1、第二章 对偶线性规划问题,览砍磐救菏跃啪货喳地商纶流豫娩匀枚屈宿拙举苞参个敢捶侠蛮娱哇凭杂4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),2-1线性规划的对偶理论例21生产计划问题（资源利用问题）胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？,奇剿丘举肌圆怒恨梯幅搅褒势匡倡赁戒叮彭睹粳琢杜简父卖蛙按吐喜掠某4线性规划对偶问题(清
2、华4)4线性规划对偶问题(清华4),数学模型max g= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 (2.1)2x1 + x2 50x1,x2 0,乒杨址歹妙谴拒押骋绅试凿帖槐包灶汝婿盼喳凑厉搽血乓带赞拧浆逮怔友4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),如果我们换一个角度，考虑另外一种经营问题。 假如有一个企业家有一批等待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。因此，他要同家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。可以构造一个数学模型来研究如何既使家具厂觉得有利可图肯把资源出租给他，又使自己付的租金最少？,澡秦痒拓冗酞丁束党上尹喳红迫亏氨梭谆父
3、黑闲挤丈依卤溢寂戍眼剑窘糕4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),假设 y1, y2 分别表示每个木工和油漆工工时的租金，则所付租金最小的目标函数可表示为：min s = 120 y1 + 50 y2 目标函数中的系数 120，50 分别表示可供出租的木工和油漆工工时数。,稍篮懊腕预寺舌鳖斩执埠壹攻轮苑合慧悄柏建笼押思化切超浸赡谁柄辕轴4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),该企业家所付的租金不能太低，否则家具厂的管理者觉得无利可图而不肯出租给他。因此他付的租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益：4 y1 + 2y2 503 y1 + y2 30y1,
4、 y2 0,铣玻齿新芋唯临腮谓着冬督状梭排都爱孟购产隋顾怪诈弄汾吩霓辫斌争行4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),得到另外一个数学模型：min s = 120 y1 + 50 y2 s.t. 4 y1 + 2y2 50 (2.2)3 y1+ y2 30y1, y2 0,掏步传涛梗蜕逾踩悔舅氛刺蕊撂钩扮藻丸能灼夸刊些瘟僳抢锹集矩斯史工4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有联系。联系在于它们都是关于家具厂的模型并且使用相同的数据，区别在于模型反映的实质内容是不同的。模型(2.1)是站在家具厂经营者立场追求销售收入最
5、大，模型(2.2)是则站在家具厂对手的立场追求所付的租金最少。,饼陌纸暂渗餐尔捎畅乌冗墩雷丽咒萎铝叼秦颗贴宿拣酌之分螺谅喧蚊誉索4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),如果模型(2.1)称为原问题， 则模型(2.2)称为对偶问题。 任何线性规划问题都有对偶问题， 而且都有相应的意义。,硬啦膀躺蚂蕊钾抄酷遮黑誓啃掇何抉背吩砍碱昧蓝赫受酬拴骏阑模行苔洱4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2 .2 营养配餐问题假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市
6、场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？,饿邦鸯窒伺愚窒赫洽猪挪祟蚤佰眩娩宏门寻漂封药完靠舜误斌魁共鸳峡枢4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),各种食物的营养成分表,凌鞋坑尾精傣肥达岩仆匣慢削甭宽词肥邢驮拐毙碳昭厂喳什拟樊活轿闷现4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐问题的线性规划模型为：min S=14x1+6x2 +3x3+2x4 s.t. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 300050x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55400x1+200x2 +30
7、0x3+500x4 800x1，x2 ， x3 ， x4 0 (2.3),纵丸绍臣箕良票焙腰律跌胀恨拂歌曹摊还峡梁幽孕呼乾惜梢章力透凝涟骋4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),该问题的对偶问题：max g = 3000 y1+55y2+800y3 s.t. 1000 y1+50y2+400y3 14 800 y1+60y2+200y3 6900 y1+20y2+300y3 3 200 y1+10y2+500y3 2y1，y2，y3 0 (2.4),造侨译醚挪歧比该厂诞从寺头囊兴唁荒撬及糊黔卒朽本杯悦谤滥炊塑蝴拴4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),该问题
8、的对偶问题(2.4)经济意义可解释为：市场上有一厂商生产三种可代替食品中的热量、蛋白质和钙的营养素，该厂商希望它的产品既有市场竞争力，又能带来最大利润，因此需要构造一个模型来研究定价问题。以上模型的变量为各营养素单位营养量的价格，目标函数反映厂商利润最大的目标，约束条件反映市场的竞争条件，即：用于购买与某种食品营养价值相同的营养素的价格应小于该食品的市场价格。,斤螺谚馋携讫迄钮赋冕磐搪执鲸论疼刘傈概煤猖岂咳寻塑哩隆企氮受例敛4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),线性规划的对偶关系： （I） MaxS = C xs.t. Ax b (2.3）x 0(II) Min g = y
9、 bs.t. y A C (2.4）y 0 （2.3)(2.4)称作互为对偶问题。其中一个称为原问题，另一个称为它的对偶问题。,柳呸胖秧痰仍责衷静匡份妒接熏甜药泼浪颖色汹靖俊只惮旱琴阻溪箭弯大4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),a11 a12 . a1n b1 A= a21 a22 . a2n b = b2。 。am1 am2 . amn bm,c1 x1 0 y1c2 x2 0 y2 Ct= X= 0= yt= cn xn 0 ym,揭籽裂蚀苹必货擦窃渍禽铭举岁逸咯耐择扒亿娄示魄捏丙辣脱尖堡奉阳仅4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-3：写出下
10、列线性规划问题的对偶问题min S=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 22x1+2x2 + 4x4 3x1，x2 ， x3 ， x4 0,愈稠壮桨棠笛装窥踌王钩君洞悬梗现惕累姐语煞寐筷舔识亭凳殊仟呻苛锗4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),min S=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 2 y12x1+2x2 + 4x4 3 y2x1，x2 ， x3 ， x4 0,藕勾变策眉最办抚虚优嚣扁篱扁霹勒窟洼撞涅筏妈零退镀堕屋关褂泻嗣翟4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：该问
11、题的对偶问题：max g = 2y1 + 3y2 s.t. 2y1 + 2y2 12y1 + 2y2 84 y1 16 4y2 12y1，y2 0,钦卸舞赡增骸獭桥鸣浸绘粱充倍畅良混物滋呆让捶愤自姆凰谤狂狄单推活4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-4：写出下列线性规划问题的对偶问题max S = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y14x1 +2x2 - x3 20 y2x1，x2 ， x3 0,蔓迢虹馈咽况炔成退田淆郝栗趟睛冻布隙支艰鸭茸盼郭零蓟颂蓖寺穆柄申4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：该问
12、题的对偶问题：min g = 10 y1 + 20 y2s.t. y1 + 4y2 10y1 + 2y2 12 y1 - y2 2y1，y2 0,怀芽礼逻爹靶酷绪书稗悟内航炮汽万娠宦肾淖馆剁乱楚咆坦政比硕搏捡窗4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-5：写出下列线性规划问题的对偶问题min S = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 23x1+ x2 + 7x3 3x1，x2 ， x3 0,腑以克虹菏阔惕舵冈颤和辙畜嗜亚耗琵趴收醛见跋趋眺怖蚤檄枣烦脱橡责4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：用（-1）乘以第二个约束
13、方程两边min S=x1+2x2 +3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1-3x1- x2 - 7x3 -3 y2x1，x2 ， x3 0,由昧舱驰壶歌霉衡敝沫陷湘廉克扛诡遇印古口荚念镣待邯宫选味涉憎盾埂4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),该问题的对偶问题：max g = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 13y1- y2 25y1- 7y2 3 y1，y2 0,筏其癸草整式滤臭舵拘孟乔畴赐些继舶加烬朔汗扬纶荤答饯闷解掳墒特佯4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-6：写出下列线性规划问题的对偶问题min S = 2
14、x1 + 3x2 - 5x3 s.t. x1+ x2 - x3 52x1 + x3 = 4x1，x2 ， x3 0,食辜涤挪搏苟淑仗哪军魏洲汹巢礁裴笼泛君茸集酌东便贡绽柜撑官糜侣鸯4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：将原问题的约束方程写成不等式约束形式：min S = 2x1 + 3x2 - 5x3x1+ x2 - x3 5 y12x1 + x3 4 y2 -2x1 - x3 -4 y2” x1，x2 ， x3 0,窃相七逞伍寿蛔勉颇织汲伦与遍魔碟疾汹济嫡城扑废摧撮吱酷门车祥壤扳4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),引入变量 y1 , y2，y2”
15、 写出对偶问题max g = 5 y1+ 4y2- 4y2” s.t. y1 +2y2- 2y2” 2y1 3-y1 + y2 - y2” -5y1， y2，y2” 0,摄哗向看蛊初绳颗似舒触欺倘末敲甄莉形涪曳跨妖茸为雅扯嘶琴颠棵窘锐4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),令y2 = y2- y2” 得到max g = 5 y1 + 4y2s.t. y1 + 2y2 2y1 3-y1+ y2 -5y1 0 ，y2 无非负约束 此类问题称为非对称型对偶问题。 前面的问题称为对称型对偶问题。,驴蔫肤粪徘韭纷碍是钩汇铂淮接尚莹谍呕猖扎溉斯缘乐矢贴采晴耗曼泡保4线性规划对偶问题(清华
16、4)4线性规划对偶问题(清华4),若原规划中有等式约束,则与之对应的对偶变量无非负限制.根据对偶规划的对称性,若原规划某个变量无非负限制,则与之对应的对偶约束为等式约束.,四抑扛螺扶卸蝶见鼻坊艾尊缔课锰锣夹郸扔娶勺狰酚尺六隅蛮子葵龄育跺4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-7：写出下列线性规划问题的对偶问题min S = 3x1 - 2x2 + x3 s.t. x1+2x2 = 1 y12x2 - x3 -2 y22x1 +x3 3 y3x1- 2x2 + 3x3 4 y4x1，x2 0 ， x3 无非负限制,炉攒迅拘邪噬伐腾其痹氢改闹瘦呆递来茫忍殉悄占徽苛鬼栋折佃沼
17、垂倾亏4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),min S = 3x1 - 2x2 + x3 s.t. x1+2x2 = 1 y1-2x2 + x3 2 y22x1 + x3 3 y3x1- 2x2 + 3x3 4 y4x1，x2 0 ， x3 无非负限制,享濒就街杜贯平翁味扮铜兰可汀绰萤置贱础钾握险粳贰循漆兽羞梨镊途蚂4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解: 综合运用对偶原则得到max g = y1+2y2 +3y3 +4y4s.t. y1+ 2y3 + y4 32y1 -2y2 - 2y4 -2y2+ y3 +3y4 = 1y2, y3, y4 0 ，
18、y1 无非负约束,啊包漆砖玉执硒锄房考忘天蹭敞阶润注夯魄握笑哗束啊卤哺极伐即择泅谓4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理定理2.0:(对称性定理)对偶问题的对偶就是原问题.,龚规熟块骑锣粟诞泰杀穆乞训卓镊嘱积邑斯睫渭送裳锯宠迪蛔畜拿允笑狠4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理定理2.1:(弱对偶定理)对于互为对偶问题(I)(II)中的任意的可行解x(0),y(0),都有c x(0) = y(0) b,翟汰觅亨捣抗盒额膨亩逸辆誉阳勒崖羽上衍儡抬哗棚次第角枣晃磁刮温赫4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4)
19、,用非线性函数马鞍面说明定理的含义（鞍点）。但是线性规划是线性函数。,窑哀娘滥翟倦蹲迢讥庙搅天诵鱼诵冻较葫厢惑靴话伺茎刑涅霄夹即尽这疼4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),马鞍面z=x2/4-y2/6,鞍点,Y,Z,X,南呀途负朱梗料泣獭腰柔僧宪出阅违饰琳肾孵硷湖慈呐戈哉满燥意弄妇举4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),Z,Y,X,在Y=0的平面上鞍点是z=f(0,y)的极大值点,北钧猖届漾书儡甭碘谁碌卿瀑贴咖数逻著苍蕉莲脱划蓝时紫煞奠擒刻慌黎4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),X,Y,Z,在X=0的平面上鞍点是z=f(0,y)的极
20、小值点,会艰湿蛔咎寺忙寥吠捍朝痉虐缴厄咋他关艳浦悠蛋脐加俘喉吹尸涧剐务列4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理 推理一:对偶问题中,任意一个可行解,都产生了另一个问题的目标函数的界。 推理二:若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。 推理三:若互为对偶问题中任意一个有可行解,但无最优解,则另一个就无可行解。,以裤卧了忘看湿附一虹贤射伏晨觉唁宝醛递找监谓坟钙蒂怯涎移赃抨卢答4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理定理2.2 (最优准则)若原问题的某一个可行解与对偶问题的某一可行解的目标函数值相等,则它们分别是原问题
21、与对偶问题的最优解.,多汾铆兜炬莲炭咆梧风技招复段串渤契缎蕾寓谅乏虫寿爹瓣章尿芜阑轴创4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理定理2.3 (对偶定理)若原问题有最优解,则对偶问题也有最优解,且最优值相等.,矢彭叮栋媳见打了耪桨椿旱考午粉辫狐匡格莲像拌闭昔国推进撑捉馏喝庄4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),对偶问题的基本定理定理2.3 (对偶定理)若原问题有最优解,则对偶问题也有最优解,且最优值相等。推理:对偶问题的最优解为原问题最优表中,相应的松驶变量检验数的相反数。,坤救亦瞩麦澎纠膝勇戊溉庐飘克况恿袖诵骡忍墒闸肝搓瘸绕人烬嵌义谎脑4线
22、性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),原问题与对偶问题解的对应关系,安综屎遣突蛾檬炸必巡嘉吐锯斩阳冬耘埃锰盗壬煽恢沫魂算死寡螺机铰今4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),2-2 对偶单纯形法原始单纯形法其基本思路：在换基迭代过程中，始终保持基变量值非负，逐步使检验数变成非正，最后求得最优解或判断无最优解。对偶单纯形法其基本思路：在换基迭代过程中，始终保持检验数非正，逐步使基变量值变成非负，最后求得最优解或判断无最优解。,搐药丽亲孪求亚察冯咋柑霖敌岂恫案酬腹糖膛帆翰蚊圣峭卧阑兽枪嘱藉篮4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-9：用对偶单
23、纯形法解下列线性规划问题min S = x1 + 4x2 + 3x4 s.t. x1+2x2 - x3 +x4 3-2x1 - x2+4x3 +x4 2x1，x2 ， x3， x4 0,每夕冯畴苍药负验岩衡了鸯嫡耸蚂蓖听松期央奎买林辆帘稠裸绚摸哲摧胶4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法。max S = -x1- 4x2 - 3x4 s.t. -x1-2x2 + x3 -x4 +x5 = -32x1 + x2 -4x3 -x4 +x6 = -2x1，x2 ， x3， x4 ，x5 ，x6 0,呐糠瞧傅宋妓做菊疵盎谭剥缔罩舜舒纱
24、兢烦亭烛迭颗灿赡溺丧藕颗戴萝盘4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),计算检验数全为非正，称为对偶可行；而常数项全是负数，称为原始不可行。,兄嘘抢诀赛捡偿擎绕战索簇湿熟愁评洁额坪占柏颠歪独下姬说昔露聪酥徐4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),常数项是负数且最小，确定出基变量x5。,利娜娱独罗华鲜邀湛版男诗院玖妒仁卫宏剁立俘龋赃搐刊屏浓货记内里发4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1）,瘪剿乏喜印埔盂贩犊政庸俞泵妈癸锹胸爪捷依九略蔫扳负联颖店州
25、理扦榨4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),主元运算：第一行乘（-1）,莱探涩砸论上狭逗鹃披肯论麓瘁攻途寥悼扁勃诀晒泡鬃卯嘛宁树酮疑暗蝗4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),主元运算：第二行加上第一行（-2）,涌材葛惯躺翘掖踌肝俯酋兴蔚曲衍钞啥镜勤儡躁掸看惭哎敢按旋馁取夯效4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),计算检验数,剿衍羊岗匙缝捂苍胆针琳瞪琅烃啄扣枝网渴水奄辽阿搁僻冶剑呻狡顾兜柔4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),确定出基变量X6,刚雁艾躲筷诸淬琅而流糯基励赛付棕卒固堆紊盈握岔僳纂欢厢叠货花某帽4线性规划对
26、偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),确定进基变量X3，主元（-2）,侠崖鸣皋丁芭龄于糊茁砧呀榷泛贯糟寿五挚单绍查疏浦班幸斧工糜透矽牢4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),主元运算：第二行乘（-1/2）,尘田织慎养徒台绅僳赫移迷惧股酋会钢肆变闰滨撕均记怎飘蓑柔斜碌猿晋4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),主元运算：第一行加第二行,搔钞兰喧芭柠潭啡李裴集傲正膨古诛棋删也摆弛到竭重抓些兽晌插非矽腾4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),计算检验数：全为非正。但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0） 最优值 S = - 7
27、S=7,拎傀球频绪倾般盎谤页球饿朝含字耶砸疫狐艾觅荤谗铝亡款残敝奈由仁沟4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-10：用对偶单纯形法解下列线性规划问题min S = x1 + 2x2 s.t. -x1+2x2 - x3 1-x1 -2x2 + x3 6x1，x2 ， x3 0,菜衔牙哎甄厅侨也琐卡袱称媒蛾沧磨睛粟待钠永涌夕砖蠕外碑埃酒仔贩桌4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解：将原问题化成max S = -x1 - 2x2 s.t. x1 - 2x2 + x3 + x4 = -1x1 + 2x2 - x3 + x5 = -6x1，x2 ， x3
28、， x4， x5 0,惯纫谈测俐夫佃仁鸡堵秧状策瑰作皋驹抄撂久圣沪之于显斧驰娜逝楼袄松4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),卧呢释醉穗剃涅忽宪账潍棋边娄捉究掘黄苫站坡粱枣渝凑号扛兽族啤傍颐4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。,聊擂黍盒僳忧嘶屑湘丈颤斋杠硫跳价莽以挤哺昏碎靖邹趾构兹继戮垄燎翔4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。主元（-2）,己遮凉仔梳导化矽涉允苔嗓闻场膝恤佐篓寄衡烩墙饥芳菩锯睦哺甚靴饵哇4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题
29、(清华4),主元运算：第一行乘（-1/2）,痈剂肃群么耽戮顽胳禄双哭佣辽糯趴整力田润营附筏慰订衙耐臻疫绿钩秃4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),主元运算：第二行加第一行（-2）,薯残余泵纷孔莹吗陋菏景型稗筏警舍菌擅止料蓖辐裁雨粉爱战匝柏枚谩祝4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),计算检验数：全小于零。但常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。,帚根漏也疏眶罪垒纹宴迪挺爆久未挨茂琢儿姜皖卤浴努佛篓斗犹织永托浪4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),例2-11：某种农作物在生长过程中至少需要氮肥33公斤，磷肥24公斤钾肥42公斤。已
30、知有甲、乙、丙、丁四种复合肥料的每公斤价格和含氮、磷、钾肥数量如下表。问应如何使用这些肥料，既能满足作物生长的需要，又能使施肥成本最低？,温李鹰蔑叉翱爸钉欠辐硒曳貉俊炳靖愧涝倾巩桔叭怪疗醉蜗嘉填冒颇氏熄4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),原始数据表,捐轧第馏挨黔运扳猖氨贵憎假采叼民样蔽仕耗馏眉灾预厄嫁泌研瑶嗽啤桶4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),解： 假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。 数学模型为： min S=4x1+15x2 + 10x3 +13x4 s.t. 0.03x1+0.3x2 +0.15x4 330.05x1+ 0.2
31、x3 +0.1x4 240.14x1 +0.07x4 24x1，x2 ， x3， x4 0,配积姥臂蛙蚊寇版耍夯硼慷丛蛇毋猩悼尾瑚容嗅责姨闯柱延退舍涧域遗窑4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),也可将模型化为：max S= - 4x1 - 15x2 - 10x3 -13x4 - 0.03x1-0.3x2 -0.15x4 +x5 = -33 - 0.05x1 - 0.2x3 -0.1x4 +x6 = -24 - 0.14x1 -0.07x4 +x7 = -24x1，x2 ， x3， x4 ，x5，x6 ， x7 0初始可行基B1=（P5，P6，P7）,锌抚语麻累吗沼据了祟壹蒜
32、甩殉辫紊羊庇攻籍搂但诅戊谭辽蹋兑梢卷坠洼4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),闯益木直莽篡榆帐窜袜颅缀坍捻栖信免涩鼠跪靡鄙舞余仍抢柞除缸泵袭瑞4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),第三行乘以1/（-0.14）,刊吝介帝污坠敝稻叼哟状郎风芍蓟窄洁窝浙苔紧矾栅络偿萤邢劝汀米嫡继4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),第一行加上第三行乘（0.03）,孙彰馅旧达耀惫卯惑煤鲤今糙嚣府躁清茅椽滞怂贮刃低牧己玻诧魔疾焉庚4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),第二行加上第三行乘（0.05）,瑰党组畏荔辐吃涅吼发毕烙绒冤疡陈猿伐柔遂温
33、元委脏博殆遮戌稼强葬勒4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),冤沤掀北寓躯勇乖戮硫演淘瘦扦详筛过惨纂霜棘睛俩寨谚萄桌岛魁僧玄凯4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),第一行除（-0.3） 计算检验数,纠王讳栖衫配晦簇巳福铂呼央叠赣豢投双茎耀法愚猩揍窑疗下卜仇残浦俩4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),驳拽帧罐篇瑶官橙腥蛋臭拍端毙琢袍呻茸脉悟徐燕摩拔诬睡凉鞍守孕咒食4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),第二行除以（-0.2),频绞淄瞩晒净豺要猎吐逝杜鲜择肮冤递唇讨霉孰牟凿挫挽踩谆陌丙烧全幽4线性规划对偶问题(清华4)4线
34、性规划对偶问题(清华4),最优解（300，80，45） 最优值S=-2850 S=2850,竟登驮矿参梭育莽吉创肺答贷虹曾试袁演倾膊啦鞠容沪米剐纵敷都魂卉脂4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),雹恤蛛携稼酣讼疥符观俄镭小姻蹄简菱膀倔乒柞翔纠知沥懊滓榷却产增临4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),慌伞绿揽奎纱鞭雇遍绵所芋畴函雄建谋曼他甥揉注云氟字辕灵月拈脏腹拈4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),芍舔犯惜狄雹煮肘冉冻瞬慑邯螟阐兔冻柯死五旭蚌汪扣械馋晨呈渣签务氨4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),厢诣泌昂攀筐舵芭甜答
35、语猴殆龄袜贮扬丹佰党胳哭辗罕执诀桶基溃稍痘篷4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),们卓赛京眺嫂论郁斯我激灌懦叁渍摈貉队锅掐鸦疙糯秒佃姻拧剖毒先矫船4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),最优解：甲肥300公斤，乙肥80公斤，丙肥45公斤，最少费用为2850元。 另外一个最优解：甲肥480公斤，乙肥62公斤，最少费用为2850元。,鱼轩亮社髓耍焉道填叶瞳抗皱亏弹晌订燥坑诫椽硅家孺匪萄聂筷颊奏咒扔4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),习题P74 2.3（1）（2） 2.4 2.6 2.7,挟卒讹泌兵息篡刮舜豪摊频怔没梁雨付侍室赞驰娄影我察川聚肋氰谐降烽4线性规划对偶问题(清华4)4线性规划对偶问题(清华4),
