1、要点梳理 1.若已知数列an,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+f(n)可求,则可用 求数列的通项an. 2.若已知数列an,满足 =f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用 求数列的通项an.,6.4 数列的通项及数列求和,累加法,累积法,基础知识 自主学习,3.等差数列前n项和Sn= = ,推导方法: ;等比数列前n项和推导方法:乘公比,错位相减法.,Sn=,,,na1,=,q=1,q1.,,,倒序相加法,4.常见数列的前n项和 (1)1+2+3+n= ; (2)2+4+6+2n= ; (3)1+3+5+(2n-1)= ; (4)12+22+32+n2= ; (5
2、)13+23+33+n3= .,n2+n,n2,5.(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. (3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.,6.常见的拆项公式有,基础自测 1.已知等比数列an,a1=3,且4a1、2a2、a3成等差数列,则a3+a4+a5等于 ( )A.33 B.72 C.84 D.189解析 由题意可设公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2,4a2=4a1+a3,4a1q=4a1+a1
3、q2,又a1=3,q=2.a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=34(1+2+4)=84.,C,2.如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为3的等比数列,则an等于( )A. B.C. D.解析 a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an=,C,3.已知数列an的通项公式是an= ,其中前n项和Sn= ,则项数n等于 ( )A.13 B.10 C.9 D.6解析 an=Sn=n- =n-1+而,D,4.数列 的前n项和为 ( )A. B.C. D.解析 由数列通项公式得前n项和,B,54,题型一 由递推公式求通项公式 【例1】分
4、别求满足下列条件的数列的通项公式.(1)设an是首项为1的正项数列,且(n+1)+an+1an=0 (n=1,2,3,);(2)已知数列an满足an+1= ,a1=2.,题型分类 深度剖析,解(1)方法一 数列an是首项为1的正项数列, anan+10, +1=0, 令 =t,(n+1)t2+t-n=0, (n+1)t-n(t+1)=0,t= 或t=-1(舍去),即,方法二 由(n+1) +an+1an=0,得 n( )+an+1(an+1+an)=0, 即(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0. an0,an+1+an0,(n+1)an+1-nan=0,即,(2)将已知递推式化为将
5、以上(n-1)个式子相加得,探究提高 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1;累乘:an=等方法.,解 (1)因为对于一切nN*,an0,因此由an+1= ,得即数列 是等差数列,(n-1)2=2n-1,即an=,知能迁移1 由已知在数列an中a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式.(1)an+1= ;(2)an+1=2an+2n+1.,(2)根据已知条件得即 数列 是等差数列.即an=(2n-1)2n-1.,题型二 错位相减法求和 【例2】设数列a
6、n满足a1+3a2+32a3+3n-1an=nN*. (1)求数列an的通项; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Sn.解 (1)a1+3a2+32a3+3n-1an= 当n2时,a1+3a2+32a3+3n-2an-1= ,-得3n-1an= ,an= 在中,令n=1,得a1= ,适合an= an=(2)bn= ,bn=n3n. Sn=3+232+333+n3n 3Sn=32+233+334+n3n+1. -得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n), 即2Sn=n3n+1-,探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n-1an的前n项和,从而利用an与Sn的关系求出通项3
7、n-1an,进而求得an;另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法,但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养.,知能迁移2 在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n. (1)设bn= .证明:数列bn是等差数列; (2)求数列an的前n项和Sn. (1)证明 an+1=2an+2n,bn= ,bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1,b1=1,故数列bn是首项为1,公差为1的等差数列.,(2)解 由(1)知,bn=n,an=n2n-1, 则Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1 2Sn=121+222+(n-1)2n-1+
8、n2n 两式相减,得 Sn=n2n-120-21-2n-1=n2n-2n+1.,题型三 分组转化求和 【例3】求和Sn=1+解 和式中第k项为,探究提高 先将求和式中的项进行适当分组调整,使之每一个组为等差或等比数列,然后分别求和,从而得出原数列的和.它是通过对数列通项结构特点的分析研究,将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和的一种求和方法.,解 前n项和为Sn=(1+1)+= +1+4+7+(3n-2), 设S1= 当a=1时,S1=n; 当a1时,S1=,知能迁移3 求下列数列的前n项和:,S2=1+4+7+(3n-2)= 当a=1时,Sn=S1+S2= 当a1时
9、,Sn=S1+S2=,解 (1) an=Sn-Sn-1,(n2), =(Sn-Sn-1)(Sn- ), 即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn, 3分 由题意Sn-1Sn0,,题型四 裂项相消法求和 【例4】(12分)已知数列an中,a1=1,当n2时,其前n项和Sn满足(1)求Sn的表达式;(2)设bn= ,求bn的前n项和Tn.,式两边同除以Sn-1Sn,得 数列 是首项为 公差为2的等差数列. 4分 =1+2(n-1)=2n-1,Sn= 6分,(2)又bn= 8分 Tn=b1+b2+bn12分,使用裂项法求和时,要注意正负项相消 时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被 消去的项,未被消去
10、的项有前后对称的特点,实质 上造成正负相消是此法的根源与目的.,探究提高,方法与技巧 1.求数列通项的方法技巧:(1)通过对数列前若干项的观察、分析,找出项与项数之间的统一对应关系,猜想通项公式;(2)理解数列的项与前n项和之间满足an=Sn-Sn-1(n2)的关系,并能灵活运用它解决有关数列问题. 2.an的两种常见变形an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)(累加法);an=a1 (累乘法).,思想方法 感悟提高,3.数列求和的方法技巧 (1)倒序相加:用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和数列的求和.,失误与防范 1.直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程. 2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础上,判断求和类型,寻找求和的方法,或拆为基本数列求和,或转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.,返回,