1、摘要：1873 年由德国学者恩斯特卡尔阿贝（Ernst Karl Abbe，1840-1905）提出的二次成像理论及其相应的空间滤波实验，是空间滤波技术先导。随着后来对空间滤波技术理论的完善，使其广泛应用到科学技术的各个领域。文章通过二维傅里叶分析将平面光场的复振幅分布分解为不同空间频率（即不同方向）的平面光的叠加，结合光的标量衍射理论得到透镜的傅里叶变换性质。接着提出阿贝成像和空间滤波技术，并对其进行二维傅里叶分析。最后对空间滤波进行 MATLAB模拟加深对空间滤波的理解，并了解空间滤波在图像处理方面的应用。阿贝成像及其空间滤波实验启示人们可以通过改变光波的频谱结构，使其像按照人们的要求得到
2、预期的改善。在此基础上发展的光学信息处理技术，可用光学的方法对信息实施某种运算或变换以达到对感兴趣的信息进行提取、编码、存储、识别和恢复的目的。这种处理方法具有二维、并行和实时处理的优越性。关键字：二维傅里叶变换，标量衍射，透镜的傅里叶变换，空间滤波Abstract: Principle of second image formation and its corresponding spatial filtering experiment, put forward by German scholar Ernst Karl Abbe in 1873 (Ernst Karl Abbe，1840-1
3、905), was the forerunner of spatial filtering techniques. Subsequently, it is widely applied in all fields of science and technology with the development of spatial filtering technique theory.In this paper, complex amplitude distribution is decomposed into superposition of plane light in different s
4、patial frequency (that is different direction) through Fourier analysis in two dimensions, so as to obtain Fourier transform properties of lens combing scalar diffraction theory of light. Then Abbes imagery and spatial filtering techniques are proposed, meanwhile, two-dimensional Fourier is analyzed
5、. And finally, MATLAB simulation of spatial filtering is conducted in order to deepen the understanding of it, besides, the application of spatial filtering in the aspect of image processing is also described.Abbes imagery and its spatial filtering experiment can enlighten us that the images can be
6、improved as our expectation and requirement through changing the frequency-spectrum structure of light wave. Therefore, the information which is interested by us can be extracted, coded, stored, identified, and restored by utilizing certain operation and conversion with the method of optics, which i
7、s optical information processing technique developed on the basis of this results. Furthermore, this processing method owns the advantages of two-dimensional, parallel, and real-time processing.Keywords: Two-Dimensional Fourier Transform, Scalar Diffraction Theory, Fourier Transform Properties of Le
8、ns, Spatial Filtering目 录1 绪论 .51.1 课题背景 .51.2 阿贝成像简介 .61.3 本文的主要内容 .62 二维傅里叶分析 .72.1 平面波的空间分布 .72.2 数学上的二维傅里叶变换 .82.3 单色平面光场的二维傅里叶分析 .83 光的标量衍射理论 .93.1 菲涅尔 基尔霍夫衍射公式 .93.2 菲涅尔衍射 .103.3 弗琅禾费衍射 .114 透镜的傅里叶变换性质 .124.1 透镜的相位调制作用 .124.2 透镜的傅里叶变换性质 .135 阿贝成像及空间滤波 .155.1 阿贝成像理论 .155.2 空间滤波 .156 空间滤波实验的 MATL
9、AB 仿真 .206.1 MATLAB 模拟空间滤波实验的基本步骤 .206.2 阿贝 波特空间滤波实验的仿真 .216.3 图像的空间滤波实验 .24参考文献 .28致谢 .291 绪论1.1 课题背景阿贝在蔡司公司从事显微镜的设计和研究时，用传统的几何光学计算方法对显微镜物镜头的像差进行修正。当时的光学设计家认为设计优良显微镜的关键在于减低像差和提高放大倍率，认为显微镜的分辨率是无限的。减小光学镜头像差的一个简单办法是用减小镜头的孔径，于是蔡司公司出产了一批小孔径的显微镜，想以此对像差进行巨大的改进，但结果反而不如以前生产的孔径较大、未精心校正像差的显微镜。阿贝为了探索其中原因，从理论和试
10、验两个方面进行研究，于 1873年在德国的显微镜学报上发表了它的显微镜衍射成像理论。后来阿贝在 1893年和波特(A.B.Poter)在 1906年分别为验证阿贝成像理论做了相应的实验。1935年策尼克（Zernike）提出的相衬显微镜是空间滤波技术早起最成功的应用。1946年杜费（Duffieux)把光学成像系统看作线性滤波器，成功地用傅里叶方法分析成像过程，发表了傅里叶变换及其在光学中的应用的著名论著。1953 年，艾里亚斯（Elias）及其同事的经典论文光学和通信理论和光学处理的傅里叶方法为光学信息处理提供了有力的数学工具。1963 年，范德拉格特（A.Vander Lugt）提出复数滤
11、波的概念，随着激光的出现和全息术的迅速发展，促使其理论和实用技术日臻完善，成为十分活跃的一门新兴学科，并已渗透到各种应用领域 1。1.2 阿贝成像简介阿贝在研究如何提高显微镜的分辨能力时，于提出了一个与传统几何光学成像观念完全不同的相干二次衍射的新理论。放在显微镜标本台上物体，接受显微镜光源的照射，产生衍射。衍射的低次波偏离光轴的角度小，能够进入显微镜的物镜，在焦平面上形成衍射图像；高阶波因为角度大，不能进入物镜。焦平面上形成的衍射图像，再次衍射：衍射图像中各点，按惠更斯原理成为新的波源，产生球面波。这些由第二次衍射形成的球面波相互干涉，最后在物镜的像平面形成物体的实像。物体的细微部分如果十分
12、靠近，以至连一阶衍射波的偏角太大，不能进入显微镜的物镜，没有显微镜能够分辨物体的细微部分。在相干照明下，被物体衍射的相干光，只有当它被显微镜物镜收集时,才能对成像有贡献。换句话说,像平面上光场分布和像的分辨率由物镜收集多少衍射光来决定。相干二次衍射理论是用频谱语言描述的波动光学观点，它从波动光学的角度解释了限制显微镜成像分辨本领的原因。1.3 本文的主要内容本文首先从理论上进行介绍，第二章介绍二维傅里叶变换的知识，在数学上对任一平面光场的复振幅分布进行二维傅里叶展开，并理解其物理意义；第三章介绍变量衍射理论，从基尔霍夫衍射理论开始，导出在不同条件下的近似，即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射；第四章根据
13、前二维傅里叶变换和标量衍射的知识讨论透镜的傅里叶变换性质；第五章提出阿贝成像理论，并用前面的知识对其进行傅里叶分析；第六章使用 MATLAB软件对阿贝 波特实验进行仿真，得到精确的实验数据。2 二维傅里叶分析2.1 平面波的空间分布一般情况下把单色平面光波简称为平面波。平面波的复振幅可表示为：(2.1)ikrAzyxUep),(在直角坐标系中图 2.1 截平面上平面波的复振幅分布(2.2)zyxeer(2.3)zkykxkk coscsos2式中 ， ， 分别为 x，y，z 三个坐标方向上的单位矢量。 ， ， 是波矢 k与xeyz kkx，y，z 轴的夹角。所以 zyxiAzyxUkkkcos
14、scos2ep,(2.4)zfffiyx(2.5)kzykxffcoscos其中 ， ， 表示波矢 k沿 x，y，z 三个坐标方向的空间频率xfyzf若考察平面波在 x-y- 平面上的复振幅分布，其中 z为一常量 ，则0 0z(2.6)yfxfizfiAzU2ep2ep, 02.2 数学上的二维傅里叶变换为在整个平面内有定义的二维函数，若 存在傅里叶变换，就可以表示为yxf, yxf,(2.7)yxyxdffiyxFyxf 2ep,其中(2.8)xyfiyxff yxyx e,2.3 单色平面光场的二维傅里叶分析在相干光照明条件下，物分布函数可以用复函数 U(x,y)表示，其模表示各点的振幅，
15、幅角表示各点的初相位，对 U(x,y)应用傅里叶变换有(2.9)dxyfiyxUfFyxyx 2ep,(2.10)yxyxyx ffif,由上式可以看出 U(x,y)可以看作是有无数指数基元 加权叠加而成，fiyx2ep其权重为 。yxxdffF,对比平面波在 x-y-z0平面上的复振幅分布，可知相当与振幅为 ，传播方向为 ,fiff yxyxx 2ep, yxxdffF, xfcos的单色平面波。因而，物分布函数可看作无数个不同振幅（ ）不cos yxdfF,同方向（ ， ）的平面波相干叠加而成 2。xfyfcos3 光的标量衍射理论3.1 菲涅尔基尔霍夫衍射公式图 3.1 点光源照明平面屏
16、的衍射如图，s(p)为位于 p点的点光源， 为衍射屏上的任意一点，p 为孔径后的任意o一观察点，l 和 r分别为 p和 p到 po的距离。基尔霍夫把亥姆霍兹方程同格林定理结合起来并假定边界条件，从而导出了严格的衍射公式： 3(3.1)dlnrrikliiAU2,cos,ex)(如果点光源离开孔径足够远，使入射光可以看成垂直入射到孔径的平面波那么对于孔径上的各点都有 ， ，而 表示孔径上的复振幅分布可令1,coslncos,srnikllAexp0,expyxUikllA图 3.2 平面光入射屏时的衍射则基尔霍夫衍射公式可表示为(3.2)drikyxUp2cos1ep,0通常衍射孔径的线度比观察
17、平面到孔径的距离要小很多，在观察屏上考察的距离也比观察屏到孔径的距离小很多，因此 ，有cos图 3.3 衍射近似的示意图(3.3)drikyxUpep,0由于孔径范围内，任意点 Q到观察屏上的考察点 p的距离变化并不大，并且分母中r的变化只影响孔径范围内各子波波源发出的球面子波的振幅，这种影响微乎其微，所以可取(3.4)zr1但在复指数部分 中由于 k很大，r 的微小变化也会对位相 产生显著地变化，故irexp kr不可近似，所以在近轴条件下基尔霍夫衍射公式可表示为：(3.5)dikryxUzip)ep(,(1)(03.2 菲涅尔衍射3.2.1 菲涅尔近似条件图 3.4 衍射近似的示意图基尔霍
18、夫衍射公式的计算较为复杂。但在近轴条件下，可做一些近似计算。在直角坐标系中(3.6) 2/102020202 1 zyzxyxzr对上式做二项式展开(3.7) 2200220081zyxzyxzr当 z大到使第三项以后的各项对位相的作用小于 1rad时即(3.8)1832020zyxk第三项后的各项便可忽略，因而可只取前后两项来表示 r，即(3.9)zyxzzyxzr 202022001 3.2.2 菲涅尔衍射公式在满足式（3.8）的菲涅尔衍射近似条件，下可得菲涅尔衍射计算公式(3.10)020200 020200exp),(1, dyxyxzikyUzi zip 3.3 弗琅禾费衍射3.3.
19、1 弗琅禾费近似将式（3.9）式展开有(3.11)zyxzyxzr2200当 z很大而使式中第 4项对位相的贡献小于 1rad时，即(3.12)120zyxk第 4项便可省略。第 2项和第三项也是比 z小很多的量，但它比第四项大很多，因为随着 z的增大，衍射光的范围也不断扩大，相应的考察范围也不断扩大，故 r在在满足式（3.12）的条件下可进一步改写为:(3.13)zyxzr023.3.2 弗琅禾费衍射公式在满足弗琅禾费衍射条件下式式（3.5）中的 r可以由式（3.13）式表示，得到弗琅禾费衍射公式(3.14)0002exp),()(exp)(1)( dyxzikyUzikizpU 4 透镜的傅里叶变换性质4.1 透镜的相位调制作用
