d-型序列的三项式特性.doc

1、2007 年 10 月 Journal on Communications October 2007第 28 卷第 10 期 通 信 学 报 Vol.28 No.10d-型序列的三项式特性程池 1,2, 曾祥勇 2, 胡磊 3, 刘合国 2(1. 湖北工业大学 理学院，湖北 武汉 430068； 2.湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062；3. 信息安全国家重点实验室(中国科学院研究生院) ，北京 100049)摘 要：讨论了 -型序列的三项式特性，利用 -型函数和有限域的性质，证明了 -型序列具有正则三项式对，ddd李超、项攀攀所得的结果可以看作是一个特例。讨论了 TN 序

2、列的三项式特性，并给出了一个具体的例子。关键词：扩频通信；三项式特性； -型序列；正则三项式对中图分类号：O174.56 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2007)10-0044-04Trinomial property of d-form sequencesCHENG Chi1,2, ZENG Xiang-yong2, HU Lei3, LIU He-guo2(1. School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China; 2. School of Mathematics and Comput

3、er Science, Hubei University, Wuhan 430062, China; 3. The State Key Laboratory of Information Security (Graduate School of Chinese Academy of Sciences), Beijing 100049, China)Abstract: The trinomial property of -form sequences was discussed, then using the property of -form functions and d dfinite f

4、ields, -form sequences having the regular trinomial pairs was proved，and the result given by Chao Li and dPanpan Xiang can be seen as a special case. The trinomial property of TN sequences was discussed, and a concrete example was given.Key words: spread spectrum communication; trinomial property; d

5、-form sequences; regular trinomial pairs 1 引言在码分多址(code division multiple access)等扩频通信系统中，一个重要的问题是如何设计具有大容量、高线性复杂度和良好相关特性的序列族。最近，Klapper 提出了 -型序列的概念，其核心是d通过选 取 具 有 特 定 性 质 的 齐 次 函 数 （ 称 作 -型 函d数 ， 其 次 数 为 ） 来 构 造 理 想 两 值 自 相 关 序 列 ， 或具 有 良 好 相 关 特 性 的 大 容 量 、 高 线 性 复 杂 度 序 列 族1,2。 近 年 来 ， 与 序 列 的 线

6、性 复 杂 度 有 密 切 关 系 的二 元 周 期 序 列 的 “三 项 式 特 性 ”引 起 了 人 们 的 广 泛关 注 38。 Golomb 和 Gong 在文献3 中提出了二元周期序列的“三项式特性”和“三项式对”的概念，并描叙了一个数对是一条序列的“三项式对”的充要条件，同时对序列的“正则三项式对”进行了研究；Charpin 等人在文献4中建立了最小距离为 3 的二元循环码与具有“三项式特性”的二元周期序列之间的一一对应，并得出了以固定的数对（k, l）为“三项式对”的序列数目的计数公式；张振涛等人首先在文献6中用序列多项式的方法给出了一个数对是给定二元周期序列的“三项式对”的充要

7、条件，并在此基础上给出了二元周期序列存在“三项式对”的必要条件和没有“三项式对”的充分条件，然后在文献7中将收稿日期：2005-11-20；修回日期：2007-08-01基金项目：国家自然科学基金资助项目（60573053，60603012） ；湖北省教育厅基金资助项目（D200610004）Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China(60573053, 60603012)；The Foundation of Hubei Provincial Department of Education(D200610

8、004)第 10 期 程池等：d-型序列的三项式特性 45“三项式特性”的概念从有限域 上的周期序GF(2)列推广到 上，给出了求解给定序列的所有GF()p“三项式对”的 有 效 算 法 ； 李 超 、 项 攀 攀 讨 论 了GMW 序 列 、 No 序 列 和 Kasami 序 列 的 三 项 式 特 性 ，同 时 利 用 这 三 类 序 列 的 迹 表 示 ， 证 明 了 它 们 均 具 有正 则 三 项 式 对 8。在本文中，利用 -型函数和有限域的性质，d证明了 -型序列具有正则三项式对。由于 -型序d列包含 GMW 序列、 No 序列和 Kasami 序列作为特殊情况，因此李超、项攀

9、攀所得的结果可以看作本文的特例。2 基本概念在本文中，设 是一个素数， 表示元pGF()np素个数为 的有限域。 为正整数且 ，nm,|有限域 到 上的迹函数 为GF()()xtrm，)1(nmppnmxxtr F()np周期为 的二元 序列 具有“平移12nia相加性” ，即对任意的整数 ，存在相02n 应的正整数 ，使得 。受此启发，lk, likiiGolomb 和 Gong 在文献3中进一步研究了任意的二元周期序列的“三项式特性”和“三项式对” 。定义 1 周期为 的二元序列 的三项12nia式特性 (trinomial property ) 是指（至少）存在一对正整数 ，使得序列满足

10、下列关系式lk,likiia其中， 。 0,2nl 我们知道序列 都可以写成如下的形式i， )(ifa,10i其中， 是有限域 的本原元， 是从GF2n)(xf到 的函数，并且 有下列惟一的GF(2)n)迹表示,)(1Httmxrxft*F(2)tmt其中， ， 是模 的分圆陪集首项的集I2n合， 是 的极小多项式的次数，并且 。tt|tn在文献3中给出了如下的引理。引理 1 二元序列 的周期为 ， 是ia12nm的因子， , 如上所述。n2mnTH不妨假设 。若对于任意的 ，有t， 则序列 具有如下所有的三2(od1)itia项式对： ,T,2m 其中， 。定义 23 称引理 1 中描述的三

11、项式对为序列的正则三项式对，否则称之为非正则三项式ia对。引理 23 若 是二元序列 的三项式对，),(lkia则 也是序列 的三项式对。(,)jkli利用引理 2，可以由一个已知的三项式对来得到其他的三项式对。下面讨论 -型序列的三项式d特性问题。3 主要结果-型序列的构造是由 Klapper 在文献1 中给d出的。定义 3 假设 是一个素数， 为正整数pnm,且 ，有限域 到 上的函数nm|GF()n()称为 -型函数， 如果对任意 ，)(xHGF()xp有Fyp)()(Hyxd利用 -型函数，可以构造 -型序列如下：d定义 4 对任意整数 ， 12mrp gcd(,r，则称周期为 的序列

12、1)mpn)(1rtmts为 -型序列。d从上面可以看出， -型序列的构造依赖于 -dd型函数的生成， -型函数所包含的范围很广，例如：时，可以验证 是 1-型函1)(xtrHnm数，此时若令 ，则构造出来的 -型序列即是rdm 序列；若 且 ，则构造1,gc(p出来的 -型序列即是 GMW 序列。d时，可以验证246 通 信 学 报 第 28 卷（其中 是 中的元TnmxtrxH)(GF()mp素）是 2-型函数，此时若令 ，则构造出来的1r-型序列即是 Kasami 序列；若 且d，则构造出来的 -型序列即是1),gc(prdNo 序列。定理 1 当 ， 时，上1),gcd(mp2面构造出

13、的 -型序列具有正则三项式对。证明 设 ， ，其中21tTtT，则mnpT)()( 211 rtrdtmrtt HHrs而 ，故2T)(21)rttrdt 因此 21 rtrdrdtmTts由于 ，),gc(p，故 。又),dr 1),c(mp是 上的本原元，由有限域的性质知GFm也是 上的本原元。而 在r( rd中，故存在 ，使得 ，从而()puuTtrttrdmTtt sHs )()21(1即 为序列 的正则三项式对。),(ut李 超 、 项 攀 攀 在 文 献 8中 已 经 证 明 了 GMW 序列 、 No 序 列 和 Kasami 序 列 具 有 正 则 三 项 式 对 ， 但是 我

14、 们 的 证 明 更 加 直 观 和 简 单 ， 并 且 可 以 给 出 很 多其 他 序 列 的 正 则 三 项 式 对 ， 下 面 给 出 一 个 例 子 。Klapper 在 文 献 1中 给 出 了 一 类 新 的 具 有 很 好的 相 关 性 和 极 高 的 线 性 复 杂 度 的 -型 序 列 ： TN 序 列 。d定义 5 设 和 都是正整数，令 ，mkmq2再令 和 。设 是满足2eknr的正整数, 是 上的本原1),gcd(qr2GF()k元， 是 中的一个元素，那么就称第 项GF( i如下的序列 S)()(221 rimkimki Ntrts为一个 Trace-Norm（或

15、 TN）序列，其中表示从有限域 到 的范函)(2mkN2F()kqG()k数，即 。2()kmkqN定理 2 TN 序列具有正则三项式对。证明 由于 ，按照定理 1，)12,gcd(mr只需证明，TN 序列中的函数 )()(2xNxtxHkk是一个 2-型函数。令 ，那么 。故1kqvvmk2，进一步有2()()mvxtrx22()()k vytryx其中， ，由此有 ，因此，GF)q1q，所以有12kkvqy22 2()()()()mkvHxtryxyHx即 是 2-型函数，同时也证明了 TN 序列具有()正则三项式对。例 在上面 TN 序列的定义中，令 , 3m, , , , 是2k12n

16、mk6r58T上的本原多项式 的本原1GF() 41xx根， ，经计算有， ，58T26则由定理 1 的证明知 为该序列的正则三(,9)项式对。再由引理 2 可以得到其余的正则三项式对 和 。(70,)340,14 结束语在 本 文 中 ， 讨 论 了 d-型 序 列 的 三 项 式 特 性 ，并 且 利 用 d-型 函 数 和 有 限 域 的 性 质 ， 证 明 了 d-型 序 列 具 有 正 则 三 项 式 对 。 由 于 d-型 序 列 包 含GMW 序 列 、 No 序 列 和 Kasami 序 列 作 为 特 殊 情况 ， 因 此 李 超 、 项 攀 攀 所 得 的 结 果 可 以

17、看 作 本 文的 一 个 特 例 。参考文献：1 KLAPPER A. D-form sequences: families of sequences with low correlation values and large linear spansJ. IEEE Transactions on Information Theory, 1995, 41 (2): 423-431. 2 NO J S. P-ary unified sequences: p-ary extended d-form sequences with the ideal autocorrelation propertyJ

18、. IEEE Transactions on Information Theory, 2002, 48 (9): 2540-2546. 3 GOLOMB S W, GONG G. Periodic binary sequences with the 第 10 期 程池等：d-型序列的三项式特性 47trinomial propertyJ. IEEE Transactions on Information Theory, 1999, 45(5): 1276-1279.4 CHARPIN P, TIETAVAINEN A, ZINOVIEV V. On binary cyclic codes wi

19、th codewords of weight three and binary sequences with the trinomial propertyJ. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 47(1): 421-425.5 CUSICK T W, GONG G. A conjecture on binary sequences with the trinomial propertyJ. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 45(1): 426-427.6 张振涛，李新，杨义

20、先等. 关于具有“三项式特性”的二元周期序列J. 通信学报, 2002, 23 (5): 70-73.ZHANG Z T , LI X, YANG Y X, et al. On binary periodic sequences with trinomial propertyJ. Journal on Communications, 2002, 23(5): 70-73. 7 张振涛，李新，杨义先等. 关于具有 “三项式特性”的 pm 元周期序列J. 通信学报, 2004, 25 (4): 1-6.ZHANG Z T, LI X, YANG Y X, et al. On pm-adic per

21、iodic sequences with trinomial propertyJ. Journal on Communications, 2004, 25 (4): 1-6. 8 李超，项攀攀.非线性扩频序列的三项式特性J. 通信学报, 2004, 25 (2): 162-167.LI C, XIANG P P. Trinomial property of nonlinear spreading sequences J. Journal on Communications, 2004, 25 (2): 162-167.作者简介：（上接第 43 页）11 刘玉君. 信道编码M.郑州：河南科学技术

22、出版社，1992.LIU Y J. Channel CodingM. Zhengzhou: Henan Science and Technology Press, 1992.12 FORNEY G D. Burst-correcting codes for the classic bursty channelJ. IEEE Trans Commun, 1971, COM-19: 772- 781.13 MASAJORP A, TOSHIFUMI Y, et al. The effective interleaving scheme against the shadowing in S-band

23、 digital mobile satellite broadcasting systemA. IEEE, VTC2000C. 2000. 1793-1797.作者简介：程池（1981-），男，湖北天门人，湖北工业大学助教，主要研究方向为序列设计。曾祥勇（1973-），男，湖北仙桃人，湖北大学副教授、硕士生导师，主要研究方向为序列设计和密码学。胡磊（1967-） ，男，湖北麻城人，中国科学院研究生院信息安全国家重点实验室教授、博士生导师，主要研究方向为密码学与信息安全。刘合国（1967-），男，湖北大冶人，湖北大学教授、博士生导师，主要研究方向为代数学和密码学。宋效正（1980-）男，安徽蒙城人，北京大学博士生，主要研究方向为无线光通信和卫星光通信。2 通 信 学 报 第 28 卷党安红（1969-），男，陕西澄城人，博士，北京大学副教授，主要研究方向为无线通信和卫星光通信等。刘璐（1977-），男，湖南株洲人，博士，北京大学副教授，主要研究方向为无线光通信和精密测控。汤俊雄（1941-），男，湖南浏阳 人，北京大学教授、博士生导师，主要研究方向为卫星光通信、大气光通信、新型量子器件、光电子器件等。