1、19 三角函数的简单应用内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)知识点 1 利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图” ；(2)观察“散点图” ，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需
2、要具体情况具体分析【预习评价】 求下列函数的周期(1)y Asin(x ) ( 0)的周期是 T ；2| |(2)y Acos(x ) ( 0)的周期是 T ；2| |(3)y Atan(x ) ( 0)的周期是 T .| |知识点 2 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数 y Asin(x )来表示运动的位移 y 随时间 x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T 称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；2(3)f 称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数1T 2【预
3、习评价】在函数 y Asin(x ) b(A0， 0)中， A， b 与函数的最值有何关系？提示 A， b 与函数的最大值 ymax，最小值 ymin关系如下：(1)ymax A b， ymin A b；(2)A ， b .ymax ymin2 ymax ymin22题型一 已知解析式求周期最值【例 1】 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E220 sin3来表示，求：(100 t 6)(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解 (1)当 t0 时， E110 (V)3即开始时的电压为 110 V.3(2)T
4、(s)，即时间间隔为 0.02 s.2100 150(3)电压的最大值为 220 V.3当 100 t ，即 t s 时第一次取得最大值 6 2 1300规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键【训练 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系为 s6sin .(2 t 6)(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？解 (1)图略
5、(2)当 t0 时，s6sin 6 3，即 6 12单摆开始摆动时，离开平衡位置 3 cm.(3)s6sin 的振幅为 6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置 6 cm.(2 t 6)(4)s6sin 的周期为 1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是 1 s.(2 t 6)题型二 已知模型求解析式【例 2】 如图所示，表示电流 I 与时间 t 的关系式： I Asin(t )( A0， 0)在一个周期内的图像根据图像写出 I Asin(t )的解析式3解 由图像可知 A300，又 T2 ， 100.1150 ( 1300) 150 2T又 t 时， t 0，1300100( ) 0 即 ，13
6、00 3 I300sin .(100 t 3)规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“ y Asin(x ) B”中 A， ， ， B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键【训练 2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为_解析 设该振子振动的函数解析式为 y Asin(x )，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是 t 轴，振幅 A 为 2，周期 T2(0.50.1)0.8，所以 ，20.8 52则 y2sin .(52x )将点(0.1,2)代入，得 . 4故该振子振动的函数解析式为 y2sin .(5
7、2x 4)答案 y2sin (52x 4)【例 3】 据市场调查，某种商品一年中 12 个月的价格与月份的关系可以近似地用函数4f(x) Asin(x )7 来表示( x 为月份)，已知 3 月份达到最(A 0， 0， | | 2)高价 9 万元，7 月份价格最低，为 5 万元，则国庆节期间的价格约为( )A4.2 万元 B5.6 万元C7 万元 D8.4 万元解析 由题知 A2， T2(73)8， ， . 4 4 f(x)2sin 7，( 4x 4)把 x10 代入得 y7 8.4 万元2答案 D【迁移 1】 例 3 改为问：在一年内商品价格不低于 8 万元的时间持续多长？解 由 f(x)2
8、sin 78 易知有 5 个月的时间满足条件( 4x 4)【迁移 2】 例 3 中当价格低于 7 万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？解 由 2sin 77 得 5 x9，所以应该在 5 月份开始加班，直到 9 月份加班结( 4x 4)束规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图课堂达标1一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间 t(s)的函数关系式是 s3cos ，其中 g 是重力加速度，当小球摆动(glt 3)的周期是 1 s 时，线长 l 等于( )A. B. C. D.g g2 g 2 g4
9、2解析 T ，所以， 2，则 l .2 gl gl 2T g4 2答案 D52.函数 f(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )A f(x) xsin xB f(x)cos xxC f(x) xcos xD f(x) x (x 2) (x 32)解析 观察图像知，函数为奇函数，排除 D；又函数在 x0 处有定义，排除 B；令x ， f 0，A 不合适，故选 C. 2 ( 2)答案 C3.如图所示，一个单摆以 OA 为始边， OB 为终边的角 ( )与时间 t(s)满足函数关系式 sin ，则当 t0 时，角 的大小及单摆频率是_12 (2t 2)解析 t0 时， sin ，由
10、函数解析式知单摆周期 T ，频率为 .12 2 12 22 1答案 14某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y a Acos(x1,2,3，12， A0)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28， 6 x 6 12 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_.解析 由题意得Error! Error! y235cos ， 6 x 6 当 x10 时， y235 20.5.(12)答案 20.55如图所示，一个摩天轮半径为 10 m，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P
11、处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时6(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m.解 (1)设在 t s 时，摩天轮上某人在高 h m 处这时此人所转过的角为 t t，故230 15在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h10sin t12( t0)15(2)由 10sin t1217，得 sin t ，则 t . 15 15 12 52 252故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.课堂小结1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运
12、动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.基础过关1如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 周期后，乙的位置将12移至( )A甲 B乙C丙 D丁解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选 C.答案 C2电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I Asin(t )(A0， 0,00)， f( ) f( )，且 f(x)在区间( ， )上有最小值， 3
13、 6 3 6 3无最大值，则 _.解析 依题意， x 时， y 有最小值， 6 32 4sin( )1， 4 3 2 k (kZ) 4 3 32 8 k (kZ)，因为 f(x)在区间( ， )上有最小值，无最大值，所以143 6 311 1 时才可对冲浪者开放， cos t11，12 6cos t0，2 k t2k ， kZ， 6 2 6 2即 12k3 t12k3， kZ.0 t24，故可令中 k 分别为 0,1,2，得 0 t3 或 9t15 或 21t24.在规定时间上午 800 至晚上 2000 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午900 至下午 300.13(选做题)如图
14、，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间12(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角 是以 Ox 为始边， OP0为终边的( 2 0)角OP 每秒钟内所转过的角为 .5260 6则 OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t. 6由题意可知水轮逆时针转动，得 z4sin 2.( 6t )当 t0 时， z0，得 sin ，即 .12 6故所求的函数关系式为 z4sin 2.( 6t 6)(2)令 z4sin 26，( 6t 6)得 sin 1，令 t ，得 t4，( 6t 6) 6 6 2故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s
