1、一类中立型马尔科夫跳变系统的随机稳定性条件Xinghua LiuDept. of Auto, School of Information Science and Technology University of Science and Technology of ChinaHefei, ChinaE-mail: Hongsheng XiDept. of Auto, School of Information Science and Technology University of Science and Technology of ChinaHefei, ChinaE-mail: 摘要本文对确
2、定性和非确定性中立型系统的时变延时和马尔科夫跳变参数进行了研究。跳跃参数可被看做是一个连续时间，连续状态的马尔科夫过程。利用了李雅普诺夫函数和线性矩阵不等式的新型时滞依赖的随机稳定性判据。两个数值算例用来说明方法的有效性。关键词：中立型系统；马尔科夫跳变参数；时变延时；随机稳定.简介在过去的几年中，时滞依赖的稳定性和线性中立型系统的控制十分受到人们的重视。为了获得保守性更小的时滞依赖条件，人们已经做了很多的努力。其中用条件保守主义测量方法所得到的一个重要指标就是最大允许的时延上界。而时滞依赖条件往往是通过以整合重写延时期限的固定模式为基础的李雅普诺夫函数。然后利用边界技术的交叉项，时滞依赖的相
3、关标准而获得。根据4的分类，有四种基本的固定转换方法。在这四种固定转换方法中，广义系统变换法是其中最为保守的。还有一种不同的方法是使用参数模型转化技术和新的矩阵参数。参数模型转换可以分为两类：一类是矩阵参数可以自由选择的，由此而来的基于线性矩阵不等式（LMI） （参见2，18 ，19）的稳定条件，另一种是通过一些技术稳定性条件来变换线性矩阵不等式的矩阵变量中的参数（参见6） 。使用前一种方法并不会导致比广义系统矩阵保守性更小的结果。然而，当延迟微分项的系数矩阵包含随时间变化的不确定性时，这些方法并不能很好的处理出现的实例。另一方面，马尔科夫跳变系统已经吸引了越来越多的关注。这类系统非常适合结构
4、是随机突变的模型，例如，工作点的变化、突发环境的干扰、随机组件故障等等。几位作者已经研究了有关这些系统的一系列的控制和数据。(参见1,5,6,12-17,20,21).其中，特别是对连续时间的马尔科夫跳变系统具有不确定参数的鲁棒均方稳定性进行了研究5,6,14。现有方法对鲁棒稳定性分析的一个共同特点是，将它们视作线性系统或未知非线性的线性系统，如李氏型和假设的范数有界不确定性。此外，这些方法都是以独立于系统不确定参数的李雅普诺夫函数为基础的。需要指出的是，在这些方法中，由于公共的李雅普诺夫函数用于确保每一个有效参数的稳定性，所以是保守的不确定性无关。在本文中，我们将考虑一类不确定性中立型系统的
5、马尔科夫跳变参数和时变延时。首先，我们研究了标称系统，再扩展到不确定的情况下来研究它。某些保守性更小的时滞依赖稳定性判据便是由李雅普诺夫函数的新类型所得到。文中数值例子的给出说明了它的有效性和保守性。本文的其余部分安排如下：第 II 部分包含了问题的陈述和；第 III 部分介绍了主要的研究成果；第 IV 部分提供了数值例子来验证结果的有效性；第 V 部分则得出了一个简短的结论。A.符号在本文中，将使用下列符号： 和 分别表示 n 维欧几里得空间和集合中的所有 实矩阵。 (或者 )和 (或者 )表示矩阵 A 的或标量 X 的转置和逆， (A)和 1 1 表示一个是矩阵 A 的最大和最小特征值，
6、A 表示矩阵 A 的欧几里得范数，|a|表示 标量 a 的绝对值，E表示随机过程或矢量的数学期望，P 0 代表一个对称正定矩阵，I 为相应维度的单位矩阵， “*”表示一个对称矩阵的对称条件。此外，如果没有明确说明，就认为矩阵具有兼容的维度。.问题陈述与初步准备给定一个概率空间, ,P， 是其中的样本空间， 是事件代数，P 是定义在 上的概率 测度。 ,t 0 是一个齐次，有限状态的马尔科夫过程，它是右连续的并且在一个有限集 合 S = 1,2,3,N中取值，在该方式下的转移概率矩阵其中 t 0, 和 表示从方式 i 到 j 的变化速率。在任 log0()/=0 0(,)何状态或模式下，我们都有
7、.在本文中，我们考虑以下不确定中立型系统的马尔可夫跳变参数和时变时滞：其中 X(t) 是系统状态， 是一个中立型时滞常数。初始条件 是一个连续可微的向量 ()函数。将 的连续范数定义为()假定时变延时函数 d(t)满足： 其中 , 和 是不变的实值。12 0A ( ) ，B( ) ，C( ) 是常数矩阵，但 A ( ) ， B( ) ， C( ) 是不确定的。接下来为了简单起见，用 来表示 C( )， 表示 C( )， (t)= + (t)等等， =i S.那么假设本文中的可容许的参数不确定性满足以下条 件：其中 ， ， ， 是已知具有适当维度的常数矩阵， (t)是一个未知的且随时间变化 的矩
8、阵，它满足：在全文中，我们假定该参数矩阵 (t)是舒尔稳定。特别是，当我们考虑 (t)=0，我们得到 标称系统的表达式：定义 2.1 (Boukas 等5) 正如(1)和(2) 中所描述的随机稳定系统，如果存在正的常数 使得： 在结束这一节之前，我给大家提供如下结果，它们将推导出本文中的主要结论。它们将在下面给出的引理中出现。引理 2.1 (Ji 7) 给定一个对称分块矩阵其中 ， 和 具有适当维度。下面给出的三个条件是等价的：111222引理 2.2(Gu 10) 对于任何常数矩阵 H H 0 和标量 ，向量函数 ， 0积分 (s)H ds 和 (s)ds 是明确定义了的，那么下面的不等式成
9、立：0 () 0引理 2.3(Xie 11) 对于给定矩阵 Q = ，M 和 N 有合适的维度，下面对于所有 F(t)满足 (t)F(t) I，当且仅当存在一个标量 ，那么 0. 主要结论在本节中，我们首先考虑(6)中所描述的，扩展到不确定情况下的标称系统。下面的定理给出足够的条件来保证随机稳定的中立型系统中的马尔科夫跳变参数和时变延迟。A. 随机稳定性标称中立型系统定理 3.1 给出标量 ， ， ， 和 = ，如果存在对称正定矩阵， 1 2 1221那么由(6)和(2)所描述的系统是随机稳定的。其中 i S，j ,k =,1,2,3，l=1,2，使得下列 LMI有其中 i = 1,2,3,4
10、,5,6,是分块矩阵，例如证明：构建了一种新的合法的 Lyapunov 泛函候选如下其中以 作为其无穷小生成，然后根据(12)-(14),我们可以得到以下等式和不等式让我们定义应用引理 2.2 有通过 以及 (3)可得=()1)/12考虑我们把上面的等式和不等式(16)-(22)代入式(15)中，可得下面的不等式因此可以看出由于 0 ， +(1- ) 是 和 的凸组合。那么 +(1- ) 0 等价于(10)和1 1 2 1 2 1 2(11)。因此我们选择然后从 Dynkins 的公式让 t ，然后我们得到由定义 2.1，我们可知，系统(6)和(2)是随机稳定的。这就完成了证明。B.扩展到不确
11、定的情况在本小节中，我们认为可以通过(1)和(2) 中所述在不确定的情况下。我们得到下面的定理来保证基于定理 3.1 的不确定系统的随机稳定性。给定标量 ， 和， ， 1， 2 1， 2，如果存在对称正定矩阵12=21那么由(1)和(2)所描述的系统是随机稳定的。其中 i S，j ,k =,1,2,3，l=1,2，使得下列 LMI:其中已经在定理 3.1 中定义。， ， 证明：在定理 3.1 的基础上，我们直接替换 ， 和 ， ， +()+()，得到+()其中考虑到(26),由引理 2.1 我们有由(4)和(5)式的不确定描述有：就是说由引理 2.3 我们得到 因此，我们得到了线性矩阵不等式(
12、24)。同样地，我们可以得到线性矩阵不等式（25） 。最后，证明了定理 3.1。我们知道，(1)和(2)描述的不确定系统是随机稳定，这就完成了证明。 数值算例在本节中，两个数值算例都说明了该方法改进了以前一些的方法，比他们的更有效。例 1： (6)和下面的参数被用于描述的不确定系统：其中我们假定根据定理 3.1，我们用 Matlab 中的 LMI 工具箱，并得到一组矩阵的解决方案，以保证系统的随机稳定性。为了表明该方法的有效性，我们选择两种不同的初始状态，以验证该系统，我们将结果显示在下面的图 1 中。图.1 系统状态的轨迹例 2： 考虑不确定中立型马尔科夫跳变使用 N = 2 和下面的参数：
13、我们假定 并应用本文中 Qiu 等9,Sun 等8和定理 3.2 的1=0.05， 2=0.17， =2.6条件，并 作为上限。我们将结果放在表.1 中表.1 上限为 从以上两个例子中可以看出我们的方法比现有的某些方法具有更小的保守性。 结论在本文中，随机稳定性时滞中立型系统问题考虑了马尔科夫跳变参数。对确定性和不确定性系统的马尔科夫跳变参数进行了研究，并且通过引入新型的李雅普诺夫函数来介绍了保守性较小的时滞相关随机稳定性判据。最后两个数值算例又来说明理论结果的有效性和所进行的改进。致谢这项工作是由中国国家自然科学基金(61074033 和 61174061),国家重点科研项目(6123300
14、3)和中央高校的基本科研经费所支持的。作者要感谢副主编和审稿专家的建设性意见和改善本论文质量的建议。.参考文献1 C.E. de Souza and M.D. Fragoso, “HControl for Linear Systems with Markovian Jumping Parameters”, Control Theory and Advanced Technology, vol. 9, pp. 457-466, 1993. 2 C.H. Lien, “Stability and Stabilization Criteria for A Class of Uncertain Neu
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