巴特沃斯滤波器设计.doc

1、鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为（5-8）221|()|NHjC其中 C 为一常数参数，N 为滤波器阶数， 为归一化低通截止频率,。 /p式中 N 为整数，是滤波器的阶次。巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N 阶低通滤波器在处幅度平方函数的前 2N-1 阶导数等于零，0在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图 5-5 所示。滤波器的特性完全由其阶数 N 决定。当 N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（5-8

2、）式决定了在 处的幅度函数总p是衰减 3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于 1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数 N 的依赖关系如图 5-5 所示。设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为 ，归一化传递函数为 ，其中 ，则()Hpj由（5-6）式和（5-8）式得： 2221()()NpjHjC由于（5-9）221()()()a jsNcsAj所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：通带截止频率；p：通带衰减，单位：dB；：阻带起始频率；s：阻带衰减，单位：dB。s说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为

3、单位；即N=4N=10N=21 p2 () Hj0.707图 5-5 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性1ps ps(Hj图 5-6 巴特沃斯低通滤波器指标鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案2210lg0lg1()NCHj（2）当 时 为通常意义上的截止频率。3dBpC（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率 ，即/C1,psp2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求 ， ， ， 确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定ps系数 C 及滤波器的阶数 N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数 H(s)。（1）将实际频率 归一化得 ， ，

4、再根据已知的 ， ，幅度平方函1pspps数 确定 C 和 N。221|()|NHj（2） 求 C 和 N 由 并带入 ， ， ， 得22()0lg0lg1()jps2l10lgNppssC即 2210NpspsC因为 ，所以1p210pC由 两边取对数得：101022sspNsC其中lgsaN10sp这样可以求出 C 和 N。鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案注意：当 时， ，即 C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参3pdB20.3101pC数 N。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数 H(p)。由于 2 2211()()()()pNNjHpGj pj由

5、，解得极点为：21()0N21,2kNjkpe将 p 左半平面的极点赋予 即()H12Nppp其中21,2,kNjkpeN为了便于设计，工程上已将当 时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，p该表如表 5-1 所示。在表 5-1 中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表 5-1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次 归一化系统函数1 1s2 23 13ss4 42.665 533.2153.1sssss（4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即 ，而实际中截止频率为 ，1pp所以要进行如下的变量代换： psj即 ()psHs综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤

6、波器的方法如下：鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案（1）计算归一化频率 ， 。1psp（2） 根据设计要求按照 和 其中 计算巴特沃斯滤波器210pClgsaN10sp的参数 C 和阶次 N；注意当 时 C=1。3pdB（3）利用 N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数 ；()Hp（4）令 中的 得到截止频率为 的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。()Hppsp例 5-2 已知滤波器的 3dB 截止频率为 50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率 ；阶数 N=2；查表得归一化低通巴特沃斯50cfHz

7、原型滤波器的系统函数为： 21().4pprad/s，代入 得：210ccf()H242 1.()()09.8731cspsss例 5-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率 ，通带最大衰减50pfHz，阻带起始频率 ，阻带最小衰减 。3pdB10sfHz3sdB解：已知 ， ， ，25ppf3pdB21ssf3sdB（1）计算归一化频率 ， 。1psp（2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次 N 及 C20.3101p则 310067spalg.674.982lsa鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案选择 N=5。（3）利用 N 查表获得归一化巴特沃斯低通原

8、型滤波器的系统函数 ；()Hp54321()3.261563.1Hpp（4）去掉归一化影响 2055483123164205()3.26105.261.6.pss sss 三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，

9、在阻带内是单调的称为切比雪夫 I 型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫 II 型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图 5-7 和图 5-8 分别画出了 N 为奇数、偶数时的切比雪夫 I、II 型滤波器的频率特性。()Hjps/p210N 为奇数(a)1()Hj210N 为偶数(b)1图 5-7 切比雪夫 I 型滤波器的振幅特性（ a）N=3，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性()Hj210N 为奇数(a)1()Hj210N 为偶数(b)1图 5-8 切比雪夫 II 型滤波器的振幅特性ps/pps/p

10、ps/p鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案1、切比雪夫 I 型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫 I 型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为（5-11）2221()NAHjc为小于 1 的正数，表示通带内振幅波动的程度。 越大，波动也越大。 为 对截止 /p频率 的归一化频率， 为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带pp宽并不一定是 3dB 带宽） 。 是 N 阶切比雪夫多项式，定义为()Cx（5-12）1cos()0xh其中 为反余弦函数； 为双曲余弦函数； 为反双曲余弦函数；它们的定义如1cos()x()x1()ch（5

11、-13）式和（5-14）式所示（5-13）2xech（5-14）1 2()()ln1)arx（5-12）式可展开为多项式的形式如表 5-2 所示： 由表 5-2 可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为（5-15）11()2()()NNCxCx图 5-9 示出了 N=0，4，5 时切比雪夫多项式的特性。由图 5-9可见：1. 切比雪夫多项式的零值在 的间隔内。02. 当 x1 时， ，且具有等波纹幅度特性。()1Nx3. 在 的区间外， 是双曲余弦函数，随着 x 而单1xC调增加。再看函数 ， 是小于 1 的实数， 的值在2()N2()NC之内，将在 0 至 之间改变。而 的函数值在1xx之内，

12、将在 1 至 之间改变。然后将 取倒22()N数，即可得（5-11）式的切比雪夫 I 型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在 ， 在接近 1 处振荡，其最2()Hj大值为 1，最小值为 。在此范围之外，随着 增大，21N ()NCx0 11 x2 23 344 281x表 5-2 切比雪夫多项式展开式1-11()NC4()x50()Cxx图 5-9 切比雪夫多项式曲线0鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案，则 很快接近于零。图 5-7 画出了切比雪夫 I 型滤波器振幅特性曲线，从2()1NC:2()Hj中可以看出：振幅特性 的起伏为 1 ，因 ，所以在 时，j

13、 22(1)NC1p，即切比雪夫 I 型滤波器的截止频率并不对应 3dB 的衰减。21()j2、切比雪夫 I 型滤波器设计方法由（5-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数： 及,cN。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：(1)将实际频率 归一化得，1psp再根据已知的 ， ，幅度平方函数 确定 和 N。ps 22|()|()NHjC(2)确定 和 N。定义通带波纹(即通带衰减) （以分贝为单位）为：()2210lg0lg()()NHj代入 ， ， ， 得ps210lgl()NppssC即 22 1021() ()NpNSps sCchN因为 ， ，所以1p2

14、()N210p101021 22()sspschNa鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案则 1()schaN其中 10spa这样可以求出 和 N，其中 。12()lnchxx在已知 、 、 的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定p滤波器的系统函数。n 0a1a2a3a4a波纹（ ）12db2.349,0.841 2.86277522 1.5162026 1.42562453 0.7156938 1.5348954 1.25291304 0.3790506 1.0254553 1.7168662 1.19738565 0.1789234

15、0 0.7525181 1.3095747 1.9373675 1.1724909波纹（ ）1db20.58471,0.58941 1.96522672 1.1025103 1.09773433 0.4913067 1.2384092 0.98834124 0.2756276 0.7426194 1.4539248 0.95281145 0.1228267 0.5805342 0.9743961 1.6888160 0.9368201波纹（ ）2db20.764831,0.548931 1.30756032 0.6367681 0.80381643 0.3268901 1.0221903 0.

16、73782164 0.2057651 0.5167981 1.2564819 0.71621505 0.0817225 0.4593491 0.6934770 1.4995433 0.7064606为了设计方便，工程上已将截止频率 的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表格供设1p计时查阅。归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（5-18）式所示，设计表格如表 5-3 所示。（5-18）02101() NdHpapap表 5-3 归一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案再次强调，表 5-3 是归一化 的结果，对于具体的 ，

17、其系统函数 可由（5-19）1pc()aHs式得到。（5-19）()SpHs综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下：（1）计算归一化频率 ， 。1psp（2）根据通带波纹（通带衰减） db，按照 式计算 ；p210p（3）根据阻带起始频率 ，阻带衰减 和 。按照 其中 式计算ss 1()schaN10sp滤波器的阶数 N；（4）根据滤波器阶数 N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数 ；根据 的低()H()频特性求出待定系数 ，注：当 N 为偶数时， ；当 N 为奇数时， 。0d21(0)H01（5）去掉归一化影响 根据截止频率 ，按照 式计算切比雪夫滤波器的系p()Sps统函数 ；

18、()Hs例 5-4 已知通带波纹为 1db，截止频率 ，阻带截止频率 ，阻0.3/prads0.5/srads带衰减大于 15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫型低通滤波器。解：已知 ， ， ，0.3p1pdB.5s1sB（1）计算归一化频率 ， 。p.67sp（2）计算 。20.110.2589p（3）计算滤波器的阶数 N； 1.5100.7spa11()(.8)2.0136schN选定 N=3。鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案（4）根据滤波器阶数 N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数 ；()Hp32()0.981.340.91KHpp因为当

19、N 为奇数时， 01即 ().所以 0.4913K（5）去掉归一化影响 32.().650.13SpHssss5.3 其它各型滤波器设计一、 模拟高通滤波器设计由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器 和模拟高通滤波器的幅频特性()Gj如图 5-10（a）和（b）所示。()Hj其中： 和 分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率；观察图 5-10（a）和（b）可知模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率存在如下关系如表 5-4 所示。从而有：（5-20）1通过式 5-20 可将高通滤波器的归一化频率转化为低通滤波器的归一化频率，同时通带和阻带衰减 和 保ps持不变。若令高通滤波器和

20、低通滤波器的传递函数分别为 和 ，其中 ， 则()HqGpqjpj0 1pss表 5-4 和 间的关系1pS1pS()Gj1 pS1p()HjpS 1p图（a） 模拟低通滤波器的幅频特性 图（b ） 模拟高通滤波器的幅频 特性图 5-10 模拟高通滤波器设计鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案11qjjp即 1()()pqHG由于 是偶函数所以()Gp 1()pq上式即为将模拟低通滤波器变换为高通滤波器的变换关系。在经过去归一化得（5-21）()()ppssqHsG这样即得到模拟高通滤波器的传递函数。由模拟低通滤波器变换为高通滤波器的方法归纳如下：1、将频率归

21、一化；2、将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标；3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；4、根据 求高通滤波器的传递函数。()psHsG例 5-5 设计一高通模拟滤波器，要求 ， ， ， ，10pfHz3pdB50sfHz30sdB用巴特沃斯滤波器设计。解1、 先将频率归一化，得 ，1p0.5sp2、 利用 作频率转化将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标，得，1p12s由已知知 ，3pdB0s3、 根据上述低通滤波器的指标设计低通巴特沃斯滤波器，得C=1，N=5，查表可得归一化转移函数为 54321()3.261563.1Gppp4、 根据 求高通滤波器的传递函数，其中 带入上式得()

22、psHs 0s鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案5534639211320().1.710.10.409.70psHsGss二、带通滤波器设计模拟带通滤波器的四个频率参数分别是 ， ， ， 。其中 ， 分别是通带下限sl13sh13和上限截止频率。 ， 分别是阻带的下限、上限频率，下面进行归一化处理。slsh定义通带带宽 ，并以该频率为参考频率对 轴作归一化处理，即31BW， ， ，1BW3BslslBshsBW再定义阻带中心频率 ，归一化为： 。213213归一化频率的带通滤波器幅频特性如图 5-11（b）所示，低通滤波器的幅频特性如图 5-11（b）所示

23、。表 5-5 给出了 和 间的关系sp0 ps0 sl 123sh由上图可知：1、 由于在 轴上有 即 ，也就是说在 轴上 关于 的对称点为2132112；则在 之间的任意一点 关于 的对称点应为 ；2323:222、在 之间的任意一点 映射为 轴上的对应点在 之间的 ， 映射为 ，3 0p:2表 5-5 和 间的关系ps()Gj sh3pssl1()Hj2/(a) 低通滤波器的幅频特性 （b）带通滤波器的幅频特性图 5.2.2 带通滤波器的幅频特性鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案于是得到 和 间的对应关系为：231p由于 ， ，所以有31p2参见表(5-

24、22)从而实现带通滤波器与低通滤波器讲的频率变换。我们利用低通滤波器的指标 ， ， ，psp，可以设计出低通滤波器的传递函数 。并设带通滤波器的传递函数为 ，其中 ，s()Gp()Hqj，则pj222()qjpj q即 2()qpHG去掉归一化影响得 21322 13()()BWBWsq sp所以 213()()spHsG这样，所求的带通滤波器的传递函数就可以求出。注意，N 阶低通滤波器转换到带通后，阶次变为 2N。现归纳模拟带通滤波器设计方法如下：1、将频率归一化；2、将带通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标；3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；4、根据 求带通滤波器的传递函数。213(

25、)()spHsG例 5-6 设计一切比雪夫带通滤波器，要求带宽为 200HZ，中心频率为 1000HZ，通带衰减不大于 1dB，在频率小于 830 HZ 或大于 1200 Hz 衰减不小于 15 dB。解 由题意可知 ， ， ， ，20BW210pdB2830sl， 。210sh5sd鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案1、将频率归一化，有 ， ， ，有225BW4.15slslBW6shsBW和 ，可求出 ， 。3121314.3.22、利用 求低通滤波器的指标，参见图 7.2.2 的对应关系，得2，231p21p，2.8sh 2.874sl注意：（1） 可

26、以直接给出不需要计算，这是由变换方法本社决定的。p（2）在一般情况下， 和 会稍有些不同，我们可以取 的绝对值较小者，即 ，sss1.83s至此我们得到了设计低通滤波器的全部指标，即 ， ， ， 。1ppdB1.83s5sdB3、根据上述指标设计切比雪夫低通滤波器，得 120.2589p1.100.7spa1()3.62.4schN注意： 12()ln)chxx取 。根据 N 及 查表得归一化切比雪夫低通滤波器为332()0.981.340.91KGpp因为当 N 为奇数时 即01()0.4973所以 1K即 32.().80.4913Gpp鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字

27、滤波器设计电子教案4、求带通传递函数 ()Hs222213 410()()BWssspppGG5.3 从模拟滤波器设计数字滤波器的方法从模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器就是要由模拟滤波器的系统函数 进一步求得 。()aHs()z归根结底是一个由 s 平面到 z 平面的变换。这个变换应遵循两个基本的目标。(1) H(z)的频响必须要模仿 的频响，也即 s 平面的虚轴 j 应该映射到 z 平面的单位圆()aHs上。(2) 的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到的 H(z)中保持，也即 s 平面的左半平面()aHs应该映射到 z 平面单位圆以内。从模拟滤波器映射(变换)成数字滤波器有四种方法：(1)

28、微分-差分变换法；(2)脉冲响应不变变换法；(3)双线性变换法；(4)匹配 z 变换法。由于(1)，(4)两种方法都有一定的局限性，工程上常用的是脉冲响应不变变换法和双线性变换法两种。一、脉冲响应不变变换法1. 变换原理脉冲响应不变变换法又称为标准 z 变换法。它是保证从模拟滤波器变换所得的数字滤波器的单位取样响应 h(n)是相应的模拟滤波器的单位脉冲响应 的等间隔取样值，即()aht(5-20)(nT如图 5-10 所示，这 T 为取样周期。的拉氏变换为()aht()aaLhtHsh(nT)的 z 变换即为数字滤波器的系统函数 H(z)。()(ZnTzz 变换和拉氏变换之间的关系可知（5-2

29、1）12()()(sTazemHsjHsT即时域的取样，使连续时间信号的拉氏变换 在 s 平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过)a的映射关系，将 映射到 z 平面上，即得 H(z)。sTze()as第二章讨论 的映射关系表明:s 平面上每一宽为 的条带，都将重叠地映射到整个sTze2/Tz 平面上。而每一条带的左半部分映射在 z 平面单位圆以内，条带的右半部分映射到单位圆外。s()ahtt()hnn图 5-10 脉冲响应不变法示意图鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案平面的虚轴映射到单位圆上，但是 轴上的每一段 的虚轴，都对应于绕单位圆一周。所以j2/T按照脉冲响

30、应不变变换法，从 s 平面到 z 平面的映射不是单值关系，千万不可错误地认为经过的简单代数变换即可由 得到 H(z)。这里除了这一变换之外，还同时含有将 以sTze()aH ()aHs为周期对 作周期延拓的过程。脉冲响应不变变换法 s 平面与 z 平面的映射关系如图2/()as5-11 所示。由(5-21)式可得数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间关系为 12()()j amHejmTT即数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。如果模拟滤波器的频响是限带于折叠频率之内的，即 ()0aj这时才使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。但是任何实际的

31、模拟滤波器，都不是带宽绝对有限的，因此，通过脉冲响应不变变换法所得的数字滤波器就不可避免地要出现频谱的混叠失真，如图 5-12 所示。只有当模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减很大，混叠失真很小时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能满足精度的要求。应该注意，在设计中，当滤波器的指标用数字域频率 给定时，不能用减小 T 的办法解决混叠问题。如设计一截止频率为 的低通滤波器， c则要求相应模拟滤波器的截止频率为 ，T 减小时，只有让 同倍数的增大，才能保证/cc给定的 不变。T 减小使带域 加宽了，但 也同倍数加宽，所以如果在带域c/,c外有非零的 值，即 ，则不论如何减小 T，由于 与 T 成同

32、样倍数/,()aHs/cc()jaTH1c0()je1Tc22图 5-12 脉冲响应不变法中的频率混叠现象图 5-11 脉冲响应不变法 s 平面与 z 平面关系TT1jRezImjz鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案变化，总还是 ，不能解决混叠问题；/cT2. 模拟滤波器的数字化在脉冲响应不变变换法设计中，由一个较为复杂的模拟系统函数(或脉冲响应)求出数字滤波器系统函数(或单位取样响应)是一个很麻烦的变换过程。因为乘积的 z 变换并不等于各部分变换的乘积，所以在这里不宜采用级联分解。但各项和的 z 变换是线性关系，因而用部分分式表达系统函数，特别适合于对复杂

33、模拟系统函数的变换。现实的系统通常是分母的阶数 N 高于分子的阶数 M，这时系统若只有单极点(若不是单极点情况，则求逆拉氏变换要复杂一些)，则可将模拟滤波器的系统函数 表达为如下的部分分式形式aHs(5-22)1()NiaiAHss相应的单位脉冲响应是 11()()()iNstaaihtLseu式中 是单位阶跃响应。根据脉冲响应不变变换法的意义，数字滤波器的单位取样响应是()ut 11()()(iiNsnTasTihnAeu数字滤波器的系统函数 H(z)则为(5-23)01()()iNsnTnniHzhzAez1110()i iNsTi sTniAez将上式与(5-22)式相比可见，由 至 间

34、的变换关系为a(z（5-24）1i iisTsTAzsee(5-24)式说明：(1) 与 H(z)的各部分分式的系数是相同的均为 ；()aHs i(2)极点是以 的关系进行映射的。 的 极点变成了 H(z)的 的极点；sTze()aHsiisTze(3) 与 H(z)间的零点没有一一对应的关系，一般说来，它是由极点和各系数 决定的一()as iA个函数关系。鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案3. 脉冲响应不变法的修正由（5-21）时可知：时域取样后的频谱幅值是原来信号频谱特性幅值的 1/T 倍，频率将以为周期进行延拓。由于取样时间一般很小，会造成 1/T 较

35、大，即取样后的信号频谱幅2/sT值过大，为了修正这一问题，雷道和戈尔德提出在进行时域取样时取 ，这样(5-23)式()()ahnT修正为（5-24）11()iNsTiAHzez根据以上分析可知，脉冲响应不变变换法的设计步骤可以不必再经历的过程，而是直接将 写成许多单极点的部分分式之和的形()()(aaHshtnTz()aHs式，然后将各个部分分式用(5-24)式的关系进行替代，即可得所需的数字滤波器系统函数 H(z)。脉冲响应不变法设计步骤1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设计原型模拟滤波器，得。 （如果是非低通滤波器则需进行变换）)(sa2、把 分解成部分分式求和形式

36、 ，其中： 是系统极点。 （求出极点)(Ha NiiasAsH1)(is和系数 ）iAs,3、用变换式： 对 进行变换，得数字滤波器系统函数11zesTsii )(sa。NiTsizeAzH11)(例 5-7 已知模拟滤波器的系统传递函数为 2()saHb试使用脉冲响应不变法将上述传递函数转变为数字滤波器的传递函数。解；1、将 化成部分因式和的形式：()aHs 11222()asabsjsabj2、系统的极点为： ，1psj2p3、根据（5-24）式可知脉冲响应不变法设计的数字滤波器的系统函数为 1122()()()abjTabjTHzezez鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数

37、字滤波器设计电子教案例 5-8 已知数字系统采样频率为 500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的 3dB 截止频率为50Hz。试采用脉冲响应不变法设计一个二阶数字巴特沃斯低通滤波器。 解：1、 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率 50Hz；阶数 N=2；采样频率 500Hz。选择滤波器逼近函数为 Butterworth 二阶函数；查表得： 21().4Hpp，代入得：210/ccfrads 4219.8710() 3.4()()0cspHss 2、求系统的极点： ，将 部分分式展开得：.2.2,1jsH)1.2.(4)1(4)( jsjHa 3、 ，得 和 代入变换式，进行变换得：310

38、25T4.0.1jTse 4.0.2jTe0.4.10.4.188()j jzzz4、整理成标准形式得： 21).(6.25)( zzzH4. 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变化是线性的，即 。因此，如果模拟滤T波器的频响是限带于折叠频率以内的话，则通过变化后所得的数字滤波器的频响可以不失真的反映原频率响应的关系脉冲响应不变法最大缺点是有频谱周期延拓效应，因此只能用于限带的频响特性，如衰减特性较好的低通或带通滤波器的设计。对于高通、带通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，当一定要追求频率响应线性而采用脉冲响应不变法时，必须先对模拟高通、带阻滤波器加一保护滤波器，滤

39、掉高于折叠频率以上的频率，然后再转变为数字滤波器以避免混叠失真。二、双线性变换法1. 变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服脉冲响应不变法的多值映射这一缺点，我们首先把整个 s 平面压缩变换到某一中介的 平面的1s一横带里（宽度为 ，即从 到 ） ，然后再通过上面讨论过的标准变换关系2/T/T将此横带变换到整个 z 平面上去，这样就使 s 平面与 z 平面是一一对应的关系，消除了多sTze值变换性，也就消除了频谱混叠现象，基本原理如图 5-13 所示。鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案将 s 平面整个平

40、面压缩到 平面的 到 ，可采用以下的变换关系1s/T/（5-25）12Ctg其中 C 为常数；这样 经（5-25）式变为 ， 变为 ，可将上式写成1/T011122TTjjejC令 ，则可得1,jsjs（5-26）1112sTssTeeC再将 平面通过以下标准变化关系映射到 z 平面1s（5-27）1sTe这样（5-26）式可表示为（5-28）1zsC（5-29）2. 变换常数 C 的选择为了使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有 ，当1较小时有1112Ttg由（5-25）式可知图 5-13 双线性变换法的映射关系T鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字

41、滤波器设计电子教案12TC因而得（5-30）则（5-28）和（5-29）式可重新写成：（5-31）12zsT即 （5-32）2zs3. 逼近情况双线性变换具备模拟域到数字域映射变换的总要求，现分析如下：（1）将 代入到(5-32)式则得sj2jTz或（5-34）122Tz由上式可见，当 时， ；当 时， ；当 时， 。这就是说双线性变01z01z01z换把 s 左半平面映射在单位圆 的内部；把 s 平面的整个 轴映射成单位圆 ，把 s 右jz半平面映射在单位圆的外部。(2)令 ， ，则由(5-32)式得jjze2jjT所以 2arctg由此得出模拟滤波器的频率 和数字滤波器频率 的关系式为2T

42、tg图 5-14 双线性变换的频率间非线性关系鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章 IIR 数字滤波器设计电子教案(5-35)2tgT这一公式的关系如图 5-14 所示。可以看出，当 时， ，当 时， ,当0时， 。这就是说：s 平面的原点映射为 z 平面(1，0)点，而 s 平面的正虚轴和负虚轴分别映射成 z 平面单位圆的上半圆和下半圆。由上所述，可得如下结论：a模拟滤波器 中最大和最小值将保留在数字滤波器 中，因此模拟滤波器的通带()aHs ()jHe或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。b如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。c由于 s 平面的整个虚轴

43、映射为 z 平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了脉冲响应不变变换法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。但由(5-35)式可见，在频率 与 间存在严重的非线性。4. 模拟滤波器的数字化由于双线性变换法中，s 与 z 之间有简单的代数关系，故可由模拟系统函数通过代数置换直接得到数字滤波器的系统函数。即(5-36)112()()zaasTzHH可见数字滤波器的极点数等于模拟滤波器的极点数。频率响应也可用直接置换得到(5-37)22()()jaatgTejjtg 这一公式可用于将滤波器的数字域指标，转换为模拟域指标。再者，可在未进行双线性变换前把原模拟系统函数分解成并联或级联子系统函数，然后再对

44、每个子系统函数分别加以双线性变换。就是说，所有的分解，都可以就模拟滤波器系统函数来进行，因为模拟滤波器已有大量图表可供利用，且分解模拟系统函数比较容易。5. 优缺点双线性变换法的主要优点是消除了脉冲响应不变变换法所固有的混叠误差。这是由于 s 平面的整个 轴单值地对应于 z 平面单位圆一周的缘故。数字域频率 与模拟域频率 关系已在(5-35)j式中示出，并已画于图 5-14 上。由图可见，在零频附近，模拟频率 与数字频率 的关系接近于线性。T 值愈小，即取样频率愈高，则成线性关系的频率范围愈大。当 进一步增大时， 增长变慢，二者不再是线性关系了。最后当 时， 终止在折叠频率 处，从而双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混叠到低频部分去的现象。这意味着，模拟滤波器全部频率响应特性被压缩于等效的数字频率范围之内。由图 5-14 还可以看出，双0线性变换消除混叠的这个特点是靠频率的严重非线性而得到的。双线性变换法的缺点是频率 与 间的非线性。这种非线性关系要求被变换的连续时间系统的幅度响应必须是分段常数型的(某一段频率范围幅度响应近似于某一常数)，不然所映射出的数