1、1第 17 讲4 无零因子环的特征 （Characteristic of the ring without zero-division） 本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法 做,R成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求：1、对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是与 中元素的阶的本质区别。Rch,2、无零因子 环中的特征的几个性质的证明应该掌握。R3、对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。一、 环的特征
2、的定义 一个普通的计算规则： 。00ama在环中，这条规则往往不成立。例（p94. 例 1）p 是素数，Z p 是域。证明：只需证明 Zp-0是乘法群。取 ，pkZ（ ,k） =1。|kstks1定义 3.4.1 ： 设 为任意环，如果存在自然数 ，Rn使得任意 都有 ，那么称这样的最小的自a0na2然数 为环 的特征，记为 。如果不存在这样nRRCh的自然数，则称环 的特征为无穷大，记 .RCh例 1 整数环 中上述定义的自然数 不存在.Zn= .RCh不仅如此,还可知 .,FMChxFhn例 2. 在模 4 的剩余类环 中, ,4Z32,104Zi当取 时,都有 而最小的16,8n0in显
3、然是 4 4Ch一般的：模 m 的剩余类环, .mZCh注意 1：1如果环 的加群中有一个元素的阶为无穷，R由 的定义知 必有 。ChRCh2 如果 的加群 中每个元素都是有限阶,而最大的阶为 .nn譬如 ; , , 。最大者是 44Z43,10241.Ch命题 3.4.2. 若 ,那么, 加群 中每个元素 ,nRh,Ra都有 .an在此,我们要强调二点: 确实存在这样的环 ,使得其加群 中既有R,R无穷阶的元素又有有限阶的元素.例 3（p95 例 2）设 是两个循环加群,cGb21,3又设 而 .所以 ,bnc（整数加群）.0,1 hbZhbG且 .（Z n,c=1）kckc2且 k现令 并
4、规定 中加法“+”:R,1 Rckbhckbh21212, 乘法“”： 。0,1可以验证 是一个环，但在加群 中，,R,R而 .0,bnc,0 存在这样的环 ：其加群 中每个元的阶,都有限，但不存在最大的阶.例 4 设 ,在 中规定加法R1,nxNCx使存 在 R“+”: ,和规定乘法“”: .y 1yx易证 是个环,而加群 中的零元为 1.且群中 ,每个元的阶都有限,但阶数可任意大.(不存在最大的阶).命题 3.4.3. 若 是一个非零环,那么 .R1,1RCh证明: 设 :由 注 1 的 1知 .1RRh设 对,0,Rn aRaa由 的任意性知 。 若 则ChnChRmn10,R与 矛盾。
5、1Rn例 5. 若 环的特征为素数 ,且 可交换,则有p.pabRba4证明: 因 是交换环, R ppppp bacbacab 121显然,当 时,我们有( !, )= ,又因 1kk! ! ,ppc1 kc进而 。于是 ,kp.0ak .pba例 6. 若 且其中每个元 都有 (称 为幂等元).R2那么 必为特征是 2 的交换环.证明: , ,aRa由于.02422由 的任意性01.RCh.Ch。 0.aa即 .,Rb但,22 abb即 是可交换的.二、无零因子环的特征 设 是一个无零因子环,那么关于 的特征问题就有更RR加明确的意义。定理 3.4.4.（定理 1.p95） 设 是无零因子
6、环,那么加群 中每个非零元的阶都是一样的.,R证明：若 R 中每个元素的阶是无穷，则定理成立。若 R 中有元素 a，其加法阶数为 n， b 是 R 中另一元素。所以。0()()0nb因此， 。同样可以证明 。|b|5上述定理告诉我们:非零的无零因子环 中元素的阶R只有二类:一类是零元 0( 0 的阶永远为 1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数 . n定理 3.4.5 (定理 2.p96)若非零无零因子环 的特征 R,那么 必是一个素数.ChRnn证明：n 不是素数且 n=n1n2，ChRn120n，并且存在 ， 。a120,a而 2120()()nn矛盾。120a或由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述性质。综合而言:推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数 .p
