1、第八章 轴向拉伸与压缩,基本内容：,（1）拉伸压缩时杆件的内力、截面上应力；,（2）材料拉伸压缩时力学性能；,（3）杆件拉伸压缩时强度计算；,（4）杆件拉伸压缩时变形与结构位移计算；,（5）杆件拉伸压缩时变形能及其计算；,（6）杆件拉伸压缩时静不定问题计算；,（7）温度应力与装配应力简介；,（8）应力集中概念；,8.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例,1. 受力特征,杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合,2. 变形特征,沿轴线方向的伸长与缩短,3. 简化力学模型,8.2 拉伸或压缩时的内力,一、内力,由杆件在水平方向的平衡，有,N 的作用线必与轴线重合,求轴力 N 时，规定拉为正，压为负。, 轴力
2、,二、轴力求解与轴力图,以轴力 N 为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件沿轴线方向轴力的变化曲线 轴力图,例：,图示杆件，沿轴线方向的作用力为：P1=2.5kN，P2=4kN，P3=1.5kN。试求AC、CB段的内力，并作出其轴力图。,解：,由截面法求解,(1) 11 截面,（受拉）,(2) 22 截面,（受压）,(3) 轴力图, 选定一坐标系：,纵坐标 轴力N,横坐标 截面位置x, 拉压杆件的内力图, 在坐标系标出各截面的轴力值，画出轴力随截面位置的变化曲线。,注意：,假设轴力方向时，,将其假设成受拉，由N的正负判断其拉压性质。,例：,图示悬臂杆，沿轴线方向的作用力为：FB=40kN， FC =
3、55kN， FD =25kN， FE =20kN 。试求图示指定截面的内力，并作出其轴力图。,解：,先求约束反力,求指定截面的轴力,截面1-1：,截面2-2：,截面3-3：,截面4-4：,作轴力图,说明：,（1）截面法求轴力，截面不取在力的作用点位置；,（2）轴力的值等于截面任一侧轴向外力的代数和；,（3）轴力 N 都假设受拉。,例：,图示杆件。杆材料的比重为（N/m3），截面积为A；杆端作用一集中力P。杆长为 l 。试求作出其轴力图。,解：,假想用截面 m-m 将杆截成两部分；,取下半部分分析；,由下半部分平衡：,P,8.3 拉伸或压缩时截面上的应力,（1）变形现象观察与分析,杆件表面：,纵
4、向纤维均匀伸长,横向线段仍为直线，且垂直于杆轴线；,推断：内部纵向纤维也均匀伸长，横截面上各点沿轴向变形相同。,（2）平面假设,拉伸压缩杆件变形前后，各截面仍保持平面。,横截面上每根纤维所受的内力相等 横截面上应力均匀分布。,（3）横截面上的应力,横截面上应力的合力 等于截面上的轴力N,由于横截面上应力均匀分布，所以有,N 截面上的轴力；,A 横截面的面。, 横截面上的正应力。,说明：,（1）适用于杆件压缩的情形；,（2）不适用于集中力的作用点处；,（3）当N=N(x)，A=A(x)时，,(8.1),（4）斜截面上的应力,斜截面的面积,斜截面上的应力,将斜截面上的应力分解为,斜截面上的正应力；
5、,斜截面上的切应力。,讨论：,例：,图示阶梯形杆。轴向作用力 F1= 20kN，F2=10kN，F3 = 20kN；各段的横截面积为 A1 = 200 mm2，A2=300mm2，A3=400mm2。求各截面上的应力。,解：,（1）用截面法求各截面的内力（轴力）,截面1-1：,截面2-2：,截面3-3：,（2）作出轴力图,（3）计算各截面应力,截面1-1：,截面2-2：,截面3-3：,（压应力）,（压应力）,（拉应力）,例：,图示结构。钢杆1为圆形截面，直径 d=16mm；木杆2为正方形截面，面积为 100100 mm2 ；重物的重量 P =40kN。尺寸如图。求两杆的应力。,解：,（1）求两
6、杆的轴力,用截面 m-m 截结构，取一部分研究,由平衡条件，有,（2）求两杆的应力,（拉应力）,（压应力）,8.4 材料拉伸时的力学性能,一、概述,材料的力学性能：,指材料在外力的作用下，其变形、破坏等方面的力学特性。, 材料的力学性能需用由实验测定。,常温静载试验：,在室内温度（20）下，以缓慢平稳的加载方式进行的试验。, 是测定材料力学性能的基本试验。,试件：,形状：,圆形截面；,矩形截面；,标准试件的比例尺寸：,圆形截面试件,长试件：,短试件：,矩形截面试件,长试件：,短试件：,l 试件的工作段长度，称为标距。,A 矩形试件截面积。,试验设备：,液压万能试验机或电子万能试验机（加载）；,
7、位移引伸仪（计） 记录变形,二、低碳钢拉伸时的力学性能,试验过程：,将试件两端装在试验机的上下夹头中，对试件缓慢施加拉力P，同时在试件安装一引伸仪，量测试件在标距段的变形l ，画P l 曲线，称为拉伸图。,拉伸图：,P l 曲线,应力应变曲线：,其中：,A 试件原始的截面积,l 试件原始标距段长度,低碳钢拉伸曲线的四个阶段：,（1）弹性阶段（Ob段）,变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复,Oa段：, 直线段，应力应变成线性关系。, 材料的弹性模量,称为Hooke定律,b, 直线段的最大应力，称为比例极限；, 弹性阶段的最大应力，称为弹性极限。,一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：,（2
8、）屈服阶段（bc段）,屈服阶段的特点：应力变化很小，变形增加很快，卸载后变形不能完全恢复。, 屈服阶段应力的最小值，称为屈服极限；,重要现象：应力在试件表面出现与轴线成45的滑移线。,屈服极限 是衡量材料强度的重要指标；,低碳钢：,（3）强化阶段（ce段）,特点：,要继续增加变形，须增加拉力，材料恢复了抵抗变形的能力。, 强化阶段应力的最大值，称为强度极限；, 是衡量材料强度另一重要指标。,低碳钢：,卸载定律：,在强化阶段某一点d 卸载，卸载过程应力应变曲线为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。,冷作硬化现象：,在强化阶段某一点d 卸载后，短时间内再加载，其比例极限提高，而塑性变形降低。,
9、（4）局部变形阶段（ce段）,特点：,名义应力下降，变形限于某一局部，出现颈缩现象，最后在颈缩处拉断。,低碳钢的强度指标与塑性指标：,强度指标：, 屈服极限；, 强度极限；,塑性指标：,设试件拉断后的标距段长度为l1，用百分比表示试件内残余变形（塑性变形）为,(8.6), 称为材料的伸长率或延伸率；,是衡量材料塑性能的重要指标；,塑性材料：,脆性材料：,低碳钢：,典型的塑性材料。,设试件原始截面的面积为A，拉断后颈缩处的最小面积为A1，用百分比表示的比值,(8.7), 称为断面收缩率；,也是衡量材料塑性能的指标；,塑性指标,伸长率或延伸率；,断面收缩率。,三、其他塑性材料拉伸时的力学性能,（1
10、）不一定能呈现齐全的四个阶段；,（2）变形初始阶段均有明显的线弹性关系。,对于无明显屈服平台的材料，工程上以塑性变形为0.2%时的应力，作为其屈服极限。,四、铸铁拉伸时的力学性能,（1）没有明显的直线段，拉断时的应力较低；,（2）没有屈服阶段和颈缩现象；,（3）拉断前应变很小，伸长率很小；, 典型的脆性材料,铸铁：只有强度极限b,（4）断口为与横截面一致的平断面。,五、 材料压缩时的力学性能,1、试件,圆形试件（金属）：,立方体试件：,（石料、混凝土等）,2、低碳钢的压缩试验,（1）弹性模量 E 与屈服极限s与拉伸时基本相同；,（2）没有强度极限b 。, 低碳钢压缩时的主要性能与拉伸时相近。,
11、3、铸铁的压缩试验,（1）在较小的变形下突然破坏；,（2）破坏断面：与轴线大致成4555倾角；,（3）抗压强度极限bc比抗拉强度极限bt高得多；,（对低碳钢，一般不必做压缩试验。）,（4）也有明显的塑性变形；,附： 材料力学性能小结,（1）,比例极限（弹性极限）：,（2）,弹性模量：E,Hooke定律：,弹性模量的单位：,（3）,材料的强度指标：,塑性材料：,屈服极限,强度极限,脆性材料：,只有强度极限, 抗拉强度极限, 抗压强度极限,（4）,材料的塑性指标：,伸长率或延伸率：,断面收缩率：,材料的分类,塑性材料,脆性材料,（5）,其它,屈服阶段的滑移线；,卸载规律；,冷作硬化现象；,典型材料
12、试件断口形状；,第七次作业:,7-3(notice), 8-2, 8-3, 8-5, 8-7, 8-9, 8-10,通知: 各班课代表请到理学院二层力学实验中心找关祥慧或李志坚老师联系材料力学实验, 本周做最好. 联系电话: 83591599,8.5 应力集中的概念,一、应力集中概念,由于截面突变，出现局部区域应力突然增大的现象,如：孔洞、沟槽、台阶、螺纹等地方。,离孔洞等较远地方，应力仍为均匀分布。,二、应力集中系数,（8.8）, 称为应力集中,其中：,max 局部最大应力；, 截面平均应力（或无孔洞时的应力）；,K 应力集中系数；, 反映局部应力集中程度的量；,影响K 的 因素：,局部突然
13、变化的程度。,如：角越尖、槽越锐，则应力集中程度越高。,应力集中系数K 的 获取：,由弹性力学、塑性力学理论分析求得；,由实验测定；,由有关工程手册查得。,三、具有应力集中构件的强度计算,可通过降低许用应力 的办法，转化为一般强度问题的计算。也可进一步分析，提供其更准确的结果。,四、不同材料对应力集中的敏感性,塑性材料：,脆性材料：,对应力集中的敏感程度不强，有时不计其影响；,对应力集中的敏感程度强，危害严重，必须考虑。,8.6 失效、安全系数和强度计算,一、失效的概念,失效 构件不能正常工作,失效的原因：,（1）构件材料的强度不够；,如：断裂、由于塑性变形不能保持构件应有的形状与尺寸等。,（
14、2）构件刚度不够；,如：车床的主轴由于变形过大，影响加工精度等。,（3）构件的稳定性不够；,如：细长受压杆件被压弯，不能保持原有的直线平衡形式等。,（4）其它。,如：载荷作用方式：冲击、交变载荷等；工作环境：高温、腐蚀等引起的。,二、安全系数与许用应力,塑性材料：, 构件中最大的工作应力,脆性材料：,构件正常工作要求,结合其他不安全因素：,材料的不均匀；,s、b测得不准确；,载荷估计误差；,构件结构尺寸、受力的简化、计算公式的近似性；,加工工艺对构件强度影响（焊接、热处理等）；,其他偶然因素：地震、风载、湿度变化、腐等。,上述不安全因素要求工作应力限制在比 s（b ）更低的范围，将s（b ）打
15、一折扣，即将s（b ） 除以一个大于 1 的系数 n ，这个系数称为安全系(因)数。,将s（b ） 除以安全系数 n 得到的应力 许用应力,对塑性材料：,对脆性材料：,ns、nb分别对应于屈服破坏和脆性断裂破坏的安全系数。,一般地，,静载、轧件、锻造件；,静载、铸件；,一般钢材；,铸件；,脆性材料：,塑性材料：,安全系数与结构工况的关系：,土木结构中的金属件、静载（A3钢）：,起重机结构（A3钢）：,螺栓、钢丝绳（A3钢）：,载人：,三、强度条件与强度计算,1. 强度条件,(2.8),其中：,N 轴力；,A 横截面积；, 材料的许用应力。,说明：,对等截面杆，应取,截面来计算；,对轴力不变的杆
16、件，应按最小截面（A=Amax）设计计算。, 按危险截面设计计算。,2. 强度计算的三类问题,（1）强度校核,（2）截面设计,（3）确定许用载荷,（结构承载能力计算）,则结构安全、强度足够。,则结构不安全，需改进设计。,例：,图示结构，ABCD为刚体，受力及尺寸如图。各杆均由四根相同的等边角钢组成：,杆1的四根角钢型号：,杆2的四根角钢型号：,杆3的四根角钢型号：,试校核该结构的强度。,解：,（1）先求各杆的轴力（截面法）,（2）计算各杆的应力，并与比较,由型钢表查得：,综合上述情况：,该结构强度不够。,（3）改进设计,若将杆2改用等边角钢的型号：,杆2截面积：,整个结构满足强度要求。,例：,
17、图为油缸示意图。缸盖与缸体用6个螺栓相联接。已知油缸内径为D =350mm，油压 p=1MPa。若螺栓材料的许用应力为=40MPa，试求螺栓的直径。,解：,先求每个螺栓的轴力：,缸盖上承受的总压力为,每个螺栓承受的轴力,设每个螺栓直径为d，由强度条件,由此可得，螺栓直径为d,可取螺栓直径为d为,例：,图示结构。钢杆1为圆形截面，直径 d=16mm， 1=150MPa ；木杆2为正方形截面，面积为 100100 mm2 ，2=4.5MPa ；尺寸如图。求节点 B 处所能起吊的最大载荷P。,解：,（1）求两杆的轴力（用 P 表示）,用截面 m-m 截结构，取一部分研究,由平衡条件，有,（2）求许用
18、载荷 Pmax,（拉力）,（压力）,对杆1：,对杆2：,比较P1、P2的大小，应取许可载荷为,8.7 胡克定律 轴向拉伸或压缩的变形,拉、压杆件的变形,纵向变形：,横向变形：,沿轴线方向变形,横向尺寸变化,一、纵向变形、胡克定律,纵向变形, 纵向伸缩量, 绝对伸缩量,胡克定律,伸缩量与轴力之间的关系,由材料的拉伸试验，在弹性阶段有, 应力应变表示的胡克定律，,E 材料的弹性模量。,（a）,（b）,将式（a）和（b）代入，有,（8.16）, 变形和载荷表示的胡克定律,表明：,式（8.16）即为纵向变形的计算公式。,说明：,EA, 杆件的抗拉刚度,（1）只适用于材料 处于线弹性阶段，即,有, k
19、相当弹簧的刚度系数,（2）,（3）,对变轴力、变截面（锥度不太大）的杆，,微段 dx 的变形近似表示为：,整个杆的变形为：,二、横向变形、泊松比,横向变形：,横向应变：,横向应变与纵向变形的关系：, 称为横向变形系数或泊松比, 和E ，是各同性材料的两个弹性常数；由实验测定。,是一个无量纲的量。,泊松比,当应力不超过比例极限时，有,（8.18）,可由纵向应力计算横向应变 或变形,例：,图示等直杆，材料为钢材，截面积为A = 500 mm2；弹性模量200GPa，泊松比0.3，受力及尺寸如图。求：,（1）杆的总变形；,（2）杆的横向应变。,解：,计算各段的轴力，作出轴力图。,由式（2.10）计算
20、杆的变形：,计算杆的应变：,例：,简单托架如图，AB 杆为钢板条，截面积为300mm2，AC 杆为10号槽钢，P =65kN，材料的弹性模量均为E =200GPa。几何尺寸如图。求节点 A 的位移。,解：,先求两杆的轴力：,求两杆的变形：,杆1：,（受拉）,（受压）,杆2：,（伸长）,（缩短）,求节点A的位移：,水平位移：,铅垂位移：,A点位移：,8.8 拉伸、压缩静不定问题,一、静定与静不定概念,能由静力平衡方程求出全部未知量的问题 称为静定问题,系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数,不能由静力平衡方程求出全部未知量的问题 称为静不定问题,系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数,静
21、不定的次数：,系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数=多余未知量数,如：,一次超静定，具有一个多余未知力。,具有二个多余未知力，为二次超静定。,二、静不定问题的求解,思路：,根据系统超静定的次数，由变形几何关系，寻求补充方程。然后，与平衡方程联立求解。,例：,图示超静定三杆桁架。已知：E1=E2，A1=A2，E3，A3，P。求各杆的受力。,解：,（1）建立系统的平衡方程；（以节点A为研究对象）,（1）,（2）,（2）建立变形几何方程,由对称性（几何、材料、载荷），,（3）, 变形协调方程,（3）建立变形与轴力的关系方程, 物理方程, Hooke 定律,（4）,（4）由变形协调方程和物理方程
22、，得出静力补充方程,将式（4）代入（3）得,（5）,联立求解平衡方程（1）、（2）与补充方程（5），得,解题步骤小结：,（1）建立系统的平衡方程,（2）建立变形协调方程,（3）建立物理方程, 静力补充方程,（4）联立求解平衡方程和补充方程,讨论：,对静定结构：,约束反力与杆件的材料，抗拉刚度无关；,对静不定结构：,约束反力与杆件的材料，抗拉刚度有关，且按刚度分配。,例：,图示两端固定等直杆AB，在截面 C 处沿轴线方向作用一集中力P，试求两端的反力。,解：,（1）建立系统的平衡方程,（1）, 共线力系，只有一个平衡方程。,（2）建立变形协调方程,1,2,设AC 段的变形为l1 ， BC 段的变
23、形为l2，应有,（2）,（3）建立物理方程,由Hooke定律，得,（3）,（4）建立补充方程,将式（3）代入（2），得,（4）,联立求解方程（1）和（4），得,例：,图示结构，AB为刚性杆，杆和杆 的抗拉刚度分别为E1A1、E2A2，长度均为 l ，求：两杆的拉力。,解：,取刚性杆AB为研究对象，建立平衡方程；, 一次静不定问题,（1）,（2）,（3）,建立变形协调方程；,（4）,物理方程：,（5）,由方程（4）、（5），得：,（6）,由方程（3）、（6），求得：,当E1=E2，A1=A2时，有,例：,图示结构，AE为刚性杆，杆、杆 和杆的抗拉刚度分别为E1A1、 E2A2 、 E3A3 ，长
24、度均为 l ，求：各杆的拉力。,解：,建立平衡方程；,（1）,（2）,（3）, 二次静不定问题,建立变形协调方程；,（4）,（5）, 两个变形协调方程,建立物理方程；,（6）,将式（6）代入（4）、（5），得,（7）,（8）, 两个补充方程,联立求解上述5个方程，可得所有未知力。,当3个杆抗拉刚度相等时，有,8.9 剪切和挤压的实用计算,一、剪切的实用计算,1. 剪切的概念,（1） 受力特点,作用于构件某截面两侧横向外力的合力大小相等，方向相反，作用线相距很近。,（2） 变形特点,两力间的横截面发生相对错动。,（3） 力学模型, 这种变形称为剪切变形。,发生相对错动的截面 称为剪切面。,2.
25、实用计算,受剪切构件强度精确分析的困难性：,（1）构件在剪切面处的变形，除主要变形为剪切变形外，还伴有弯曲、拉伸或压缩等变形。,（2）难以了解并假定剪切面上各点的变形，进而难以假定剪切面上的应力分布规律。,（1）剪切的内力,由平衡得：,（单面剪切）,（双面剪切）,（2）剪切应力,剪切的实用计算中假定：,剪切面上的应力是均匀分布的,（8.20）, 剪切面上的剪力；, 剪切面的面积；, 名义剪切应力（或称切应力、平均切应力）。,（3）剪切的强度条件及强度计算,设材料的许用剪切应力为,则剪切的强度条件为,（8.21）, 由实验测定；,与,的关系：,对塑性材料：,对脆性材料：,剪切强度计算的三类问题：
26、,剪切强度校核：,截面设计：,许用载荷计算：,例：,厚度为t=5mm，的钢板，已知其极限切应力为u= 350MPa。若用冲床将钢板冲出 d =25mm的圆孔，试问需要多大的冲压力P。,解：,确定剪切面面积,冲孔需要的冲压力P,二、挤压的实用计算,1. 挤压的概念,受剪切的构件，在外力作用下，由外力作用的面较小，引起较大的压应力，造成相互作用面处挤压破坏。,（塑性变形或压碎）, 挤压强度计算,受挤压的面 挤压面,挤压面 上作用力的合力 挤压力,挤压面 上的应力 挤压应力(接触应力),2. 挤压应力,挤压面 上的应力 的分布：,受压圆柱面上挤压应力最大值在中间, 经研究其大小为,P 挤压面 上的挤
27、压力；,A bs 挤压面 的计算面积。,P 挤压面 上的挤压力；,A bs 挤压面 的面积；,关于 挤压 面积 A bs 计算的说明：,（1） 挤压面 为平面的情形：, A bs为实际 挤压面 的面积；,（2） 挤压面 为曲面的情形：, A bs为 挤压力方向的正投影面 的面积；, bs 挤压应力。,3. 挤压强度条件,设材料的许用挤压应力为,构件正常工作的条件：, 挤压强度条件, 由实验测定或由有关设计手册查得。,塑性材料：,脆性材料：,说明：,（1）对两个不同材料的构件互相挤压，,则按挤压强度低的构件作挤压强度校核。,（2）注意挤压面的确定。,例：,拖车的挂钩由插销与板件联接，如图所示。插
28、销的材料为20号钢，=30MPa，bs=100MPa，直径d=20mm，厚度t =8mm，P =15kN。试校核插销的强度。,解：,（1）插销的剪切强度：,剪力：, 双面剪切,剪切面积：,剪应力：, 插销的剪切强度足够。,（2）插销的挤压强度：,确定挤压面与挤压力：,挤压面积：,挤压应力：, 插销的挤压强度足够。,综合上述分析， 插销的强度足够。,例：,一铆钉接头如图。板和铆钉用同一材料组成，其=120MPa，=80MPa，bs=200MPa，铆钉直径d=18mm，板厚t =10mm，板宽b =80mm ，P =70kN。试校核接头部分的强度。,解：,（1）校核铆钉的剪切强度：,假设每个铆钉的
29、受力相同，,每个铆钉的剪力为：,铆钉的剪切面积：,铆钉的剪应力：,（2）校核铆钉和板的挤压强度：,每个铆钉的挤压力为：,挤压面积：,铆钉的挤压应力：,板的挤压强度同铆钉情形。,（3）校核板的抗拉强度：,板的轴力分布如图,可能危险截面：m m，n n,截面m m：,截面n n：,综合上述分析，接头的强度足够。,例：,两矩形截面木杆用钢板连接如图，已知： P = 60 kN， b =150 mm ，在顺木纹方向 =10 MPa，=1 MPa，bs =10 MPa 。试求木杆在接头处的尺寸t 、l 、h 。,解：,木杆剪切面上剪力：,剪切面积：,剪应力：,木杆挤压面上挤压力：,挤压面积：,挤压应力：,木杆的正应力强度：,木杆的剪应力强度：,木杆的挤压强度：,第八次作业:,8-11(参考136页), 8-19, 8-21, 8-22, 8-25, 8-26, 8-30, 8-31,
