线性规划的对偶问题.doc

1、教案五 线性规划的对偶问题教学内容 第四节 线性规划的对偶问题1线性规划的对偶问题2对偶单纯形法3线性规划的灵敏度分析4线性规划在卫生管理中的应用教学学时 7 学时教学目标 1理解对偶问题的基本概念2掌握对偶单纯形法3掌握线性规划的灵敏度分析4掌握线性规划在卫生管理中的应用重点难点 重点是对偶 问题的基本概念、对偶单纯形法线、灵敏度分析、线性规划在卫生管理中的应用。难点是对偶问题的基本概念和线性规划的灵敏度分析教学手段 教师与学生互动 使用多媒体课件教学过程 一、复习巩固 1单纯形法的基本原理（见课件）2单纯形解法（见课件）3大 法（见课件）M二、讲授新课1线性规划的对偶问题（1）对偶问题的基

2、本概念（见课件）对偶现象 每一个线性规划都伴随着另一个线性规划，两者有密切关系，互为对偶其中一个问题称为 原问题，另一个 问题称为 其对偶问题两者 间只要得到其中一个问题的解，那么也就得到了另一个问题的解下面通过一个实例来解释对偶线性规划的概念例 2-12 以例 2-1 为例，我们讨论了一个制药厂的生产计划的数学模型及其解法现在假定该制药厂决定在计划期内不生产药品、，而将生产设备的有效台时全部租给某公司，那么 该公司应对设备 每小时付多少租金，才DCBA、能使成本最小，而又能为制 药厂所接受？从租用设备的公司的角度考虑，一是所付的租金越低越好；二是所付的租金总额能使制药厂接受，即租金 应不低于

3、制药厂自己生产该两种药品所得利润，否则，制药 厂宁可自己生产，而不租给公司设公司租用该制药厂 四种设备的租金（元/小时）分别为 、DCBA、 1y、 和 在考虑租用设备的定价时，能使该制药厂接受的条件是：2y34公司租用该制药厂用以生产每千克药品所需 四种设备的台DCBA、时的租金不应少于 200 元，即2042431yy同样，公司租用该制药厂用以生产每千克药品所需 四种设DCBA、备的台时的租金不应少于 300 元，即3040231yy公司在考虑自身利益时，其目标是使付出的租金总额为最小，即4321168Min yyW于是，上面的问题可以用下列线性规划的数学模型表示：4321i yy04 2

4、.ts04321yy,4若把制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题，则想租用四种设备的公司的租金最小的线性规划问题称为原问题的对偶问DCBA、题（dual problem）；反之，若把租用 四种 设备的公司的租金最小的线DCBA、性规划问题称为原问题，则 制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题的对偶问题影子价格 一般地，我们 称对偶问题的最优解为原问题约束条件的影子价格，即对 偶问题的解 称 为第 种资源的影子价格它并不是某种资源在市场上iyi的价格，而是代表单位资源在最优利用的条件下所产生的经济效果为了和市场价格相区别，我们才称它为 影子价格它在 经济上是一个很有意义的数据，通 过它我们可以

5、知道，当增加某种 资源时，可以使利 润增 长的大小另外，影子价格还给出了是否应当购进某种资源以增加生产量，而获得更多利润的价格标准（2）对称的对偶线性规划（见课件）如果一个线性规划具备下面两个条件，则称它具有对称形式： 所有的变量都是非负的；所有的 约束条件都是不等式，而且在目标函数是求极大值的情况，不等式具有小于和等于（ ）的符号，在目 标函数是求极小值的情况，不等式具有大于和等于（ ）的符号对称形式的原问题和对偶问题叫做对称的对偶线性规划原问题和对偶问题在形式上的对比 如果我们把线性规划nxcxcZ21Ma 11 ba22212n.tsmnmxxa210,称为原问题，则必同时存在另一线性规

6、划问题，我 们称为对偶问题：mybybW21Min121 caya221.tsnmnn cyy210,而且 MaxZi W用简缩形式表示：原问题为 njjxc1a njijib1 mi,210 jxnj,对偶问题为 miiybW1Min ijijca1 nj,2; 0 iymi,1矩阵形式表示：.ts.ts原问题为 CXZMax bA0 对偶问题为 Min WYbCY0 其中， ),(21ncmnmnaaA 212112 nxX 2mb 21yY,21原问题与对偶问题之间的关系1）原问题是求目标函数的最大值，对偶问题是求目标函数的最小值2）原问题约束条件的右端项变成对偶问题目标函数的系数原问题

7、目标函数中的系数变成对偶问题约束条件的右端项3）原问题约束条件是“ ”，对偶问题的约束条件则是“ ”4）原问题约束条件的每一行正好对应于对偶问题的每一列，所以原问题中约束条件的数目等于对偶问题中变量的数目5）原问题中约束条件的每一列正好对应于对偶问题的每一行，所以原问题中变量的数目正好等于对偶问题中的约束条件的数目6）对偶问题的对偶规划正是原问题.ts.ts例 2-13 设原问题为：215Min xW41x3 2810,2x试写出它的对偶问题解 32184Ma yyZ3523y0,321y（3）非对称的对偶线性规划（见课件）对于我们经常遇到的非对称形式的线性规划，我们可首先将其化为等价的对称形

8、式的线性规划问题，然后再按对称的对偶线性规划原问题与对偶问题之间的对应关系，将其化为对 偶问题 实际上，我们在考 虑对称的对偶线性规划或非对称的对偶线性规划（dual of a nonnormal LP）时，也可以按表 2-13 原问题与对偶问题之间的对应关系，直接 进行变换，得到原 问题 或对偶问题表 2-13 原问题与对偶问题间的转换原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）目标函数 MaxZ目标函数 MinW约束条件数： 个m对偶变量数： 个m第 个约束条件为“ ”i对偶变量 0iy第 个约束条件为“ ”对偶变量 0i第 个约束条件为“=”i 对偶变量 无非负条件iy变量 的数目： 个j

9、xn约束条件数： 个n.ts.ts变量 0jx第 个约束条件为“ ”j变量 0j第 个约束条件为“ ”变量 无非负 条件jx第 个约束条件为“”j限定向量 b成本或利润向量 C成本或利润向量 C限定向量 b系数矩阵 A系数矩阵 TA例 2-14 原问题为：2154Max xZ0313 21521x， 符号不限1x2可按表 2-13 的原则，将原问题直接转化成对偶问题： 32150Min yyW43321.ts， ， 符号不限1y23y（4）对偶问题的基本性质（见课件）1）对偶问题的对偶是原问题（对称性质）2）若 和 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 （弱对偶性质）XYCXYb3）设 和 分别

10、是原问题和对偶问题的可行解，当两者目标函数值相等，即 时， ， 分别是原问题和对偶问题的最 优解（可行解是最优解的CXYb性质）4）若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等（对偶.ts性质）5）若 和 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 和 为原问题及对偶XYXY问题最优解的充分条件为：0 和 0vXYu其中， , 是原问题的松弛变量， （uTmu),(21 m,21 v）, 是对偶问题的剩余变量（松弛互补性质）nv,21 nv此性质在线性规划中有广泛应用如从已知的原问题最优解（或对偶问题最优解）求取对偶问题最优解（或原问题最优解）；验证原问题的可行解是否最优解等等6）原问题

11、的检验数对应于对偶问题的一个基本解由对偶性质可知，在求解原问题的过程中，利用 单纯形表每一次迭代所得的检验数与对偶问题的基本解仅仅相差一个符号，于是原问题获得最优解时对应的单纯形表中检验数的相反数，即为对偶问题的最优解例 2-15 设原问题为： 4321Max xxZ0.ts 4321,43x已知其对偶问题的最优解为 *1.2， *0.2，相应的目标函数最小值1y2*28， 试利用对偶性质 求该问题的最优解W解 原问题的对偶问题为：210Min yW221y.ts34231y0,由松弛互补性质可知，在最优条件下， 0 和 0，即vXYu* *0， * *0， * *0， * *0， * *0，

12、 * *0；这里1uy2y1vx2x3x4vx*（ ）， *（ ）分别为原问题的松弛变量及对偶问题的剩余变量i,jv4,3由 * 1.20，可以推出 * =0；由 * 0.20 ，可推出 * =01y1u2y2u由对偶约束 *+2 * =1.61，知 * 0,于是 * =0；同理，由 2 *+ * 12y1v1x1y2=2.62，知 * 0,于是 * =02vx根据上述结果，原约束可以转化成二元一次线性方程组：* + * =203x4* + * =202解方程得 * = * =43x4综上所得，原问题的最优解为 * = ，相应的目标函数最优值XT40为 * =28Z由对偶性质还可以推论：1）若

13、原问题可行，但有无界解（或称无有限最优解），则对偶问题不可行；若对偶问题可行，但有无界解（或称无有限最优解）， 则 原问题不可行；2）若原问题可行，而对偶问题不可行， 则原问题有无界解（或称无有限最优解）；若对偶问题可行，而原 问题不可行， 则对偶问题 有无界解（或称无有限最优解）2对偶单纯形法前面已叙述原问题与对偶问题的解之间的对应关系在用单纯形法进行迭代时，在 列中得到的是原 问题的基本可行解，而在检验数（ ）行得到的是b jjZc对偶问题基本解的相反数通过逐步迭代，当在 检验数行得到的对偶问题的解也是可行解时，原问题和对偶问题都达到了最优解所以， 单纯形法的特点是保持原问题解的可行性，通

14、过逐步迭代，使对偶问题的解由基本解变成基本可行解，这时原问题和对偶问题都达到了最优解那么根据对偶问题的对称性，我们也可以这样来处理：保持对偶问题的解是可行解（即 ），而原 问题则从非可行解开始，通过迭代，逐步达到基本0jjZc可行解这样，也使原问题和对偶问题都达到了最优 解事实上，对偶单纯形法（dual simplex method）并不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理来求解原问题的最优解的一种方法（1）对偶单纯形法的要点（见课件）例 2-16 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题32140560Min xxW232.ts .1,32x解 此问题可用大 法去解，但用大 法求解很麻烦，现在

15、用对偶单纯形M法求解先将原问题化为标 准 形式，为 此引入剩余变量 ， ，令 ，得4x5WZ3214060Ma x2321x.ts5.5x,4321然后将约束条件等式的两边都乘以（-1），得到3210560Max xxZ4 243.ts.5210,54321xx建立这个问题的初始单纯形表，见表 2-14：表 2-14 对偶单纯形法求解例 2-16（1）jc-1600 -2500 -400 0 0BCjxX12x34x5b0 4x-2 -5 -1 1 0 -40 5-2 250 0 1 -3jC-1600 -2500 -400 0 0 =0Z在这个初始单纯形表中， 、 是基本变量，初始单纯形表所

16、对应的基本解4x5为 ，它是一个不可行解而全部检验数 ，即XT30 0jjZC所对应的对偶问题的一个基本解也是一个可行解, ， 下面的迭0iy5,21代是在保持检验数小于等于零的条件下，逐步使 ， 为了满足jx,j上面要求，迭代的要点是：1）首先确定换出变量：选择具有负数的基本变量中绝对值最大的基本变量为换出变量2）确定换入变量：用换出变量那一行具有负值的系数分别去除同列的检验数，取最小商数所对应的变 量为换入变量；如果换出变量那一行无负值的系数，则原问题无可行解3）把换出变量的那一行除以枢元位置的系数，使枢元位置变为 14）进行行变换，使除枢元外的其他枢列位置变为 05）进行最优解检查如果所

17、得的基本解都是非负的，则此解即为最优解如果基本解中还有负的数值，则重复第 1 步继续迭代，直到所有基本变量为非负的数值为止（2）表解形式的对偶单纯形法（见课件）按上述迭代的要点，对表 2-14 继续运算， 见表 2-15表 2-15 对偶单纯形法求解例 2-16（2）jc-1600 -2500 -400 0 0BCjxX12x34x5b0 4x-2 -5 -1 1 0 -40 5-2 250 0 1 -3jC-1600 -2500 -400 0 0 =0Z800 500 400-400 3x2 5 1 -1 0 40 5-2 0 0 1 -3jC-800 -500 0 -400 0 =-160

18、0Z400 200-400 3x-2 0 1 -1 2 -2-2500 2541 0 0 56jC-400 0 0 -400 -200 =-2200Z200 400-1600 1x1 0 21-1 1-2500 20 1 552jC0 0 -200 -200 -600 =-2600Z表 2-15 中 列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为b* = ，最优值 * 2600XT04.1W若对应两个约束条件的对偶变量分别为 和 ，则对偶问题的最优解为1y2* = ，最优值2600Y2620（3）对偶单纯形法的优点及用途（见课件）1）初始解可以是非可行解，当检验数都是小于等于零时，就可以进行

19、基变换，这样就避免了增加人工变量，使运算简化2）对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形法求解，简 化计算3）用于灵敏度分析3线性规划的灵敏度分析在上述讨论线性规划问题时，假定 ， ， 都是精确的数据，然而在大多ijaibjc数实际问题中，这些系数往往是估计值和预测值，而且它们也随着某些条件的变化而变化因此很自然会想到，当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的规划问题的最优解会发生什么变化？如果最优解发生了变化，又怎样用最简单的方法找到新的最优解？这就是线性规划灵敏度分析（sensitivity analysis of LP）的任 务（1）单纯形法的矩

20、阵表达式（见课件）设有一线性规划问题，用矩阵表示为 CXZMax bA0.ts式中， 为 矩阵， 为 1 行向量， 为 1 列向量， 为 1 列向AnmCnXnbm量，0 为 1 列向量现引入松弛变量化为标准型 SX 0Max CZbIA，S其中， 是 阶单位矩阵， 约束条件也可写成 和 ImbXIAS,，0 有 个元素SXn如果我们把系数矩阵 分为两块， ， 也称基矩阵（即原始系数A),(NB矩阵中对应于基本变量的列所组成的矩阵），对应于 的变量 是基BmBxx,21本变量，用向量 表示，其他的变量则为非基本变量，于是TBmBxX),(21将 也分为两 块：0NBX向量 也可分为两块 ，其中

21、 是目标函数中基本变量向量C),(BCB的系数行向量， 是目 标函数中非基本变量向量 的系数行向量所以BXN NXTmnnmnnS xxX,2121.ts于是线性规划问题可以写成 SNB XCZ0Max bIXSNB,在单纯形法的每次迭代中，是用行变换的方法将基矩阵变成单位矩阵用矩阵方法， 则将上述约束方程的两边乘以基矩阵 的逆矩阵 ,于是可得B1（2-9）bIXNBXS1111 即: （2-10）I所以 SNBXBb11（2-11）将式（2-11 ）代入目标函数可得NSBNBB XCXCbZ111（2-12）SB1)(或者 （2-13）bSBNB11)( 从式（2-9 ）可知，在单纯形表每次

22、迭代后,每个变量的系数列向量是 的逆阵B乘以该变量的原始列向量而得到的，右端常数的列向量是 的逆阵 乘以1B 1右端常数的原始列向量而得到的从式（2-10）可见，其松弛变量的系数矩阵正好是基矩阵的逆阵 更一般地理解，在任一单纯形表中相应于初始基本变量的1BSNBSNS SNBSNBBS IXIXIA XCC, 00,0,.ts那些列给出了相应于该表格的基矩阵的逆阵例如第二章第三节的例 2-8 中，表 2-4、表 2-5、表 2-6 和表 2-7 给出了单纯形法的计算过程，其中表 2-7 为最优解单纯形表，其基本变量是 , ，3x1和 对应 于表 2-7 的基矩 阵6x24102B0812040

23、11B所以对应于表 2-7 的 列向量是1x 1PB08120401式中 为原始单纯形表中对应于 的列向量.1P1x对应于表 2-7 的 列向量是4x 41PB 081200210式中 为原始单纯形表中对应于 的列向量.4P4x对应于表 2-7 的 列向量是b bB1 081204012640式中 为原始单纯形表中右端列向量.b对应于表 2-7 的非基本变量的检验数是 ，松弛变量的检验数NBC1是 1BC（2）系数变化的灵敏度分析（见课件）系数变化的灵敏度分析是在决策变量和约束条件数目不变时，研究各种系数的变化对最优解的影响它主要考虑两种情况：一是这些系数在什么范围内变化时，已得到的最优解保持

24、不 变，或者最 优解的基本 变量保持不变（但数值有所改变）；二是如果某些系数的变化引起最优解的变化，如何用最简便的方法求出新的最优解目标函数中 变化范围的确定 假设其他参数不变，仅目标函数中 的系jc jx数 变成 ，现求不改 变最优解的 的大小这分两种情况：jcjjjc1） 是非基本变量 的成本或利润系数j jx因为 （ ）jjjZcCnj,21（式中 是基本变量的成本或利润系数）mi jBijj Pa1 ic所以改变非基本变量的成本或利润系数，Z j 不变，但 变为jjjZcC新的检验数 ：jC jjjjjj cCZc要想保持极大化问题最优解不变，即 ，则：j0jjcjjc2） 是基本变量

25、 的成本或利润系数jcjx因为jBjjmiijjj iijjiijjmi ijijjjjjj PCcacCc accZ111 )()()(要保持极大化问题最优解不变，则 0 jjjj对于基本变量检验数总为零，而对于非基本变量 ，因 ，所以要求jxjc检验数小于等于 0 变为： jBjPC例 2-17 以例 2-8 的最终计算表（表 2-7）为例设基本变量 在目标函数中2x的系数 变化了 ；这时表 2-7 的最终计算表便成为表 2-16 所示2c2表 2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析jc200 300 2c0 0 0 0BCjxBX12x34x5x6b0 3x0 0 1 -1 410

26、0200 11 0 0 0 0 40 6x0 0 0 -2 21 4300 2c20 1 0 2180 2jC0 0 0 5c25c0 =1400Z2 c这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式：-150- =-150- 02100c2c- =- 08124025c25c032c即 可在0,400 间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化2c了在约束条件中 变化范围的确定 初始单纯形表中 的变化，除了影响最ib ib优解的数值之外，不影响最 终单纯形表中的其他系数所以只要保证最后的解仍是可行解，那么它仍然是最优解即 0)( 111 bBbBb式中， 为右端常数变化后，最终单纯形表右

27、端常数向量； 为右端常数未变化时，最终单纯形表右端常数向量例 2-18 在例 2-8 中，如果第三个约束条件 发生变化，变化量为 ，为3b3b了使最后的解仍为可行解， 应满足下列不等式：3b bB1240081024013b24033811bb 3381241bb0316b8303b所以 在8,0 之间变动时（即 的变化范围在8,16时），原来最优解的3b3基本变量不变，但最优解的 值发生变化例如， 为2 时（即 14），则3b3b bBb1240081024013b3381241b4927最优解 * ，最 优值 *1375，见表 2-17XT321497Z表 2-17 右端常数变化后的最优解

28、jc200 300 0 0 0 0 bBCjxX12x34x56x0 3x0 0 1 -1 10 21200 11 0 0 0 40 70 6x0 0 0 -2 21 3300 20 1 0 180 49jC0 0 0 -150 50 =1375Z如果 的变化超出了8,0的范围，这时最优解的基本变量就发生变3b化在这 种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解例如 为 2 时（即 18），则33b Bb1240081024013b3381241bb475291则最终单纯形表变为表 2-18表 2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解jc200 300 0 0 0 0BCjxX12x34x56

29、xb0 3x0 0 1 -1 10 21200 11 0 0 0 40 90 6x0 0 0 -2 211 5300 20 1 0 80 47jC0 0 0 -150 50 =1425Z150 500 5x0 0 -4 4 1 0 2200 11 0 1 -1 0 0 40 6x0 0 2 -4 0 1 4300 20 1 1 0 0 2jC0 0 -50 -100 0 0 =1400Z新的最优解 * ，最 优值 Z*1400XT424矩阵 A 中的系数改变对最优解的影响 当对应于 的变量 为非基本变jPjx量的系数时，它的变化不会改 变基矩阵 和它的逆阵 ，所以只需修改单纯形B1表中所对应

30、的列就可以了jxjjP1jBjjC1若极大化问题 0,则得到的还是新问题的最优单纯形表，最优解和最优j值不变，否 则可用单纯形法求解当对应于 的变量 为基本变量的系数时，它的 变 化会改变基矩阵 和它jPjx B的逆阵 ，所以会影响到最 终单纯形表的右端向量和非基本变量对应的列下1B面就举例讨论此种基本变量的系数变化情况例 2-19 以例 2-1 为例，若计划生产的药品的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品所需设备 的台时改为（3,2,5,2），它的利润也提高到DCBA、每千克 400 元试分析已求得的最优计划有何变化？解 当 的系数列向量变化后,原最终单纯形表（表 2-7）中 的系数列向量1

31、x 1x变成:= =11PB 08120401253814原最终单纯形表变成表 2-19：表 2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）jc400 300 0 0 0 0BCjxBX12x34x56xb0 3x40 1 -1 10 0400 150 0 0 40 40 6x20 0 -2 21 4300 2831 0 180 2jC由 的系数列向量可知，到此尚未完成行变换，所以需继续使 的系数列向1x 1x量变成单位列向量，于是得到表 2-20表 2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）jc400 300 0 0 0 0BCjxX12x34x56xb0 3x0 0 1 -1 10 5

32、4400 11 0 0 0 50 160 6x0 0 0 -2 21 2300 20 1 0 10 54jC0 0 0 -150 -20 0 =1520Z因为 0，所以新的最优解 ，最优值jTX4.28.2.3*1520 元.Z4线性规划在卫生管理中的应用（1）放射科的业务安排（见课件）医院放射科可以开展 线平片检查和 检查业务，现拟购买磁共振仪，AXCT以增设磁共振检查业务为 此 医院收集了有关信息，以决策是否购买磁共振A仪医院估计今后放射科如果开展此 3 项业务，在现有放射科医务人员力量A和病人需求的情况下，每月此 3 项业务的最多提供量为 1800 人次平均每人次检查时间、每月机器实际可

33、使用时间、平均每人次 检查 利润如下表 2-25表 2-25 放射科 3 项检查时间与利润及机器可使用时间放射科业务项 目 线平片检查X检查CT磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次） 0.1 0.25 0.5每月机器实际可使用时间（小时） 300 120 120平均每人次检查利润（元/次） 20 60 10设每月 线平片检查、 检查和磁共振检查的业务量分别为 , 和 人XCT1x23次，则使 医院放射科此 3 项业务收入最多的线性规划模型如下：A321060Max xZ.25 .ts. 1x18032x,1利用单纯形法可得最终单纯形表（见表 2-26）表 2-26 放射科业务安排最终单纯形表

34、jc20 60 10 0 0 0 0BCjxX12x34x56x7b0 x4 0 0 11 20 116860 x2 0 1 0 0 4 0 0 4800 x6 0 0 20 0 1 0 12020 x1 1 0 1 0 -4 0 1 1320jC0 0 -10 0 -160 0 -20 *=5520Z0最优解 * ，最优值 *55200XT12684132从最终单纯形表上可读出如下信息：1） 医院从放射科收益的角度考虑，不应购买磁共振机.A2）在每月 线平片检查和 检查业务量各为 1320 人次和 480 人次时，放XCT射科利润最大，达 55200 元3）在最优业务安排情况下，每月 光机仍有 168 小时未实际利用，故它的X影子价格为 0 元/小时；每月 机可使用的时间已完全利用，它的影子价格 为CT160 元/小时，如果市场上能租到 机的价格低于影子价格 160 元/ 小时，那么就应当租用 机，增加 检查业务，以求得更高的利润CT4）在最优业务安排情况下，每月 线平片检查和 检查的服务量已达到XCT现有的最大量 医院如果想通过从人才市场上聘用医务人员以增加放射科的A服务能力， 则只有当增加一个病人的服务量所需额外增加的人员招聘费和宣传费低于 20 元时，才是适宜的，可使放射科的利润更高三、课堂练习（见课件）四、小 结 （见课件）五、作 业 （见课件）