1、第六章 压杆稳定6-1 引言,1、构件失效形式,存在三种失效,强度失效：构件最大应力超过许 用应力。 刚度失效：变形量超过许用变形。稳定性失效：细长杆受轴向压力， 逐渐增大压力F，当F达到一定时，杆突然向侧向弯曲，失去继续承载称为稳定性失效，简称失稳。,2、本章研究重点 掌握杆件失稳前所承受的最大载荷即临界载荷计算公式和临界应力计算式及压杆稳定性校核。 了解影响压杆临界力的主要因素及提高稳定性的主要途径。,6-2 工程中的稳定性问题,一、问题提出 直杆承受轴向压缩载荷其破坏有两种,屈服破坏 失稳破坏,例如：对于一个长l，截面尺寸为bt = 102 mm2 矩形截面杆。屈服强度s =235MPa
2、，求使之屈服所需力,N= sA=20 235=4700(N),但对某一长度压杆，使之失稳的轴向力只需100N，并且杆越长，所需轴向力越小。,二、工程应用示例例如：内燃机配气机构的挺杆，工作中受到压缩作用。 各种油缸中的活塞杆,三、平衡稳定性问题,平衡稳定性,稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡,1、稳定平衡 如图：小球受一瞬间推力，小球在凹面往复摆动，最后总停在最低位置点，位能极小，属于稳定平衡。,2、不稳定平衡 如图：,凸面小球加一瞬间推力，小球沿表面滚下，无法回到原位置，凸面上小球处于不稳定平衡。,3、随遇平衡 如图：,平面小球受到瞬间水平力作用，位能不变，其停止位置是不确定的，其平衡是随遇平衡
3、。,四：压杆稳定性问题 如图：对一两端铰支细长理想压杆（材料、几何形状及约束等为理想状态），杆件受压力F作用。逐渐增加F，压杆发生的现象：,1、压力F从0逐渐增加，当压力F小于某极限Fcr时，杆始终保持直线，即使杆侧向受一微力作用发生微小弯曲，外力去除后，杆又恢复直线，F Fcr，压杆是稳定平衡。,2、当压力F达到某极限Fcr时，杆受一侧向微力杆变弯曲，撤去外力 杆仍弯曲，当F=Fcr时，压杆处于随遇平衡， Fcr称为临界压力。又称使压杆保持直线的最大轴向力或使压杆变曲线的最小力。 3、杆失稳后，在Fcr压力作用下，压杆逐渐弯曲。 注意：压杆失稳，并不表明压杆不能承受载荷了，而是最大能承受到临
4、界载荷，如果载荷再略微增大，杆马上弯曲，卸掉增加的载荷。,6-2 两端球铰支座细长压杆的临界力Fcr,一、临界力计算式推导 如图（1）：一端固定铰支，一端滑动铰支，受轴向力Fcr作用， Fcr 为使压杆保持微小弯曲平衡的最小轴向压力，杆件微弯曲平衡如图（2），变形量为y,用截面法在杆上任一位置截开，分离体受力图（3）,N = Fcr，M(x)= Fcr w，变形量w为负值，挠曲线微分方程：,令,截开截面存在内力N及弯矩M(x),方程通解：w=C1 sinkx+C2 coskx支座处边界条件： x=0，w=0 得 C2 =0x=l，w=0 即w=C1 sinkl=0C10，只有sinkl=0，则
5、 kl=n(n=0,1,2 ),n=0， Fcr =0，与原假设相反，不成立,代入前式,使Fcr最小，n=1,此式称为欧拉公式 注意：当压杆截面在不同方向有不同轴惯性矩时，如工字钢或矩形截面时，I应用最小值带入方程。,n=1时，,正弦波曲线,两端铰支压杆临界状态挠曲线为半个正弦波曲线如图：,(6-1),6-3 杆端不同约束条件下细长杆的临界力Plj,工程上两端约束最典型有四种情况：,两端铰支 一端自由 一端固定 一端铰支 一端固定 两端固定,两端铰支约束压杆模型,一端自由一端固定约束受力模型,一端铰支一端固定约束受力模型,两端固定约束受力模型,这些约束的压杆临界力如何计算，其推导方法与两端铰支
6、类似。 以一端固定一端自由压杆为例，推导其临界力计算公式,自由端最大挠度,则距固定端x处位移量w ,则X处截面弯矩为 M（x）=F（w） (a) 将M（x）代入上节挠曲线方程中，得该压杆的挠曲线近似微分方程为,当轴向力F达到临界力Fcr时，杆处于微弯平衡状态,b=及a=0,式中，k2=F/（EI）,该微分方程的通解为w= asin kx+bcos kx+,该结构位移边界条件为:在x=0处（固定端），位移w=0，截面转角,(b),(c),将(c)式对x求一阶导数后，得,=0,= akcos kxbksin kx （d）,将边界条件代入（c）式和（d）式，得,于是挠曲线方程（c）成为w=（1cos
7、 kx） 将x=l、w=代入（c）式，得cos kl= 0 （f） 由于0，则使（f）式成立，必须有cos kl=0 满足此条件的kl值为,Fcr,（n=1、3、5、）,kl=,n=1时压杆存在最小临界力，于是得到保持压杆微弯平衡状态的最小轴向压力临界力,Fcr,（6-2）,此式即为一端固支一端自由压杆的临界力的欧拉 公式 用类似求解方法可得其它约束情况的压杆临界力计算式。,比较: 两端铰支和一端固定、一端自由的约束条件,两者分母相差一个系数2，用表示不同杆端约束长度系数，则细长压杆欧拉公式可用统一式表示：,Fcr,l称为长度系数,四种约束的取值： 两端铰支：=1， 一端自由一端固定： =2
8、一端铰支一端固定：=0.7 两端固定： =0.5 越大，Fcr越小，越易失稳，工程上尽可能采用两端固支。,例题：如图，已知 EF为刚性轴，端部受力P，受两细长杆AB,CD支承，AB,CD抗弯刚度EI，求结构最大允许载荷。,解：对EF杆进行受力分析，受力图,列平衡方程,x=0 y=0 M(E)=0,Rx=0 Ry+NAB+NCDP=0,三个方程，四个未知数， 属超静定问题，需补充方程。 分析AB、CD压杆： 压杆失稳仍具有承载能力，但其承载极限为Fcr,AB杆承载极限 CD杆承载极限,6-5 压杆的临界应力与欧拉公式适用范围,一、临界应力cr与柔度 由欧拉公式 得压杆临界力Fcr,压杆临界状态时
9、 杆截面的应力临界应力cr,人为规定：I=i2A，i截面最小惯性半径,令 ，称为压杆柔度或压杆长细比,物理意义： 反映压杆长度、约束条件、横截面尺寸及形状对临界应力影响。,欧拉公式另一种表达方式。,注意： cr与压杆材料(E)、两端约束()、长度l、横截面积大小及形状有关。,压杆局部削弱，压杆临界应力不变，对稳定问题不必考虑局部结构；但对强度问题，必须考虑局部削弱问题。 如图：压杆横截面有一孔， 其临界压力与无孔压杆相同。,压杆存在两个惯性矩I时 如矩形截面，临界压力Plj 计算式中I应取最小的I 如图：,二、欧拉公式适用范围 欧拉公式由近似微分方程导出，在小变形下服从虎克定律 欧拉公式适用范
10、围： cr P 压杆临界应力不大于材料比例极限， 此时压杆失稳为弹性失稳。 如果 lj P，材料发生了塑性变形，不服从虎克定理 ，,不成立，欧拉公式也不存在。,只有当柔度 ，欧拉公式才成立。令,当P 压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式成立。,由此得:,特别注意：,计算压杆临界压力Fcr或临界应力cr时,首先计算 及,如果 P ，则可应用,三、中柔度压杆的临界公式 1、直线公式 cr = ab a、b值是与材料性质有关常数。由a、b及 可计算出临界应力cr 临界压力Pcr = cr A 直线公式适用范围： P cr = ab S ，令,当S P 时，直线公式成立 即cr = ab,6-6 压杆稳
11、定性校核,一、稳定安全准则 为了保证压杆受力不失稳，其工作压力必小于临界力Fcr , 还要有一定安全储备。压杆最大允许压力Fmax,或st,Fcr计算临界压力 nst压杆稳定安全系数 st稳定许用应力，,稳定安全系数nst大于强度安全系数nS(nb) 其原因： 实际中存在一些难以避免因素（如不完平直、材料不均、压力偏心及支座缺陷等），这些因素对压杆稳定影响巨大。 压杆失稳属突然性，危害大。 有局部削弱压杆的安全校核： 首先进行稳定性校核， 此时不必考虑削弱处结构与尺寸。 对削弱处进行强度计算,两者均安全，则此压杆才是安全的。,二、压杆稳定安全系数法如果计算出临界压力Fcr ，压杆工作时载荷F,
12、压杆工作安全系数,如果 nnst 则 压杆稳定,例题：如图一手动挤压装置。已知AB为刚性杆，压杆BC,其弹性模量E=206GPa，P=235MPa，如果压杆安全系数nW =4 求A端允许最大力P,解：取AB杆为研究对象,其受力如图,列力矩平衡方程 NBC100= P300,求NBC, P 可用欧拉公式计算临界力Fcr,许用压力,6-7 提高压杆稳定性措施,由临界应力公式 可以看出由以下有关方面因素影响压杆稳定性，提高稳定性方法如下： 一、减小压杆柔度,中间加支座，长度l缩短一半,Fcr增加为原来的4倍。,1、减小压杆长度l细长杆可以通过 中间加支座减小l，如图：,2、选择合理截面形状,不同截面
13、I不同，如果将材料布置到离中心远一些则可增加I,如采用空心结构。,3、加强支座约束,不同约束不同，两端固支= 0.5最小。尽可能采用两端固支结构。,二、合理选材提高E值 1、对细长杆 对各种钢材E均相差不大，用高强度钢代替低强度钢Plj提高不大，不可取。2、 对中柔度杆 S P ，则可取。因为 高强钢S 低强钢S,例题：对于钢制细长压杆，设计者为了大大提高其承载能力拟用高强度钢代替低强度钢，问是否可行，如不行应采用哪些有效措施。 答：不行，此方法无法大大提高其承载能力。 应采用方法如下： 减小压杆长度，如加支座 选择合理截面积，提高I 两端采用固支结构,习题： 2 ,5, 8, 11, 13,
