1、1第 4 讲 平行线学习目标1.理解平行线概念，了解平行于同一条直线的两条直线平行2.掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.掌握利用同位角、内错角和同旁内角判定两直线平行的方法4.掌握平行线的性质定理，知道由两直线平行，可以得出同位角相等、内错角相等和同旁内角互补考情分析平行线是研究三角形、四边形和圆的重要概念，也是中考高频考点之一中考试卷对这部分知识的考查重点落在平行线判定和性质的计算问题常以填空或选择的性质出现，也可能作为解决几何综合性的重要工具，一般 1 道题左右，难度中等及中等以下，分值在3 分左右基础知识轻松学一、平行线1定义要点：（1）它们必须在同一平面内；（
2、2）它们必须不相交；（3）它们必须都是直线精讲：（1）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行；（2）平行线的定义可用来判定两条直线是否平行只要满足以上三点，就可以说明两直线平行2两直线的位置关系 垂 直相 交在 同 一 平 面 内 斜 交两 直 线 的 位 置 关 系 平 行不 在 同 一 平 面 内 ： 异 面二、平行线公理及其推论1经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线2如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也平行符号表示：已知 ac，bc ，那么 ab三、利用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行1同位角相等，两直线平行2图 4-1ABCDFEGH图 4
3、-21432A BDCEF符号语言：12（已知） ，ABCD（同位角相等，两直线平行） 2内错角相等，两直线平行符号语言：23（已知） ，ABCD（内错角相等，两直线平行）3同旁内角互补，两直线平行符号语言：24180（已知） ，ABCD（同旁内角互补，两直线平行）精讲：（1） “同位角相等，两直线平行”是“ 同位角相等两直线平行 ”，这个顺序不能乱（2） “同位角相等，两直线平行”和“ 内错角相等，两直线平行 ”都是由一对同位角或内错角相等得出两直线平行这一结论，从而建立起“角度相等”与“两直线平行”之间的联系（3） “同位角相等” 和“ 内错角相等 ”指的是当同位角（内错角）相等时，不要误
4、以为同位角（内错角）都相等（4） “同旁内角互补，两直线平行”不要写成“ 同旁内角相等，两直线平行4垂直于同一条直线的两直线互相平行符号语言：(如图 4-2)ABEF，CDEF，ABCD精讲：（1）以后已知两条直线垂直于同一条直线，则立即可得出这两直线平行，不必再经过证明同位角相等；（2） “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”必须强调在“同一平面内”，若不在同一平面内，则该结论不一定成立；（3）在下列结论中：ab；ac；bc已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 ab，ac，那么 bc；如果 ab，bc，那么 ac；如果ac，bc，那么 ab四、平行线的性质1两直线平行，同位角
5、相等符号语言：（如图 4-1）ABCD（已知） ，12（两直线平行，同位角相等）2两直线平行，内错角相等符号语言：（如图 4-1）ABCD（已知） ，23（两直线平行，内错角相等）3两直线平行，同旁内角互补符号语言：（如图 4-1）ABCD（已知） ，24180（两直线平行，同旁3内角互补）精讲：平行线的判定与性质的区别与联系定理 条件 结论同位角相等内错角相等平行线的判定同旁内角互补两直线平行同位角相等内错角相等平行线的性质 两直线平行同旁内角互补重难疑点轻松破一、怎么证明平行？尽可能选择与已知条件有联系的角判断两直线平行目前有 6 种方法，方法 1 是利用平行的定义，但利用平行的定义只能定
6、性的判断，不能定量的判断；方法 2 是利用“平行于同一条直线的两条直线互相平行” ，这是讨论三条直线互相平行时用到的；方法 3 是利用同位角相等来证明两直线平行；方法4 是利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”来证明的，使用时必然出现两个垂直；方法 5 是利用内错角相等来证明两直线平行的；方法 6 是利用同旁内角互补来证明两直线平行的方法 1、2、4 的使用都有其局限性，因此证明两直线平行常用的方法是寻找角度之间的关系.例 1：如图 4-3，已知 ADE60，DF 平分ADE，130，求证：DF BE.图 4-31 A D F E C B 分析：要证明 DFBE ，所找的同位角
7、或者内错角要尽可能与已知条件有联系，在本题中要证明 DFBE ，可通过证明1EDF 来实现，由于130，所以我们只需求出EDF30，而这个可通过 DF 是ADE 的平分线来实现证明：DF 平分ADE ，ADE60 （已知）EDFADF 30（角平分线的定义） ，EDF=130 DFBE（内错角相等，两直线平行）点评：要判定两直线平行我们可以通过证明同位角相等或内错角相等来实现，至于是选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能和已知条件有尽可能多的联系.变式练习 1：如图 4-4，ABCADC，BF，DE 分别是ABC，ADC 的角平分线，412，求证 DCAB321FED CBA 图
8、4-4二、两头凑几何证明的常用思路分析法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件能推出什么结论，一直推导出要证明的结论为止综合法：由结论往前推，要证明这个结论成立需要什么样的条件，已知逆推到已知条件为止遇到复杂问题的时候，常常分析法和综合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点例 2：如图 4-5，CE 平分 BCD，1 270 ， 340，AB 和 CD 是否平行？为什么？图 4-5分析：显然 AB 和 CD 是平行的，要说明这两直线为什么平行，可通过寻找同位角、内错角或同旁内角来实现，本题中340，如果能说明D40，那么就能实现目标了，根据“CE 平分BCD”可知BCD140，
9、4270，进一步可得到ADBC ，根据两直线平行，同旁内角互补可得到D 40 答：ABCD理由：CE 平分BCD， 14，1270，4270，ADBC，DBCD 180，BCD140， D40340，3D ，ABCD点评：要说明两直线平行，我们常用的方法还是寻找同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补来实现变式练习 2：如图 4-6，已知直线 a，b，c，d，e，且1 2，34180，则a 与 c 平行吗？为什么？图 4-61 2 3 4 a b c d e 5三、构造三线八角，为两直线平行创造条件添加辅助线是解决几何论证和计算问题的重要方法，它能架起已知与未知之间联系的桥梁，一旦架起这座桥梁，
10、问题往往就可以迎刃而解，然而添加 辅助线并不是件易事，一般都是因题而异，没有固定的规律可循，成为几何学习中的一个难关，难住不少同学.例 3：如图 4-7，若 MNAB，ABC 130 ，FCB 40，试判断直线 MN 与 EF 的位置关系，并说明理由 MNABFCE G MNABFCE1图 4-7 图 4-8 图 4-9 图 4-10分析：本题没有直接判定两直线平行的条件，要说明 MNEF，必须设法构造同位角、内错角和同旁内角，为两直线平行创造条件解法一：过点 B 作 BGMN（如图 4-8） ABMN，BG AB，ABG90，ABC130，GBC40FCB40 ，GBCFCB，BGEF，MN
11、EF解法二：延长 AB 交 EF 于点 G（如图 4-9） ABC130，FCB40，BGC ABCFCB 90，AGEF，AGMN， MNEF解法三：延长 CB 交 MN 于点 G（如图 4-10） MN AB，190， ABC130，NGBABC 140 FCB40，NGBFCB，MNEF点评：本题虽然提供了三种辅助线作法，但其目标是一样的，那就是通过构造两直线被第三条直线所截的基本图形，从而设法利用“同位角相等” 、 “内错角相等” 、 “同旁内角互补”来证明两直线平行变式练习 3：如图 4-11， B BEDD360，试说明 ABCDACDE图 4-11四、汽车拐弯问题汽车拐过两次弯后
12、，行驶的方向与原来相同还是与原来相反的问题，其实可以转化为两直线平行，同位角、内错角和同旁内角的关系来解决例 4：一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则6两次拐弯的角度是（ ）A第一次右拐 50，第二次左拐 130 B第一次左拐 50，第二次右拐 50C第一次左拐 50，第二次左拐 50 D第一次右拐 50，第二次右拐 50分析：如图 4-12，我们可以看出，如果要使得拐弯之后方向和原来方向相同，那么我们必须一次左拐，一次右拐，两次所拐弯的角度一样大 右图 4-12答案：B规律：（1）两次拐弯后方向与原来的方向相同：一次向左拐，一次向右拐，两次拐弯的角度相同；（2
13、）两次拐弯后方向与原来的方向相反：可以是两次左拐或者两次右拐，两次拐弯的角度和为 180；也可以是一次左拐，一次右拐，两次拐弯的角度之差为 180；（3）两次拐弯后方向与原来方向垂直：可以是两次左拐或者两次右拐，两次拐弯的角度之和为 90或 270；也可以一次左拐，一次右拐，两次拐弯的角度之差为 90或270变式练习 4：一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶方向与原来的行驶方向垂直，则两次拐弯的角度不可能是（ ） A第一次右拐 50，第二次左拐 140 B第一次右拐 120，第二次右拐 150C第一次左拐 50，第二次左拐 40 D第一次左拐 50，第二次右拐 50五、角平分线与平行线
14、的组合角平分线、平行线和等腰三角形是一个组合，在同一个图形中，如果同时出现这三个条件中的两个成立，则第三个条件很容易推导得到，这一结论在今后的几何证明中经常被用到例 5：如图 4-13，AD BC，BD 平分ABC，且A110，则D A DCB图 4-13 分析：因为 ADBC，根据两直线平行，同旁内角互补，得A ABC180，因为7A110 ，所以 ABC70，因为 BD 平分ABC，根据角平分线的定义可知DBC ABC35再根据两直线平行内错角相等这一性质可得D DBC3521答案：35点评：本题将平行线的性质与角平分线综合起来考查在解题中注意由“ADBC”、“BD 平分 ABC” 很容易
15、能得到 D ABD，即 ABD 是等腰三角形；反之，由“DABD” 、 “ADBC ”能得到“BD 平分ABC ”；由“BD 平分ABC ”、 “DABD”能得到“AD BC ”变式练习 5：如图 4-14，已知 12，DE 平分BDC ，DE 交 AB 于点 E，试说明AB CD图 4-14六、分情况讨论不可忘例 6：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的大小关系是_分析：如图 4-15，EHG ， EHF，DHG，FHD 的两边都分别平行于AOB，而这四个角，有两个角与AOB 相等，有两个角与AOB 互补AOBEDFGH图 4-15答案：相等或互补点评：本题极有可能漏解，很多同
16、学只得出相等这一种情况，考虑问题不全面变式练习 6：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角的大小关系是_【课时作业轻松练】A基础题组1如图 4-16，直线 ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，155，则2 的度数为（ ）A35 B45 C55 D125 A 1 2 B b a C 38图 4-16 2如图 4-17，已知 ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分 BEF，若150，则 2 等于（ ）A50 B60 C65 D70图 4-17 3对于同一平面内的三条直线，给出下列五个论断：ab，bc，ab，ac， ac ，以其中的两个论断为条件，一个论
17、断为结论，组成一个你认为正确的结论已知_（填序号） ，结论_（填序号）B中档题组4如图 4-18，OPQR ST，则下列等式中正确的是（ ）图 4-18O P S T R Q 3 1 2 A12390 B231180C123180 D1231805如图 4-19，直线 AD 与 AB，CD 相交于 A，D 两点，EC，BF 与 AB，CD 相交于点E，C，B，F ，如果 12，BC，说明AD图 4-19 1 2 D F C A E B H G 6如图 4-20，已知ABC 与ECB 互补，12，P 与Q 一定相等吗？说说你的理由 ABCEDPQ21图 4-20 7如图 4-21，B25，BCD45，CDE30 ，E10求证：ABEF9图 4-21中考试题初体验1 （2013 甘肃白银）如图 4-22，把一块含有 45的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果120，那么 2 的度数是（ ） A15 B20 C25 D30 图 4-22 2 （2013 湖南株洲）如图 4-23，直线 ，点 A，B，C 分别在直线 ， ，1l23l 1l2上.若170 ，250 ，则 ABC 度.3l图 4-23 3 （2013 呼和浩特）如图 4-24，ABCD，1 60，FG 平分EFD，则2 . 图 4-24五、我的错题本A BCDE F
