1、- 1 -深圳高级中学 2019 届高三年级 12 月模拟考试理 科 数 学一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 230Ax， ln2Bxy，则 AB（ ）A 2,B ,C 3,D ,22.设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ， “ ”是“ ”的（ ）.m/m/A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+ 的离心率为（ ） A B C 或 D 或4 九章算术中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上
2、而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ）A 10升 B 901升 C 253升 D 201升5.已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ab|2|4b()abab）A B C D 1216.已知直线 430xya与 2:40xyA相交于 A、 B两点，且 ，120AC则实数 a的值为（ ）A B 1 C. 1或 D 3或 17已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）- 2 -A B C D2xy2xyexy|2xy8若双曲线 ： 的一条渐近线被抛物线 所截得的弦长为C210,ab24，则双曲线
3、 的离心率为（ ）32A B1 C2 D4149.函数 （其中 ）的图像如图所示，为了得到sinfxx0,A的图像，只需将 的图像( )co2gfxA.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位33C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位6610.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. B. C. D.824682626126411.记数列 的前 项和为 .已知 ， ，则 （ nanS1a1()2()nnSaN2018S）A B C. D1093(2)1093(2)20183()20183()7x- 3 -12. 若函数
4、 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )2()lnlxfxaA. B. C. D. 1(,)e1,e(,1)e,1e二填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知向量 a与 b的夹角为 60， 2a， 3b，则 2ab_14若 tn3， 2， ，则 cos4_15某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36，则该几何体的体积为_16. 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， . 是 边的中点，且 ，ABCCabcDBC102AD， ，则 面积为 8sin315ac1os4AB三解答题
5、：本大题共 8 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列 na的前 项和为 nS，且 ， na， S成等差数列， 2log1nnba（l）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb中去掉数列 na的项后余下的项按原顺序组成数列 nc，求110cc的值18. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且ABC BCabc- 4 -.sin()sinibBcCaA（1）求角 的大小；A（2）若 ，且 的面积为 ，求 .3si8B 23a19如图，四棱锥 中， 为正三角形， ， ，PACDP /ABCD2， ， 为棱 的中点90BADE（1）求证：平面 平面 ；B（2）
6、若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值45E20已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，有2:10xyCab1F2P，椭圆的离心率为 ；124PF2e（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知 ，过点 作直线 与椭圆交于 不同两点，线段 的中垂线为 ，,0Nl,ABABl线段 的中点为 点，记 与 轴的交点为 ，求 的取值范围ABQlyMQ21.已知函数 ，其中 21()ln()fxmxR（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，证明： ()fx1x212x12()1ln04fx22在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数） ，以射线xOyCc
7、os3inxy- 5 -为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 Oxlcosin30（1）将曲线 的参数方程化成普通方程，将直线 的极坐标方程化成直角坐标方程；Cl（2）求直线 与曲线 相交所得的弦 的长l AB- 6 -2019 届高三年级 12 月模拟考试理科数学答 案1B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A8 【解析】双曲线 ： 的一条渐近线方程不妨设为：C210,xyab，与抛物线方程联立， ，消去 ，得 ，所以0bxay24xyy240axb，所以所截得的弦长为 ，化简可得 ，1240x 22316ba234ca， ， ，得
8、 或 （舍） ，所以双曲线 的23bca241ca20e24e-C离心率 e9.【解析】由图像知 ， ， ， 1A7423TT27()1f， ，得 ，所以 ，为了得到73221k()sin3fx的图像，所以只需将 的图象向右平移 个长度单位即cossin()gxx ()f6可，故选 D10.该几何体为如图中的三棱锥 CA 1C1E，ECEA 1 ，A 1C 4 ，251 3三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为：2 ，2表面积为：S 2 4 2 4 4 4 2 4 382611x- 7 -12. 有 3 个不同解，令ln,(0)xaln(),xg当 时，令2221ll1lln(0,)( ,
9、)()xxxgx 则 (0,)，则 递减；当2lny ,0,yy当递增，则 时，恒有1(,),xmin1lln(,)2yx则 当得 或 递减；l0.(gx令 ,(,1)0xeg且 时递增； 时， 递减，则 的极小值(1,),)xe时 (,()x()gx为 的极大值为 结合函数图象可得实数 a 的取值范围是(),gx,1eg.答案A1,e二填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 【解析】 2a， 3b， a与 的夹角为 60， 1cos6023ab，又 2391413b ， 32，故答案为 14 【解析】由 tan3，可得 sinco又 2sincos1，结合 02， ，可
10、得- 8 -310sin， 10cos 225coscosin4，故答案为 2515 根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为 36，即346R， 3，则球心 O到底面等边 ABC 得中心 O的距离22O，根据球心 O 与高 D围成的等腰三角形，可得三棱锥的高4h，故三棱锥的体积 21346V即答案为 616. 三解答题17 【解析】 （1）因为 n， a， nS成等差数列，所以 2nnSa，2 分- 9 -所以 112nnSa，得 ，所以 122nna4 分又当 1n时， 112Sa，所以 1，所以 ，故数列 na是首项为 ，公比为 2的等比数列，所以 12n，即
11、 1na6 分（2）根据（1）求解知， 2log21nbn， b，所以 12nb，所以数列 nb是以 1为首项， 为公差的等差数列7 分又因为 1a， 23， 7a， 415， 3a， 6， 712a， 85，647b， 06， 107b，9 分所以 12210727cca 127073 142819012 分18.（1）由 ，由正弦定理得 ，sin()sinibBcCaA22()bca即 ，3 分22ca所以 ， .6 分1cosAb3（2）由正弦定理 ，可得 ， ，iminsiabcBCsinaBbAsinaCc所以 .101sABCSc i2iA2i23s分又 ， ， ，解得 .12 分
12、3sin83sin2238a4a19 【解析】 （1）取 中点 ，连接 ， APFEDF为 中点， ，又 ， ，EB1/=EB1/=2CAB/=EF- 10 -为平行四边形，2 分CDFE/又 为正三角形， ，从而 ，3 分PA PADFPACE又 ， ， 平面 ，4 分C又 平面 ， 平面 平面 5 分B（2） ， ，又 ， ， 平面/APABADPAB 平面 为 与平面 所成的角，即 ，PDDPC45CD7 分C以 为原点，建系如图，设 ，则 ， ， ，A4AD8,0B,23P0,4D，8 分4,13E， 设 为平面 的法向量，,0,xyznAE则 ，令 ，得 ，1034AxyzDn43,
13、04分由（1）知， 为平面 的一个法向量11 分20,13PCDE，即二面角 的余弦值为 ，57cos9AnAC25719即二面角 的余弦值为 12 分DEC2120 【解析】 （1）因为 ，所以 ，所以 ，124PF4a2因为 ，所以 ， 所以 ，2ec213bc- 11 -所以椭圆 的标准方程为 4 分C2143xy（2）由题意可知直线 的斜率存在，设 ： ， ， ，ll4kx1,Ay2,Bxy，0,Qxy联立直线与椭圆 ，消去 得 ，2143xyky222436410kxk， ，5 分212kx216k又 ，解得： ，6 分2223431012k， ，1206xk0243yxk所以 ，7
14、 分221,43Qk所以 ： ，即 ，l00yx221164343kkyx化简得： ，8 分2143k令 ，得 ，即 ，9 分0x2m20,3kM，10 分2422161643kkMQk令 ，则 ，t,4t所以 ，2 22233116166ttQtt所以 12 分0,5M21.解：（1）函数 定义域为 ，且 ， ()fx(,1)2()1mxfx- 12 -，10x令 ， ，1 分2m14当 ，即 时， ， 在 上单调递减； 2 分()0fx()fx,1)当 ，即 时，由 ，解得 ， ，042m142m214x若 ，则 ， 时， ， 单调递减；1m12x1(,)x()0fx()f时， ， 单调递
15、增； 时， ， 单调递减；12(,)x()0f)f2,()fx3 分若 ，则 ， 时， ， 单调递减； 时，012x1(,)x()0fx()f1(,)， 单调递增；4 分()f()f综上所述： 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为0m()fx14(,)2m；14(,)2时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区0m()fx14(,)2m14(,)2间为 ；141(,)2m时， 的单调递减区间为 5 分)fx(,1)（2）因为函数 定义域为 ，且 ，(f,2 1mxfx函数 存在两个极值点， 在 上有两个不等实根 ， ，)fx()0f(,1)2x记 ，则 ，2()gm14,2()0,g4m从而
16、由 且 ，可得 ， ，7 分12,x12x1(,)x21(,)x- 13 - ，8 分221112ln()() ln()xmxf mx211ln()()x构造函数 ， ，2()l()1)xx(0,)2则 ，2 2()ln(ln(1)()xx记 ， ，则 ，2()l(1)xpx10,23()ph令 ，得 （ ，故舍去） ，()035(,)23512x 在 上单调递减，在 上单调递增，10 分px0, 01,又 ， ，()1()ln2当 时，恒有 ，即 ，,x()px()x 在 上单调递减， ，即 ，()01021ln2()04x 12 分12()1ln4fx22 【解析】 （1）曲线 的参数方程化成直角坐标方程为 ，2 分C2143xy因为 ， ，所以 的直角坐标方程为 4 分cosxsinyl 0（2）直线 的倾斜角为 ，过点 ，l4(3,0)所以直线 化成参数方程为 ，即 ， （ 为参数） ，5 分lcos4inxty23xty代入 得， ， ，2143xy2760tt2=(6)47(6)3840设方程的两根是 ， ，则 ， ，8 分1t2127t12t- 14 -所以 10 分212113846()7ABttt
