(PQ)。,定义2.3.4 或非式,设P，Q是两个命题，命题 “P或Q的否定”称为P与Q的或非式，记作PQ， 称作或非联结词。 PQ为真当且仅当P，Q同时为假。 由定义可知： PQ=(PQ),是完备集,下
11、面我们来说明是完备集。P=PPPQ=(PP)(QQ)PQ=(PQ)(PQ) 读者可以自己证明也是完备集。,2.3.2 公式的蕴涵,逻辑的一个重要功能是研究推理。固然，依靠等价关系可以进行推理。但是，进行推理时，不必一定要依靠等价关系，只需是蕴涵关系就可以了。例如，若三角形等腰，则两底角相等， 这个三角形等腰， 所以，这个三角形两底角相等。又如，若行列式两行成比例，则行列式值为0， 这个行列式两行成比例， 所以，这个行列式值为0。,上面两个例子的推理关系涵义不同，但依据的推理规则相同，推理形式为： 若P则Q，P，所以Q。 推理的正确性与命题P，Q涵义无关，只决定于逻辑形式，命题逻辑中用公式表示命
12、题，命题间演绎推理关系，反映为公式间逻辑蕴涵关系。,定义2.3.5 蕴涵,设G，H是两个公式。 称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H)，当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G，则I也满足H，记作GH。 注意： 符号“”和“=” 一样，它们都不是逻辑联结词，因此，G=H，GH也都不是公式。是一种部分序关系。 公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式GH是恒真的。 例如：(PQ)P，(PQ)Q,定义2.3.6,设G1, , Gn，H是公式。 称H是G1, ,Gn的逻辑结果(或称G1, , Gn共同蕴涵H)，当且仅当公式G1 Gn蕴涵H。 显然，公式H是G1, , Gn的逻辑结果的充要条件是：公式(G1
13、Gn)H)是恒真的。 例如，P，PQ共同蕴涵Q。,定理2.3.1,如果H1，Hm，P共同蕴涵公式Q，则H1，Hm共同蕴涵公式PQ。例如，因为公式PQ，QR，P共同蕴涵R，所以PQ，QR共同蕴涵PR。,定理2.3.1,证明：因为(H1 HmP)Q，所以公式(H1 HmP)Q是恒真的。 利用下面的基本等价公式： P1(P2P3)=(P1P2)P3 于是，(H1 HmP)Q=(H1 Hm)(PQ)。 故(H1 Hm)(PQ)是恒真的。 所以H1，Hm共同蕴涵PQ。,2.3.3 演绎,定义2.3.7 设S是一个命题公式的集合(前提集合)。从S推出公式G的一个演绎是公式的一个有限序列： G1, G2,
14、, Gk 其中，Gi或者属于S，或者是某些 Gj (ji)的逻辑结果。 并且 Gk就是G。我们称公式G为此演绎的逻辑结果，或称从S演绎出G。 有时也记为SG。,例,设S=PQ，QR，PM，M 则下面的公式序列: M，PM，P，PQ，Q，QR，R 就是从S推出R的一个演绎。,引理,设G，H1，H2是公式。 如果G蕴涵H1，G蕴涵 H2，则G蕴涵 H1H2。 证明：任取G，H1，H2的一个解释I。 若I满足G，由假设知，I满足 H1，I满足H2，故I满足 H1 H2。由I的任意性，所以G (H1 H2)。,定理2.3.2,设S是公式集合，G是一个公式。于是，从S演绎出G的充要条件是G是S的逻辑结果
15、。 证明：必要性，设从S演绎出G，令 G1，Gk 是这个演绎。 对任意 Gi (i=1，k)，往证Gi 是S的逻辑结果。 对i用归纳法: (1) 当i=1时，因G1S，显然, G1 G1 是恒真公式，故S G1 ，即 G1 是S的逻辑结果。,(2) 设in时，命题成立。 (3) 当i=n时，若 GnS，则S Gn，归纳法完成。 若Gn是某些Gj (jn)的逻辑结果，不妨设 (Gj1 Gjh )Gn (1) 其中j1，jh都小于n。 由归纳假设知，SGjm ，m=1，h。由引理知：S( Gji Gjh ) (2) 根据(1)，(2)式及蕴涵关系的传递性，得 S Gn 即Gn是S的逻辑结果，归纳完
16、成。,充分性，若G是S的逻辑结果，由演绎的定义知，G是如下演绎：G1 ，Gk ，G 的逻辑结果，其中 G1 ，Gk 是S中所有公式。,定理2.3.3,设S是前提公式集合，G，H是两个公式。 如果从SG可演绎出H，则从S可演绎出GH。 证明：因为从SG可演绎出H，由定理2.3.2知，H是S G的逻辑结果。 亦即 (G1 Gk G)H 其中 G1 ，Gk 是S中所有公式。 由定理2.3.1知： (G1 Gk )(GH) 即GH是S的逻辑结果，再由定理2.3.2知，从S可演绎出GH。,基本蕴涵式,PQP PQQ PPQ QPQ P(PQ) Q(PQ) (PQ)P,基本蕴涵式,(PQ)Q P，QPQ
17、P，PQQ P，PQQ Q，PQP PQ，QRPR PQ，PR，QRR,2.3.4公式蕴涵的证明方法,真值表法； 证G H是恒真公式； 利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导； 任取解释I，若I满足G，往证I满足H； 反证法，设结论假，往证前提假。,2.3.4公式蕴涵的证明方法,若给出前提集合S=G1 ，Gk ，公式G，证明SG有如下两种方法： 1. G1 Gk G 2. 形式演绎法,形式演绎法,根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G，在演绎过程中遵循以下三条规则： 规则1. 可随便使用前提。 (根据演绎定义) 规则2. 可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果。 (根据演绎的定义)
18、规则3. 如果需要演绎出的公式是PQ的形式，则我们可将P做为附加前提使用，而力图去演绎出Q。 (根据定理2.3.3)。,例2.3.1,证明(PQ)，(PR)，(QS)SR PQ 规则1 PQ 规则2，根据1QS 规则1PS 规则2，根据2，3SP 规则2，根据4PR 规则1SR 规则2，根据5，6SR 规则2，根据7。,例2.3.2,证明P(QS)，RP，QRSRP 规则1R 规则3P 规则2，根据1，2P(QS) 规则1QS 规则2，根据3，4Q 规则1S 规则2，根据5，6RS 规则3，根据2，7,例2.3.3,若厂方拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过一年并且工厂经理辞职。 问：如
19、果厂方拒绝增加工资，而罢工又刚刚开始，罢工是否能停止? 令 P： 厂方拒绝增加工资；Q： 罢工停止；R： 工厂经理辞职；S： 罢工超过一年。,于是， G1：(P(RS)QG2：PG3：SH： Q 我们要证明： H是G1，G2，G3的逻辑结果。 1. S 规则1 2. SR 规则2，根据1,3. (RS) 规则2，根据2 4. P 规则1 5. P(RS) 规则2，根据3，4 6. (P(RS)Q 规则1 7. Q 规则2，根据5，6亦即，罢工不会停止。,2.4 范式,2.4.1 析取范式和合取范式,定义2.4.1 原子或原子的否定称为文字。 例如，P，P是文字。 定义2.4.2 有限个文字的析
20、取式称为一个子句； 有限个文字的合取式称为一个短语。 特别，一个文字既可称为是一个子句，也可称为是一个短语。 例如，P，PQ，PQ是子句，P，PQ，PQ是短语。,定义2.4.3 析取范式、合取范式,有限个短语的析取式称为析取范式； 有限个子句的合取式称为合取范式。 特别，一个文字既可称为是一个合取范式，也可称为是一个析取范式。一个子句，一个短语既可看做是合取范式，也可看做是析取范式。 例如，P，PQ，PQ，(PQ)(PQ)是析取范式。 P，PQ，PQ，(PQ)(PR)是合取范式。,定理2.4.1,对于任意命题公式，都存在等价于它的析取范式和合取范式。 证明：对于公式G，通过如下算法即可得出等价
21、于G的范式： 步1. 使用基本等价式，将G中的逻辑联结词， 删除。 步2. 使用(H)=H和摩根律，将G中所有的否 定号都放在原子之前。步3. 反复使用分配律，即可得到等价于G的范 式。,例：,G = (P(QR)S=(P(QR)S=P(QR)S=P(QR)S . (析取范式)=P(QR)(S(QQ)=P(QR)(SQ)(SQ) (析取范式)=(PS)(QR)=(PSQ)(PSR) (合取范式),2.4.2 主析取范式和主合取范式,定义2.4.4 设P1,Pn是n个不同原子，一个短语（子句）如果恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与P1,Pn的顺序一致，则称此短语（子句）为关于P1,P
22、n的一个极小（大）项。 显然，共有2n个不同的极小（大）项。 例如，对原子P，Q，R而言，PQR，PQR，PQR都是极小项，但是，P，PQ不是极小项，而PQ对原子P，Q而言是极小项。,显然，对于n个原子P1,Pn而言，其不同的解释共有2n个，对于P1,Pn的任一个极小项m，2n个解释中，有且只有一个解释使m取1值。 例如，对P，Q，R而言，PQR是极小项，解释P，Q，R使该极小项取1值，其他解释都使该极小项取0值。 如果将真值1，0看做是数，则每一个解释对应一个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i，今后将m记为mi。,例:,对P，Q，R而言，PQR是极小项，解释(0，1
23、，0)使该极小项取1值，解释(0，1，0)对应的二进制数是2，于是PQR记为m2。 对P，Q，R而言，8个极小项与其对应的解释如下：,一般地，对P1,Pn而言，2n个极小项为,定义2.4.5主析取范式,设命题公式G中所有不同原子为P1,Pn，如果G的某个析取范式G中的每一个短语，都是关于P1,Pn的一个极小项，则称G为G的主析取范式。 恒假公式的主析取范式用0表示。,定理2.4.2,对于命题公式G，都存在等价于它的主析取范式。 证明：由定理2.4.1知，存在析取范式G，使得G=G。设G中所有不同原子为P1,Pn，对于G中每一个短语Gi进行检查，如果Gi不是关于P1,Pn的极小项，则Gi中必然缺
24、少原子P j1,Pjk。,因为：,于是将G中非极小项Gi化成了一些极小项之析取。对G中其他非极小项也做如上处理，最后得等价于G的主析取范式G*。,例,求G=(RP)(Q(PR)主析取范式。 解： G =(RP)(Q(PR)=(RP)(QP)(QR)=(PR)(QP)(QR)=(PR)(QQ)(QP)(RR)( (QR)(PP)=(PQR)(PQR)(PQR)(P QR),求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。,G的主析取范式为(PQR) (PQR) (PQR) (PQR),例,于是，G的主析取范式为(PQR) (PQR) (PQR) (PQR),证明真值表法的正确性,对于公式G，用这种方法
25、写出主析取范式G，若解释I使G取1值，而在I下取1值的唯一极小项写在G中，故G也取1值，若I使G取0值，而在I下取1的唯一极小项不在G中且I弄假其它所有极小项，故G取0值，所以G是与G等价的主析取范式。,定理2.4.3,设公式G，H是关于原子P1,Pn的两个主析取范式。 如果G，H不完全相同，则G，H不等价。 证明：因为G，H不完全相同，所以或者G中有一个极小项不在H中； 或者反之。不妨设极小项mi 在G中而不在H中。 于是根据极小项的性质，二进制数i所对应的关于P1,Pn的解释Ii使mi取1值，从而使公式G取1值。 Ii使所有不是mi的极小项取0值，从而使公式H取0值。 故G，H不等价。,定
26、理2.4.4,对于任意公式G，存在唯一一个与G等价的主析取范式。,2.4.3 恒真恒假性的判定,引理 短语是恒假的当且仅当至少有一个原子及其否定(也称互补对)同时在此短语中出现。 证明：充分性，若有一个原子P及其否定P同时出现在短语中，则此短语有形式： PP 显然，不管是什么解释I，PP在I下取0值，于是此短语在I下取0值，故此短语恒假。 必要性，若短语恒假，而任意原子及其否定均不同时在短语中出现。那么，取这样的解释I：指定带有否定号的原子取0值，不带否定号的原子取1值，显然，此短语在这个解释I下取1值，与此短语恒假矛盾。,定理2.4.5,命题公式G是恒假的当且仅当在等价于它的析取范式中，每个
27、短语均至少包含一个原子及其否定。 证明： 设G的析取范式如下： G=G1Gn 其中Gi是短语，i=1，n。 显然，公式G恒假的充要条件是每个Gi恒假。 再根据引理，此定理结论显然成立。,例2.4.1,判断公式G=(PQ)(QR)(RP)是否恒假? 解： G=(PQ)(QR)(RP) =(PQ)(QR)(RP) =(PQ)(QQ)(PR)(QR)(RP) =(PQR)(QQR)(PRR)(Q RR)(PQP)(QQP)(PRP) (QRP) 故公式G不是恒假的。,例2.4.2,判断公式G=(PQ)PQ是否恒假? 解：G=(PQ)PQ =(PQ)PQ =(PPQ)(QPQ) 故公式G是恒假的。,其
28、它方法,把公式化成主析取范式， 公式恒假时，主析取范式没有极小项； 公式恒真时，主析取范式有全部极小项。 一种判定算法 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1,P2,Pn，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2, Pn，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。,例2.4.3,命题逻辑总结,1命题逻辑:简单命题 复合命题,P、PQ、PQ、PQ、PQ 2命题公式：定义 命题公式的解释，对公式中所有原子的一组0或1的赋值；n个原子公式的解释个
29、数、真值表；公式的恒真恒假判定 3公式的等价与蕴涵： 等价的定义与充分必要条件、等价式 完备集及其判断证明（表示与最小性）,蕴涵的定义与充分必要条件、蕴涵式 共同蕴涵的相关结论 公式蕴涵的证明方法 形式演绎法证明公式集S蕴涵某公式S 3范式：合取范式（析取范式）存在，但不唯一； 主析取范式（主合取范式）存在且唯一； 极小（大）项有唯一解释使其为真（假） 主析（合）取范式恒真（假）则包含所有极小（大）项； 主析（合）取范式的求解方法，转化与真值表法；公式恒真恒假的判定,命题逻辑总结,综合应用题,这部分最能体现学生能力，也是能够出新题的部分，一般有门电路，主要考连接词的转化；逻辑判断，主要考等价问
30、题的证明和主析取范式的应用；最后就是先翻译命题，再推理推证的题目。 例1某电路有1个灯泡和3个开关A,B,C。已知仅在下列4种情况下亮(1)C开，A和B关；(2)A开，B和C关；(3)B和C开，A关；(4)A和B开，C关。 设F表示灯亮，p,q,r表示A,B,C开，则F为p,q,r的命题公式。 （1）求F的主合取范式；(2)在联结符号集,中化简F（尽可能少联结词）（北大94年）,A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只回答：“是”和“不是”。你应如何发问，才能从士兵处获得去首都的道路。,综合应
31、用题,公安人员审问四个偷窃嫌疑犯A,B,C,D。已确切地知道，这四个人当中仅有一个人是偷窃者，还知道这四个人说的话，要么全是真话，要么全是假话。在回答公安人员的问话时： A说：是B偷的，不是D偷的； B说：我没有偷，是C偷的； C说：A没有偷，是B偷的； D说：我没有偷，我用的那东西是我家里的。 请根据四人的答话，判断谁是偷窃者。 分析算法：1先制表帮助思考，用对号表示某人说某人是偷窃者，用叉表示说某人不是偷窃者；2针对A,B,C,D四人，可建立四重循环，循环变量为i,j,k,m,取值均为0、1，分别表示A,B,C,D不是和是小偷；3在循环体内，验证两个条件：只有一个人是小偷和四个人说的话，要么全是真话，要么全是假话。组合以后有16种可能，最后推出B是小偷。,
