1、第五章 定积分,5-1 定积分的概念,教学内容:定积分的定义定积分的几何意义定积分的性质 教学要求：了解定积分的定义熟悉定积分的几何意义掌握定积分的性质会应用性质计算定积分。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1
2、）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,例2:利用定积分的定义计算积分：,(,),。, 被积函数,上连续，,在,解：,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证：,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,
3、解,令,于是,性质5的推论：,证:,（1）,证:,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证:,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6:,解,解:,证:,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解:,由积分中值定理知有,使,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变） 代曲（变）,取极限,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,思考题:,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答:,原式:,作业: P145
4、 2、5,第二节 微 积 分 基 本 公 式,教学内容:积分上限函数牛顿莱布尼兹公式 教学要求：了解积分上限函数的定义熟悉积分上限函数的求导方法掌握牛顿莱布尼兹公式会应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充:,证:,原式,例1 求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解:,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定
5、积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意：,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,例6 求,解,由图形可知,例7 求,解:,解: 面积,原式,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结:,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,作业: P153 2、3、4（1、3、10、13）,教学内容:定积分的换元积分法定积分的分部积分法 教学要求：了解定积分积分法和不定积分积分法的联 系与区别掌握定积分的基本积分方法会应用定积分的基本积
6、分方法计算简单的定积分,第三节 定积分的积分法,定理,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1 计算,解,令,原式,例2 计算,解,例3 计算,解,原式,令,例4 计算,解:,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,推导,二、分部积分公式,例8 计算,解:,令,则,例9 计算,解,所以，,例10 计算,解,例11 设 求,解,例12 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,三、小结,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别
7、）,1.,2.,作业: P157 2（1、2、4、5、11） 3（1、2、4）,第四节 反常积分,教学内容:反常积分的概念反常积分与定积分的区别与联系 教学要求：了解反常积分的概念了解反常积分与定积分的联系与区别,作业: P162 1、（1、2、4、5）,定积分的应用,教学内容:元素法的基本思想平面图形面积的计算法旋转体的体积 教学要求：了解元素法的概念熟悉平面图形面积的计算方法了解旋转体体积的计算方法会计算曲边梯形的面积,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平
8、面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1、旋转体的体积,旋转体的体积为,解:,直线 方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,解,所求弧长为,曲线弧为,
9、弧长,2、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方
10、程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,解,所求弧长为,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量 的特点,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,一、主要内容,习题课,1、理论依据,2、名称释译：,3、所求量的特点：,4、解题步骤：,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直
11、角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,(2) 体积：,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 细棒的质量,(6) 转动惯量,(7) 变力所作的功,(8) 水压力,(9) 引力,(10) 函数的平均值,(11) 均方根,二、典型例题,例1,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,例2,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,例3,解：,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,测 验 题
12、,测验题答案,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,习题课,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分件：,定理1,定理2,3、存在定理：,4、定积分的性质：,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,例1,解,二、典型例题,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,是偶函数,例7,解,例8,证,例9,证,作辅助函数,例10,解,(1),(2),测 验 题,测验题答案,
