1、第 1 页 共 7 页来稿时间：2004.9.18 适应范围：数学高分之路 Email:高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一)慕泽刚 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数 f(x)有反函数 f-1(x)，若 f(x)=f-1(x),则我们称 f(x)有不变的反函数，那么下面所给函数中有不变反函数的是( D )A.y=2x B.y=x3 C.y=x2 D.y=1x解析：y=2x 的反函数为 y= x；y=x 3的反函数为 y= ；y=x 2没有反函数；y= 反函数12 3
2、x 1x为 y= ，故选 D.1x2.设 M、P 是两个非空集合，若规定：MP=x|xM 且xP，则 M(MP)等于( B )A.P B.MPC.MP D.M解析：利用韦恩图，图 1表示 MP，图 2表示 M(MP)，所以正确答案是（B）.3.设集合 I=1，2，3，4，5，A 与 B是 I的子集，若 AB=1，2，3，就称集对(A，B)为“好集” ，那么所有“好集”的个数( C )A.7 B.8 C.9 D.10解析：由 AB=1，2，3，知集合 A、B 中都必含有 1，2，3 三个元素，则A=1，2，3或 A=1，2，3，4或 A=1，2，3，5.B=1，2，3或 B=1，2，3，4或 B
3、=1，2，3，5.所有“好集”(A，B)的个数为9个，故选 C.4.在实数集上定义一个运算“*” ，a*b= ,则方程 lgx*lg(x+3)= 的解是( B )a+b2 12A.5 B.2 C.5 或 2 D.5解析：根据运算的定义，得原方程等价于 = ，lgx+lg(x+3)2 12所以 lgx(x+3)=1，x 2+3x10=0，解得 x=5 或 2，经检验 x=2是原方程的解.5.一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数” ，那么函数解析式 y=x2，值域为1，4的“同族函数”共有( B )A.10个 B.9个 C.8个 D.7个解析：由 x2=1或
4、x2=4，得 x=1或 x=2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、图甲 图乙第 2 页 共 7 页1，1，2、1，1，2、1，1，2，2共有 9种，故选 B.6.等比数列a n中，a 1=512，公比 q= ，用 n表示它的前 n项之积： n=a1a2a3an，12则 1， 2，中最大的是( B )A. 8 B. 9 C. 10 D. 11解析：要使 n=a1a2a3an最大，必须 an1，a n+21 且 n 为奇数，即 512( )n 11，512( )n+11，8n10，n=9，故选 B.12 127.对于正数 和 ，其中 ，定义
5、 nm!=(nm)(n2m)(n3m)(nkm)，其m中 k 是满足 nkm 的最大整数，则 = .184!184!206! 152A. B. C. D.56 56 152 152解析：18 4!=(184)(18 2 4)(1834)(1844)=141062，204!=(206)(20 26)(2036)=1482， = .184!206! 1528.一组实验数据如下表t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12V 0.01 1.50 4.40 7.50 12.09 18.01与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( C )A.V=log2t B.V=-log2t
6、 C.V= (t2-1) D.V=2t-212解析：从表中取 t=4.00，则在 A中 V=27.5；在 B中 V=27.5；在 C中V=7.57.5；在 D V=67.5.故选 C.9.定义 A*B、B*C、C*D、D*B 分别对应下列图形那么在下列图形中：第 3 页 共 7 页可以表示 A*D、A*C 的分别是( C )A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(2)、(4) D.(1)、(4)解析：分析已知图，易知 A表示竖线，B 表示较大正方形，C 表示横线，D 表示小正方形，则A*D表示的图形(2)，A*C 表示的图形是(4).故选 D.10.已知函数 f(x)=2-x2，g(x)
7、=x.若 f(x)*g(x)=minf(x),g(x),那么 f(x)*g(x)的最大值是（ D ）A.1 B.2C.3 D.4解析：f(x)*g(x)是一个分段函数： f(x)*g(x)= .)于是，原问题就是：求这个分段函数的最大值。利用求函数最值的方法可以解决问题。通过函数 y=2x 2与 y=x的图象（如图） ，可知实线部分即为 f(x)*g(x)的图象,于是图中 点的纵坐标即为所求，易求得 xA=1，故选 A.A11. 设集合 M=x|mxm+ ，N=x|n xn，且 M、N 都是集合x|0x1的子34 13集，如果 ba 叫做集合x|axb的“长度” ，那么集合 MN 的“长度”的
8、最小值是( C )A. B. C. D.13 23 112 512解析：集合 M的“长度”为 ，集合 N的“长度”为 ，而集合x|0x1的“长34 13度”为 1，故 MN 的“长度”的最小值为 + 1= ，故选 C.3413 11212.给定 an=logn+1(n+2)(nN*)，定义使 a1a2a3ak为整数的数 k(kN*)叫企盼数，则区间1，2003内的所有企盼数的和 M=（ D ）A.4074 B.4073 C.2025 D.2026解析：a n=logn+1(n+2)(nN*)，a 1a2a3ak=log23log34logk+1(k+2)= log2(k+2)，要使 log2(
9、k+2)为正整数，则可设 k(n)+2=2n+1，即 k(n)=2n+12(nN*) ，第 4 页 共 7 页令 12 n+122003，1n9(n N*)，则区间1，2003内的所有企盼数的和M= k(n)= (2n+1-2)=(22-2)+(22-2)+ (210-2)=(22+23+210)-29=9n=1 9n=1=2026，故选 D.22(29 1)2 1二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案填在题中横线上13.经济学中，定义 Mf(x)=f(x+1)-f(x)为函数 f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利润 P(x)=-x3+30x2+1000(x10,2
10、5且 xN*)，则它的边际函数 MP(x)=_-3x2+57x+29(x10,25，且 xN*)_.解析：由定义，得 MP(x)=P(x+1)P(x)=3(x+1) 3+30(x+1)2+1000(-x3+30x2+1000)=-3x2+57x+29.14.若数列a n满足：（1）a n是递增的；（2）当 n5 时，S n0；当 n5 时，Sn0；（3）对 nN*，有 2an+1=a n+2+a n；(4)点n，a n在方向向量为(1，2) 的直线上.对符符合条件的数列a n为 .(写出一个通项公式即可)解析：这是结论开放题，由题知，a n是等差数列，且 d=2，由 S50，S 60， ，)解
11、得5a 14，故 an= +(n1)2，a n= +(n1)2，a n=2n ，a n=2n ，.92 174 132 25415.已知函数 f(x)满足：对任意实数 x1，x 2，当 x11 时,为使函数 f(x)= loga(ax2x)在区间2,4上是增函数,需 g(x)=ax2x 在区间2,4上是增函数 ,故应满足 ，解得 a ，又a1，所以 a1.)12当 01 时，函数 f(x)=loga(ax2x) 在区间2,4上是增函数.20.(本小题 12分)已知 a0，a1，则 P：函数 y=loga(x+1)在 x(0，+)内单调递第 6 页 共 7 页减；q：抛物线 y=x2+(2a-3
12、)x+1与 x轴交于不同的两点，如果 p且 q为假命题，p或 q为真命题，求 a的取值范围.解析：由题意知 p与 q有且仅有一个为真命题.当 0a1 时，函数 y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减；当 a1 时，函数 y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减；抛物线 y=x2+(2a-3)x+1与 x轴交于不同的两点等价于(2a-3) 240，解得 a 或 a .12 52(1)若 p正确，q 不正确，即函数 y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与 x轴不交于两点，(2)因此 a(0，1)( ，1(1， )，即 ，1.12 52 12
13、(3)若 p不正确，q 正确，即函数 y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与 x轴交于不同的两点，(4)因此 a(1,+)(0， )( ，+)，即( ，+)，12 52 52综上所述，a 的取值范围为 ，1)( ，+).12 5221.(本小题 12分)对于在区间m,n上有意义的两个函数 f(x)和 g(x),如果对任意的xm,n,均有|f(x)-g(x)|1,则称 f(x)与 g(x)在m,n上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在m,n上是非接近的，现有两个函数 f1(x)log a(x-3a)与 f2(x）log a(a0,a1),给定区
14、间a+2,a+3.1x-a(1)若 f1(x)与 f2(x)在给定区间a+2,a+3上都有意义，求 a的取值范围；(2)讨论 f1(x)与 f2(x)在给定区间a+2,a+3上是否是接近的.解析：(1)f 1(x)log a(x-3a),xa+2,a+3,有 ，0a1,)f2(x）log a ,xa+2,a+3,有 ，a0,a1,1x-a )f 1(x),f2(x)都有意义，应满足 0a1.(2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|,令|f 1(x)-f2(x)|11log a(x2-4ax+3a2)1，令 g(x)=loga(x2-4ax+3a2)=loga(x-
15、2a)2-a2,易知 g(x)在a+2,a+3上递减，g(x) min=lg(a+3)=loga(9-6a),g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a),于是成立的条件是： 0a ,)综上，当 0a 时，f 1(x)与 f2(x)在a+2,a+3上是接近的；第 7 页 共 7 页当 a ，且 a1 时，f 1(x)与 f2(x)是非接近的.22.(本小题 14分) 定义：若函数 f(x)对于其定义域上的某一点 x0，f(x 0)= x0，有则称x0是 f(x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0).(1)当 a=1，b=-2，求函数 f(x)的不动点；(
16、2)若对任意的实数 b，函数 f(x)恒有两个不动点，求 a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若 y=f(x)图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f(x)的不动点，且 A、B 两点关于直线 y=kx+ 对称，求 b的最小值.12a2+1解析：(1)f(x)=x 2-x-3，由 x2-x-3=x，解得 x=3 或-1，所以所求的不动点为-1 或 3.(2)令 ax2+(b+1)x+b-1=x，则 ax2+bx+b-1=0 由题意，方程恒有两个不等实根，所以=b 2-4a(b-1)0，即 b2-4ab+4a0 恒成立，则=16a 2-16a0，故 0a1.(3)设 A(x1，x 1)，B(x 2，x 2)(x1x 2)，则 kAB=1，k=1，所以 y=-x+ ，12a2+1又 AB的中点在该直线上，所以 = + ，x 1+x2= ，x1+x22 x1+x22 12a2+1 12a2+1而 x1、x 2应是方程的两个根，所以 x1+x2= ，即 = ，ba ba 12a2+1b= = .当且仅当 2a= ，即 a= (0，1)时取等号.1a所以，所求 b的最小值为 .作 者：慕泽刚通信地址：重庆市九龙坡区西彭镇：重庆市渝西中学 邮 编：401326电 话：(023)65816009（宅）E-mail：muzegang123163. com
