1、第三章 数列第一节 等差数列一、基本知识点1定 义： )()1 Nndan常 数2通 项公式： ，推广：1dmna)(d= ，d= 是点列（n，a n）所在直线的斜率.nm3前 n 项 的和： Sn 2)1(2)(1121()a变式： =n4等差中项：若 a、b、c 等差数列，则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c5性 质:设 an是等差数列，公差为 d,则(1)m+n=p+q,则 am+an=ap+aq (2) an, an+m, an+2m组成公差为 md 的等差数列 .(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n组成公差为 n2d 的等差数列.(4)当 n=2k-1 为奇数时
2、，S n=nak；S 奇 =kak，S 偶 =(k-1)ak (ak=a 中 )（5）在等差数列a n中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且 Sm Sn，mn，则 Sm+n=06等差数列的判定方法(nN*)(1)定义法: a n+1-an=d 是常数 (2)等差中项法: 212nna(3)通项法: (4)前 n 项和法:d)1(BA27 知三求二, 可考 虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质。nSd,18.三个数成等差，可设变量为: ,四个数成等差可设变量为a,aa3,3二、考点典例分析考点一：等差数列的定义及应用1已知等差数列 的通项公式 ，则它的公差为（ ） nnn2A2
3、B3 C-2 D-3 2数列 的通 项公式为 ,则此数列（ ） na*(1)2,nanNA是公差为 3 的等差数列； B是公差为-2 的等差数列； C是公差为 1 的等差数列； D不是等差数列3在 1 与 25 之间 插入五个数,使其 组成等差数列,则这五个数为（ ） （A）3、8、13、18、23 （B）4、8、12、16、20（C）5、9、13、17、21 （D）6、10、14、18、224 中,三内角 成等差数列 ,则 等于 （ ） BC,A30 B60 C90 D1205.已知数列 的前 项和为 ,则该数列为等差数列的充要条件为（ nacbna2）（A） （B） （C） （D） 0cb
4、b06.若关于 的方程 和 的四个根可以组成x2x2x)(ba首项为 的等差数列,则 的值为（ ）（A） （B） （C） （D）41a834123717一个直角三角形的三条边成等差数列 ,则它的最短边与最长边的比为（ ）（A）45 （B）513 （C）35 （D）12138成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数9.已知三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数.考点二：等差数列的通项公式及运用1数列 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,数列 是首项为 -2,公差为 4 的等差数nanb列.若 ,则 n 的值为（ ）（A）4 （B）5 （C
5、）6 （D）7 nab2在数列 中, , ,则 的值为（ ） 121na10aA49 B50 C51 D523等差数列 的首项为 70,公差为9,则这个数列中绝对值最小的一项为（ ）AnB C D 8a910a14在等差数列 中, , ,则 等于（ ）n2564a1A-9 B-8 C-7 D-45.在等差数列 中, ,则 _na15253,356. 已知数列 为等差数列, ,求 的值.74a1a7. 等差数列 的首项为 1, 从第 9 项开始各项均大于 25,求公差 d 的取值范围.nn8. 一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是多少？9. 1
6、00 是不是等差数列 2,9,16,的项？如果是,是第几项？如果不是,说明理由.10. 已知等差数列 中, ,试问 217 是否为此数列的项？若是na15453,a说明是第几项；若不是,说明理由.考点三：等差数列性质的应用1.已知等差数列 满足 ,则（ ）na1290a（A） （B） （C） （D）190a2980a3970a50a2在等差数列 中, 716, 4,则 12的值是（ ）nA15； B30； C31； D643在等差数列 中, ,则 的值为（ ）na,mnamn（A） （B） C） （D）0)(2)(24.在等差数列 中,若 , ,则 的n14739583a69a值为（ ）（A）
7、30 （B）27 （C）24 （D）215 与 的等差中 项为lg(3)l()A0 B C D132glg(26)6设 数列 、 都是等差数列 ,且 ,则nab1125,7,0aba等于（ ） A0 B37 C100 D37377 等差数列 中, ,则 等于（ ）n345674028A45 B75 C180 D3008若 1x, , 2x是一个等差数列的连续三项,则 x = .9. 等差数列 ,已知 ,则 _.na3103a58a10. 等差数列 中,若 , ,则 124691012a11. 已知数列 是等差数列,若 ,求 .n591373512. 在等差数列 中,若 + =9, =7, 求
8、, .a164a13. 等差数列 中,若 , ,求 的通项公式.na38132a3812an考点四：等差数列的前 n 项和1. 等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为 125，求其第6 项2.已知等差数列a n中，S 3=21，S6=64，求数列|a n|的前 n 项和 Tn解 dada=21b5411设 公 差 为 ， 由 公 式 得 ()2解方程得：d2，a 19a n9(n1)(n 2)2n由 得 ， 故 数 列 的 前 项 为 正 ，0 .5a5n n其余各项为负数列a n的前 n 项和为：S(2)=10n 2 当 n5 时，T nn 210n当 n6 时，T
9、 nS 5|S nS 5|S 5(S nS 5)2S 5S nTn2(2550)(n 210n) n210n50考点五：等差数列的综合问题1. 在 中,若 成等差数列,且三个内角 也ABCCBsilg,il,silg CBA,成等差数列,试判断三角形的形状.三、高考真题测试1.（2010 全国等差数列 na中， 34512a，那么 127.a（ ）（A）14 （B）21 （C）28 （D）6.2.（2010 安徽文）设数列 n的前 n 项和 2S，则 8的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643.（2010 重庆）在等差数列 na中， 190，则 5a的值为（A）5 （
10、B）6 （C）8 （D）104.2010 辽宁设 nS为等差数列 n的前 项和，若 3624S， ，则 9a 。5.（2010 重庆文）已知 a是首项为 19，公差为-2 的等差数列， n为 的前 项和，求通项 n及 ；6.（2010 北京文）已知 |na为等差数列，且 36a， 0。（）求 |na的通项公式；（）若等差数列 b满足 18， 2123b，求 |b的前 n 项和公式7.(2009 安徽卷文）已知 为等差数列， ，则 等于（ ）A. -1 B. 1 C. 3 D.78.（2009 湖南卷文）设 nS是等差数列 na的前 n 项和，已知 2a， 61，则7S等于( ) A13 B35
11、 C49 D 63 9.（2009 福建卷理）等差数列 n的前 n 项和为 nS，且 3 =6， 1=4， 则公差 d 等于（ ）A1 B 53 C.- 2 D 310.（2009 辽宁）已知 na为等差数列，且 7a2 41, 3a0,则公差 d（ ） A.2 B. 12 C. D.211.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 n 项和为 nS，已知210mma， 2138S,则 m（ ）A.38 B.20 C.10 D.9 12.（2009 全国卷理） 设等差数列 n的前 项和为 n，若 972S,则249= 13.（2009 全国卷理）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 53
12、a则 5 14.（2009 辽宁卷理）等差数列 的前 项和为 ，且 6,则 4 15.（2009 全国卷文）已知等差数列 n中， 0,16473求 na前 n 项和 s. 16.（2008 天津）若等差数列 na的前 5 项和 2S，且 a，则 7( )A.12 B.13 C.14 D.1517.（2008 陕西）已知 n是等差数列， 124， 78，则该数列前 10项和 10S等于（ ）A64 B100 C110 D12018.（2008 广东）记等差数列 na的前 项和为 nS，若 1a， 420，则 6S（ ）A16 B24 C36 D4819.（2007 安徽）等差数列 n的前 项和为
13、 x若 则 432,（ ）A12 B10 C8 D620.（2007 辽宁）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 39， 6S，则789a（ ）A63 B45 C36 D2721.(2007 湖北) 已知两个等差数列 n和 b的前 项和分别为 A n和 B，且453nAB，则使得 nab为整数的正整数 的个数是（ ）A2 B3 C4 D522.(2007 四川) 等差数列a n中，a 1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）A9 B10 C11 D1223.（05福建）已知等差数列 n中， 12497,6a则的值是（ ）A15 B30C31D6424.（2008 四川）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 450,，则 4的最大值为_.25.（2008 重庆)设 Sn=是等差数列a n的前 n 项和，a 12=-8,S9=-9,则 S16= .26.（2007 江西）已知等差数列 的前 项和为 n，若 12，则2581a27.（2007 北京）若数列 na的前 项和 20(3)nS， ， ， ，则此数列的通项公式为 ；数列 中数值最小的项是第 项
