1、 第四章 数值微分与数值积分 95 第四章 数值微分与数值积分一、基本内容提要1. 差商型数值微分公式（1）向前差商公式 hxffxf)() （2）向后差商公式 ff)()(（3）中心差商公式 hxffxf2)()( 2. 插值型数值微分（1）两点数值微分公式（ ）1n过节点 的插值型数值微分两点公式为hx010, hxffxLf )()()( 01010fff )()()( 0111其截断误差为， )(2)( 001fhxR)(2)( 11fhxR其中 。 ,(bai,i（2）三点数值微分公式过节点 的插值型计算导数的三点公式为)2,10(0ihxi )(4(3) 210xffxff )2(
2、 21hx96 实用数值分析解题指导 )(3)(4)(21)( 210xffxfhxf 其截断误差为)(3)( 002fxR6 1212fh)(3)( 22fx),(bai)2,10(i（3）二阶数值微分公式)()(1)()( 21022 xffxfhLfii ),(i住：此公式是三点公式。3. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式将积分区间 等分，步长 ，取等距节点 ,bannab),.210(iihxi则柯特斯（Cotes ）系数 dtnktttnkCnk 0)( )()()1)!1 ),10(nk牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）求积公式为nikba xfCadxf0)(
3、)(（又被称为 N-C 公式。下面给出几种特殊的 N-C 求积公式。（1）梯形求积公式：当 时， ，相应的求积公式n21)()1(0C)(bfabdxfba称为梯形求积公式。（2）辛普森（Simpson ）公式第四章 数值微分与数值积分 97 当 时， ， ， ，相应的求积公式为2n61)2(0C4)2(61)2(C)(bfaffabdxfba （3）柯特斯（Cotes）公式当 时，令 ， ，求积公式4n4kk)4,321()(7)(2()790)( 430 xffxffxfabdxfba 称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 4. 求积公式的代数精度若求积公式 nikbaxfA
4、dxf0)()(对任意次数不高于 次的多项式 均精确成立，而对某个 次的多项式不精确成mf 1m立，则称该求积公式具有 次代数精度（Algebraic Accuracy） 。5. 复化梯形积分若将积分区间 等分，步长 ，节点nba,nab h在每个小区间 上用梯形)10(, kh,xk ,1kx)10(,n 公式 )(2)(bfabdxfba并求和 10)()(nkxbaff )()2 110kknkxffh98 实用数值分析解题指导 )(2)(21nkxfbfah得到的公式 )(2)(21nkn xfbfahT称为复化梯形公式。6. 复化辛普森（Simpson ）积分若将积分区间 分成 等分
5、，步长 ，节点 ,bamn2nab hkhaxk在每个小区间 上使用 Simpson 公式)10(,n k,k x)(2(4)6( bfaffadxfba 则有 )()()( )( 2122222 kkkkx xffxffk 4)(32122kkkffxfh其中 ，对其求和可得2knabhbadxf)(mkxkdf1 )(2 )()(4)(321212kkkkxfffh )()()( 121202 mkkmkmk ffxf )()(4)(31212kkkxfxfbfah得到的公式第四章 数值微分与数值积分 99 )(2)(4)(3121mkkmkn xfxfbfahS则称为复化 Simpson
6、 公式。7. 龙贝格(Romberg)求积公式Romberg 积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列 ，经kT2Richardson 外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍：对积分 ，使用复化梯形公式并记badxfI)(nT)(0k)21kabI),10(k再根据 Euler-Maclaurin 公式，可得 ikikkk abafR 2421)(0 )()(),取其中的 ，由 Richardson 外推公式得2q 34)21()()( )(0)1(0222 kkkkk TIbIaI 设 ，则 ，且有)(2kbI)(1kT)(1k34)(0)(0kkT),12(),(4
7、(1kkabOfR如此重复 Richardson 公式可得 14)()()2(1mkkkmIIabI若记 ，则上式可记为)2(1kmabI)(T)(m14)()(mkkT,32,),210k100 实用数值分析解题指导 此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。8. 高斯(Gauss)求积公式Gauss 型求积公式是指具有 次代数精度的形如 插12nnkkbaxfAdxf0)()(值型求积公式，其节点 称为 Gauss 点。nxx,210下面介绍几种常用的 Gauss 型求积公式：（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式nkkxfAdxf01)()(其 Gauss 点为 Le
8、gendre 多项式)1()!1(2)(21 nnnn xdxL ),210(的零点，求积系数为212)()(knkkxA),(n（2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式102)()(nkkxfAdxf其 Gauss 点及求积系数为， 1,2cosnkxkk ),1(n ),210(（3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式01)()(nkkxxfAdfe其 Gauss 点为 Laguerre 多项式)()(111nxnxnedL ),210(n的零点，求积系数为第四章 数值微分与数值积分 101 21)(!knkxLA),10(nk（4）高斯-埃尔米特（Gauss Hermite）求积公式nkkxfAdxfe1)()(2其 Gauss 点为 Hermite 多项式)()1(22xnxnedH),210(的零点，求积系数为 21)(!knkxA),(nk
