1、3.2 多元线性回归模型的估计,估计方法：OLS、ML或者MM,一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题六、估计实例,一、普通最小二乘估计,对于随机抽取的n组观测值,如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：,i=1,2n,根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解,其中,于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：,正规方程组的矩阵形式,即,由于XX满秩，故有,将上述过程用矩阵表示如下：,即求解方程组：,得到：,于是：,例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，,可求得,于是,正规方程组 的另一种写法,对于正规方程组,于是,或
2、,(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法,(*),(*),样本回归函数的离差形式,i=1,2n,其矩阵形式为,其中 ：,在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为,随机误差项的方差的无偏估计,可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为,*二、最大或然估计,对于多元线性回归模型,易知,Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率,即为变量Y的或然函数,对数或然函数为,对对数或然函数求极大值，也就是对,求极小值。,因此，参数的最大或然估计为,结果与参数的普通最小二乘估计相同,*三、矩估计（Moment Method, MM）,OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组,并对它进行求解而
3、完成的。,该正规方程组 可以从另外一种思路来导:,求期望 :,称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。,由此得到正规方程组,解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。,矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础,在矩方法中关键是利用了E(X)=0,如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1方程的矩条件。这就是G
4、MM。,四、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。,同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。,1、线性性,其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量,2、无偏性,这里利用了假设: E(X)=0,3、有效性（最小方差性）,其中利用了,和,五、样本容量问题,所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。, 最小样本容量,样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1,2、满足基本要求的样本容量,从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时, t分布较为稳定,一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。,模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明,六、多元线性回归模型的参数估计实例,例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。,解释变量：人均GDP：GDPP前期消费：CONSP(-1),估计区间：19792000年,Eviews软件估计结果,
