1、2011 年四月抽样监测文科数学试卷第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数是 534iA B C34i D3 4i 345i2已知集合 ， ，若 ，则 等于0,Pm20,QxxZPQmA1 B2 C 1 或 D1 或 23已知等差数列 前 17 项和 ，则na75S57913aaA3 B6 C17 D514如果执行右面的程序框图，那么输出的 SA1B 0C 9D 85将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位()3sin(4)6fx 6长度，得到函数
2、的图象，则 图象的一条对称轴是ygx()ygxA B C D12x33x某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示） 根据一般标准，高三男生的体重超过 65kg 属于偏胖，低于 55kg 属于偏瘦已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为 0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为 400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ）A1000,0.50 B800,0.50C800,0.60 D1000,0.607 一个四棱锥的三视图如右 图所示，其 侧视图是等边三角形该四棱锥的体 积等
3、于（ ）A BC D8设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不lm 同的平面，则下列正确的是A若 ， ，则 B若 ， ，则l/m/llC若 ， ，则 D若 ， ， ，则/a,lml9在ABC 中， ABC 90，若 BDAC 且 BD 交 AC 于点 D， ，则 （ B3BDC）A3 B 3 C D310已知函数 f(x)在（-1，3上的解析式为 f(x)= ，则函数 y=f(x)-log3 x 在21,|1x（-1，3上的零点的个数为 （ ）A.4 B.3 C.2 D.111若第一象限内的点 落在经过点 且具有方向向量 的直线 上，则(,)Axy(6,2)(3,2)al有（ ）3223log
4、lyA、最大值 B、最大值 1 C、最小值 D、最小值 1312已知双曲线 的左右焦点是 F1，F 2，设 P 是双曲线右支上一点，2(0,)xyab上的投影的大小恰好为 且它们的夹角为 ，则双曲线的离心率 e 为12FP在 1|P6A B C D323121第卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。将答案填在题后的横线上）13已知 32sinco4， ),0(，则 cos(2)3 14已知函数 8,)()( fxfxfx则 =_ 15已知实数 满足 ，则 的最大值是 ,y13y16给出下列四个命题： “x（x3）0 成立”是“|x1|2 成立”的必要不充分
5、条件； 抛物线 x=ay2（a0）的焦点为（0 ， ） ；14a 函数 的图象在 x=1 处的切线平行于 y=x，则（ ，+）是 的单调2()lnfxax 2()fx递增区间； “ ”是“直线 与直线 互相平行”的充分条件4m01my08yx其中正确命题的序号是 （请将你认为是真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）一个袋中装有大小相同的 5 个球，现将这 5 个球分别编号为 1,2,3,4,5（1 ）从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回求取出的两个球上编号之积为奇数的概率;（2
6、）若在袋中再放入其他 5 个相同的球，测量球的弹性，经检测这 10 个的球的弹性得分如下：87, 91, 83，96, 94，8 7, 97 ，93, 92, 80, 把这 10 个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过 05 的概率18 （本小题满分 12 分）直角梯形 ABCD 中，A DBC,AD=2,BC=4,P 为平面 ABCD 外一点，且 PA=PB, PD=PC，N 为 CD 中点。（）求证：平面 PCD平面 ABCD（）在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE平面 ABP，若存在，说明理由并确定E 点的位置，若不存在请说明理由。19(本小
7、题满分 12 分) 如图，已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直2:1()xCyaAF线 与圆 相切AF:M2670xy（）求椭圆 的方程；C（）若不过点 的动直线 与椭圆 相交于 、 两点，lCPQ且 求证：直线 过定点，并求出该定点 的坐标 0,APQN20、 （本小题满分 14 分）设函数 21()ln.fxaxb（）当 时，求 的最大值；12ab（）令 ， （ ） ，其图象上任意一点 处切线的斜2()Fxfaxb03x0(,)Pxy率 恒成立，求实数 的取值范围；k（）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值0a1b2()mfm高三数学（文科）参考答案一、选择题第 21 题图xOyQ
8、lFPA DB CPN1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D A C C D A D A C B C二、填空题 13、 16 14 . 2 15、5 16、三、解答题17解：解：（1）设“ 取出的两个球上编号之积为奇数”为事件 ,B)45(,3)2(,15),52(,1(， ，），），共包含 20 个基本事件； 2 分其中 ， 4 分)3(1,)(,)(,，B包含 6 个基本事件则 7 分 620PB（2 ）样本平均数为, 9 分)0.8293.7.849.381.97(0 x设 B 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 05 的概率 ”，则包含
9、6 个基本事件，所以 12 分5106)(BP18 解 ;(1)取 AB 中点 M，连接 PM,PN 则 PMAB,PNCD, -2 分又 ABCD 为直角梯形，AB BC，MNAB,PM MN=MAB平面 PMN,又 PN 平面 PMNABPN -4 分AB 与 CD 相交PN平面 ABCD,又 PN 平面 PCD平面 PCD平面 ABCD-6 分(2)存在， -8 分如图 PC,PB 上分别取点 E、F ，使 连接 EF、MF、NE ，则 EFBCCPEB41,且可求得 EF= =3BC43MN=3 且 MNBCE FMN 且 EF=MNMNEF 为平行四边形E NFM,又 FM 平面 P
10、AB 在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE平面 ABP，此时 CE= -12 分PC4119解: （）将圆 的一般方程 化为标准方程 M2670xy，22(3)(1)3xy圆 的圆心为 ,半径 . -1 分M()3r由 , 得直线 ,即 ,-2 分(01)A21Fca:1xAFyc0xcy由直线 与圆 相切,得 , 或 (舍去). -3 分23c2当 时, , 故椭圆 的方程为 -4 分2c21acC2:1.3xy（）(解法一)由 知 ,从而直线 与坐标轴不垂直, -5 分0,APQAP由 可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 . -6 分0,11ykxQ1(0)yxkA DB CNP
11、F EM将 代入椭圆 的方程 并整理得: ,1ykxC213xy2(3)60kx解得 或 ,因此 的坐标为 ,026kP226(,1)即 2213(,)k将上式中的 换成 ,得 .kQ263(,)k直线 的方程为 -10 分l2222231()63kyxkk化简得直线 的方程为 ，-11 分l41因此直线 过定点 .-12 分l(0,)2N(解法二) 若直线 存在斜率，则可设直线 的方程为： ，代1l l (ykxm0,1)Al)入椭圆 的方程 并整理得: , -5 分C213xy22(3)63kx由 与椭圆 相交于 、 两点，则 是上述关于 的方程两个不相l1(,)Pkm2,Q,12xx等的
12、实数解，从而 264(3()(3)0kkm-6 分12122),3kxx由 得0,APQ1212()(1)mkx， 212()0kxx2 223(1)6(1)()(1013mmkkk整理得： 由 知 . 20,(),12m此时 , 因此直线 过定点 . 10 分29(41)kl1(0,)2N若直线 不存在斜率，则可设直线 的方程为： ，l lx(0,1)Al)将 代入椭圆 的方程 并整理得: ,xmC213xy223my当 时, ,直线 与椭圆 不相交于两点，这与直线 与椭圆 相交于 、 两点产生2320yl lCPQ矛盾!当 时, 直线 与椭圆 相交于 、 两点， 是关于 的方程20lC1(
13、,)Pmy2(,)Q12,yy的两个不相等实数解，从而213my12120,.3y但 ,这与 产生矛盾! 2 2124()3APQy AP因此直线 过定点 .-12 分l(0,)N20解：解: （ ）依题意，知 的定义域为（0，+） ，(xf当 时， ，21baf214ln)(（2）令 =0，xxf )()( )(xf解得 （ ）0因为 有唯一解，所以 ，当 时，)(g0)(2g1，此时 单调递增；xf)(xf当 时， ，此时 单调递减。1x0)(xf)(xf所以 的极大值为 ，此即为最大值 4 分f 431f（） ， ，xaFln)(,(则有 ，在 上恒成立，200k3,0(x所以 ， am
14、ax)1(,当 时， 取得最大值 ，所以 8 分0x0221a（）因为方程 有唯一实数解，2)(xf所以 有唯一实数解，ln2x设 ，mxg2)(则 令 ， x2 0)(g02mx因为 ， ，所以 （舍去） ， ，0m421x 224m当 时， ， 在（0， ）上单调递减，),(2x)(g)(2x当 时， ， 在（ ，+ ）单调递增xg当 时， =0， 取最小值 2x)(2)()(2x则 既,0)(2g.0,ln2mx所以 ，因为 ，所以 （*）ln2xm01ln22x设函数 ，因为当 时，1)(hx是增函数，所以 至多有一解)(xh0)(xh因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得 14 分0121241m2m
