1、习题 11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 ，质量为 ，求它的弹性fm系数。解：由公式 得：moMKf21mfKm2)(1-2 设有一质量 用长为 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子ml的质量和弹性均可忽略。试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2） 当外力去掉后，质点 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？mM（答： ， 为重力加速度）lgf210图 习题 12解：（1）如右图所示，对 作受力分析：它受重力 ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力 ，这mMmMg T
2、两力的合力 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。F设绳子摆动后与竖直方向夹角为 ，则sinl受力分析可得： sinmmgl（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与F位移的方向相反。由牛顿定律可知：2dmMt则 即 2dmMgtl2d0,gtl即 这就是小球产生的振动频率。20l01,2fl1-3 有一长为 的细绳，以张力 固定在两端，设在位置 处，挂着一质量 ，如图所示，试lT0xmM问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置 时，它 所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量 在此恢复力mM作用下产生振
3、动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 进行受力分析，见右图，m0)(2020xTxlTFx（ ， 。 ） 202)()(, xll2020)(xTxlTy0l)(0xlT可见质量 受力可等效为一个质点振动系统，质量 ，弹性系数 。mMmM)(0xlTk（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 ，方向为竖直向下。)(0xlTF（2）振动频率为 。mxlTK)(0（3）对 分析可得，当 时，系统的振动频率最低。20x1-4 设有一长为 的细绳，它以张力 固定在两端，如图所示。设在绳的 位置处悬有一质量为lT0x的重物。求该系统的固有频率。提示
4、：当悬有 时，绳子向下产生静位移 以保持力的平衡，并MM图 习题 1-3假定 离平衡位置 的振动 位移很小，满足 条件。 M00图 习题 14解：如右图所示，受力分析可得 002cos41TMggll又 ， ，可得振动方程为 0T20d2Tlt即 20d4Mtll001122Tgf M1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为 ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移 ，)cos(0ta速度表达式为 。in0v由于 ， ，0tt代入上面两式计算可得：；t0cos。vin振动能量 。2021amaME1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为 ，初速度为 ，试求其振动位移、速度、和能
5、量。00v解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 ，质量为 ，取正方向沿 轴，位移mKmMx为 。则质点自由振动方程为 （其中 ）20d,t20,mKM解得 0cos(),a0 00dincos()2avt tt 当 ， 时， 0t0tv00cs()av20001arctnv质点振动位移为 20001os(artn)v质点振动速度为 2000c(rt)2vv质点振动的能量为 2201maEMv1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加，试问：tt2sin1i(1) 在什么时候位移最大？(2) 在什么时候速度最大？解： ， tt2sin1idtco。ttt
6、 2sinsi22令 ，得： 或 ，0dt3kt kt经检验后得： 时，位移最大。2令 ，得： 或 ，02dtkt)41arcos(2kt经检验后得： 时，速度最大。t21-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示 )cos()cos(2211 tt试证明 )(ta其中 ，)cos(212121a 21cossiniarctn证明： )cs(2211tt122osincossintt12 1cs(co)i(in)t设 ，12A12(s)B则 = （其中 ）cosintt2cAtarctn()BA又 22121212ososB1siiin2121212(css)21o)又 arctn()BA12s
7、iniarct()cos令 221121(a则 )cos(t1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示( )twt21coss12试证明，)s(1ta其中 .,)cos(inrcta,)co2 2121121 wtwta 解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， )cos(212121 twa 其中， 。12w由三角形面积知，sin21sin21awt得 ati得 wttga22sin221)co(twtsin21故 tcoi21即可证。1-10 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数 Km 待求，现设法在此质量 Mm 上附加一已知质量 m，并测得
8、由此而引起的弹簧伸长 1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证 由胡克定理得 mgK m1 Kmmg/ 1由质点振动系统固有频率的表达式 得， .Mf20120204fmgfKm纵上所述，系统的质量 Mm 和弹性系数 Km 都可求解 .1-11 有一质点振动系统，其固有频率 f0 为已知，而质量 Mm 与弹性系数待求，现设法在此质量Mm 上附加一质量 m，并测得由此而引起的系统固有频率变为 f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由 得 mMKf210mmf20)(由 得 f0 ),()20Mf联立两式，求得 ，20fm204fKm1-12 设有如图 1-2-3 和图
9、1-2-4 所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出 它们的等效弹性系数。 解： 串接时，动力学方程为 ，等效弹性系数为 。0212mmKdtMmK21并接时，动力学方程为 ，等效弹性系数为 。)(212t mK211-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩 0100 可称 01 。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为 0.4 ，然后，使它振mkg kg动一下，测得其振动周期为 1 ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？s解：设该岩石的实际质量为 ，地球表面的重力加速度为 ，月球表面的重力加
10、速度M29.8gms为 g由虎克定律知 又 则 ,MFKxMg10.Kx则021T22019.854k又 则 .4x.xm则gK220.158sM故月球表面的重力加速度约为 ，而该岩石的实际质量约为 。. 2.5kg1-14 试求证 )1(cos)2cos()cos( ntatatat 12sinnt证 )1()2()( tjtjtjtj aeaeae1jtj sinco1j jaeaetjntj 图 1-2-3 图 1-2-42cossin2isin2is2 jaejaetjtj )1(1)21()( sisisi ntjjtjjjtj eaeeee同时取上式的实部，结论即可得证。1-15
11、有一弹簧 在它上面加一重物 ，构成一振动系统，其固有频率为 ，mKmM0f(1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？0f解：固有频率 。moMKf21（1） ，故应该另外串接三根相同的弹簧；0f4（2） ，故应该另外并接一根相同的弹簧。02fmmK21-16 有一直径为 的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质d量为 ，弹性系数为 。试求该扬声器的固有频率。mMm解：该扬声器的固有频率为 。012mKfM1-17 原先有一个 0.5的质量悬
12、挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这 0.5质量的振幅在 1s 内减少到初始值的 1/e 倍，试计算：（1）这一系统的力学参数 Km，R m，f 0；（2）当 0.2的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过 1s 后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，K mmg/所以 Km 0.29.8/0.04=49N/m1/e故 sNRMm/2Hzfw57.1.04921020 （2）系统所具有的能量 JKEm03922（3）平均能量 Jet3201.511-18 试求当力学品质
13、因素 时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 ， ，试mQ 00v讨论解的结果。解：系统的振动方程为： 02mmKdtRtM进一步可转化为，设 ，mR2022dtt设： tie于是方程可化为： 0)2(20tjj解得： )(20jte)(20方程一般解可写成： )(2020ttt BeA 存在初始条件：，0t0vt代入方程计算得：，20vA20B解的结果为： )(2020ttt ee其中 ， 。20vA20vB1-19 有一质点振动系统，其固有频率为 ，如果已知外力的频率为 ，试求这时系统的弹性抗1f 2f与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 ，质量抗为MKM已知 ，
14、 05fHz30fz则 ()MK2220241(5)136MfK1-20 有一质量为 0.4kg 的重物悬挂在质量为 0.3kg，弹性系数为 150N/m 的弹簧上，试问：(1) 这系统的固有频率为多少？(2) 如果系统中引入 5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1) 考虑弹簧的质量， .Hz7623/.041523/210 smMKf(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量 Mm为 Mm+Ms / 3.， .5.02mMR z6253/.041221
15、00 f(3) 品质因素 ，6.58.6 mRQ位移共振频率： .Hz39210rf(4) 速度共振频率： ，64.0fr加速度共振频率： .z9210mmrQff1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于 。m2解：系统每个周期损耗的能量 TvRWEamF21，mamfMvTR21发生速度共振时， 。0f。mmQRMfE2001-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率 ；（2）假定 与 为在 两侧，其平均损耗功率比 下降一半时所对应的两个频率，则有0f1f20f 0f.1
16、2fQm证明：（1）平均损耗功率为 （ 为力阻， 为速度振幅）2011dTRRmaWtvRav质点强迫振动时的速度振幅为 ( 为外力振幅， 为固有频率， 为质量，220,(1)amaFQzvMaF0mM为力学品质因素，频率比 ）mQ0fz当 =1 即 时，发生速度共振， 取最大值，产生最大的平均损耗功率。z0fav（2） 21amRvW2axax 201maMQFR= 则 即 （1）Rmax12amv)(20ma2av20mMQF把 带入式（1） ，则 （2）220,()aammFzvMQ2)(z由式（2）得 解得 取z2 mQz242mQz411解得 取m)1(212则 即mQz12mQff
17、01210212f1-23 有一质量为 0.4的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为 160N/m 的弹簧上，设系统的力阻为 2Ns/m，作用在重物上的外力为 。tNF8cos5（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为 5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？解：（1）由强迫振动方程 ，得FmmKdtRtM2tdtt 8cos51604.02则位移振幅 RwKFmmaa 369.)(22速度振幅 swva/96.0加速度振幅 2234平均损耗功率 )(87.1wvRPam（
18、2）速度共振时 Hz158.320 mr MRKf则位移振幅 wFmaa 6.0)(22速度振幅 swva/495.加速度振幅 226平均损耗功率 )(.1wvRPam1-24 试求出图 1-4-1 所示单振子系统，在 ，0t 0v初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论 与 两种情形下，当 时解的结果。0解：对于强迫振动，解的形式为： )cos()cos(00 tteat其中 ， 。maZF20初始条件： ， ，v代入得： 0coss0ainico0a解得： 22,02220 )(cossinco)(sin)(co a 22022200 )(cssic)(si)(csr令 ,022 o
19、no)(sin)(co G得：。)cs()cs(020 ttGeata当 时， ， ， ， ，0mRrtn0mRX200， ，20a0)cos()2cos(0tta。inta当 时， ，达到位移共振。01-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力 的作用，试求其稳态振动的位移tFf021sin振幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为 2 200d1()sin()cos2mmFMRKttttt则 （1）212mtt（2）2 0dcosMRKttt由式（1）得 12m令 代入式（2）得 jtFe0001j2()FmmKRM则 122000()FmmKRM0mR01A1-26 试求如图所示振动系统
20、，质量块 M 的稳态位移表示式 .MFaejwtK1,R1 K2,R2解：对质量块进行受力分析，可得质量块 M 的运动方程为：wtaKRMj2121)()(该方程式稳态解的一般形式为 ，将其代入上式可得：tej)()( 2121MjRjwFaa )2(j0|a其中 ， .2121)(| Kaa 210arctnRKM故质量块的稳态位移表示式可以写为：.)2cos(|0wta1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力 作用于质量 上。 的振动通过耦合tjaeF1 1M1弹簧 引起 也随之振动，设 和 的振动位移与振动速度分别12K2M12M为 ， 与 ， 。试分别写出 和 的振动方程，并求解
21、方程而证明当稳态振动时v1与 。12121)(FZZv 121212)(FZv其中，111)(RKMj，222)(jZ图 1-4-1。1212jKZ解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程： 1211121 )(FKdtRtM 0)(121222 KdtRtM设：，tjAe1tjBe2，tjVvtjv于是方程可化为： aFBKRjMA1212121)(022 AB设：， ， 。111)(RKMjZ222)(RKMjZ121jKZ对上面的两个方程整理并求解可得12121)(FZZv121212)(1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：，aApF其中
22、 为常数， 为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈Aap式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为 ，其中 ， 为常数，则 随 变化。aApFapaF图 习题 1-27电动换能方式传声器，其开路电压输出为 ，要使 均匀恒定，则要 恒定EBlvv系统处在质量控制区时 ，此时 与频率 无关，故在一较宽的频率范围内，aamFAPvMa传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这
23、一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压 与振膜位移有如下关系：EDE0只有在力阻控制区，maaRApF即在此控制区，输出电压 与频率 无关。E传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为 的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，0S振膜的辐射阻变为 （参见5.5） 。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为0SCRr恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 21raWRv20aCSv其中 ， ， 均为常数，要使 均匀，则
24、应不受的 影响。故振动系统应工作在力阻0C0S2av控制区，此时 （其中 为频率恒定的外力， 也恒定） 。amFvRa m1-31 有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面 由弹簧 支撑着，mMmK 现欲在较宽的频率范围内，在音圈上施加对频率恒定的 电流时，能使台面产生均匀的加速度，试问其振动m 系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：音圈通以 电流时，在磁场I 下产生电动力，由 可见，只有在质量控制BILFaMm 区 时，产生的加maMF速度与频率无关，是均匀的。1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示， 已知台面的质量图 习题 1-31Mm=1.5103，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由
25、两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为 600时，产生的位移 3，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为 1、频率为 20Hz 时，隔振台 Mm 将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数 K=6009.8/0.03=1.96105N/m每组弹簧的总劲度 K1=K/2四组弹簧并联后的劲度 K2=4 K1=2 K =3.92105 N/m则固有频率 Hz57.0Mf由振动方程 ，将 ， 代入得，0)(m jwtaejwtae0168.2wKaa1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力 F0=F10ejt作用于质量块 Mm 上，试求传递在基础上力 F 与 F
26、0 的振幅比.MmKm , RmF0F解：对质量块进行受力分析，可得质量块 Mm 的振动方程为：wtmmeKRMj10其稳态解的一般形式为 .)cos(ta其中 ， .221010| mma KMRFZF mRKarctn弹簧传递给基础的作用力为 ，则 .)cos(ta aF由此传递给基础的力 F 与 F0 的振幅比 .2210 mmF KMRD1-34 有一振动物体产生频率为 ，加速度振幅为 的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假f10a定已知加速度计振动系统的固有频率为 ，力学品质因素为 ，音圈导线总长为 ，磁隙中的磁通量0mQl密度为 。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？B解：动圈式
27、加速度计测量由 得 0mMQR0mQ由 得 012mKf 204mfM则 10aEBlZ10122()mmlaKR 10 1222mmlM 1012 42220 0468mBlaf ffQ 1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成，thFasin)i1(1其中 为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。h解：外力表达式为 thFasin)i1(1)cos()co(2cos 11tthFta用指数形式表示外力为 tjatjatjaF heee )()()( 112振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为20)cos()(21)cos( 3131
28、tZhtZFaa)cs()( 2121tFa其中： ；mRKMarctn1；m112)(arct；mRKM113)(arctn；221 )(mZ；2112 )(mKMR。21123 )(mmZ1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为 （2(1)FatT）(1),01,2kTtk试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为 （1）2d2()mmFatMRKttt T又 （ ） （2）01()cosin,FntAtBt其中 01dTAt2()cos0nFtn02iTaFBt式（2）也可表示为 （3）0()cos()Fnntt其中 ， 2annFAB2artanF把式（3）表示
29、成为复数形式 j()0()entFnt则式（1）可写成 （4）2 j()0dntmmnMRKtt设 ，代入式（4）可得 0nj()0ejntnnFZ其中 jj()mnnmZRX取 的实部得 0 cos)2nnnFtZ 20 cos()2annnFtZ式中 22()mnmKZRMarctarctnnnmmXR1-37 设有如下形式的外力 ),210(, 1, kTktFakT作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得 0)cos()(nnFtt其中 ， .2nnBAFnABart，0d)(10TFt，cos2ntw. 为nFnFttTB anaFn 04)1(
30、2di)(0 由此 ， ，即n)(2为；anaaa FF4,54,34,1 .)(2,2,251 为na由(1-5-14)得质点振动系统得位移 0 )cos(n nnwtZF(n 为奇数)cos(4)3cos(94)(4 211 naaa wtZFwtZFt 习题 22-1 有一质量为 ，长为 的细弦以 的张力张紧，试问：mlF(1) 当弦作自由振动时其基频为多少？(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是 ，求基频振动的总能量。B(3) 距细弦一端 处的速度振幅为多少？4l解：（1）简正频率 ，且线密度Tlnf2lm基频 。mllf11（2）基频振动的总能量 。22016lTBlE（3）弦的位移的
31、总和形式 1 )cos(in),( ntxkxt 速度表达式为 1 )i()i(,),(n nntBtxtv距一端 处的速度振幅m25.0 )4si(214 lTlVnlxa in1mlBn)43si(2143 lTlVnlxa in1mlBn2-2 长为 的弦两端固定，在距一端为 处拉开弦以产生 的静位移，然后释放。l 0x0（1）求解弦的振动位移；（2）以 为例，比较前三个振动方式的能量。30lx解：弦的振动位移形式为： 1 )sincos(sin),(ntDtCxkxt 其中 ， ， ，lnlnnnBconBsi（1）由初始条件可得： )()(0)0(00lxxlt()(00 lttv
32、又 lnnlnxdkvDC0si)(2则 0020 0 sin)(sin)(i xllxxdklxxllnn n则 n0sinCB tlcnlxlnxlntxlxt nn os2isi)(2)cos(2si),( 0101 （2） 22244nnn BlTlE当 时，lx310 3sin93si)(32020 llCBn 则 lTlTE202201 164)si9(4l202633E2-3 长为 的弦两端固定，在初始时刻以速度 敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。l 0v解：弦的振动位移表达式为1 )sincos(sin),( ntDtCxkxt 可得速度表达式为1 )cossin(sin),(
33、),( nnttxktxtv由题可得初始条件：； 0txlvt002ll,2通过傅立叶变换可得：；nC。)2sii(430kllklvDnn位移表达式为1si),(nntxxt其中 。)2sii(430kllklvDnn2-4 长为 的弦两端固定，在初始时刻以速度 敲击弦的中心，试证明外力传给 弦的初0v动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。解：初始条件(0)20tlxtv弦的总位移为 1(,)sin(cosin),ntxkxCtDt其中 ， （ ）cos,innnCBD,nlnkc又 0n2()idlnvxk0n2sidlnvx02(1os)vlnn当 为偶数时， 2460D当 为
34、奇数时， ， ， ，01vlc3219vlc05241vlDc故 ，nBn又弦振动时的总能量为 1nE21()4nTBl2041()95Tvlc 20()8vlc20vcl20()l （ ）201m0kE2T外力传给弦的初始动能为 0kv2-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离 处，施加一垂直于弦的力 ，试求在 力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。l tjaeFlx提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：和 。21FxT212-6 有长为 ，线密度为 的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物 ，已知弦所受的张力 ，l MT如图所示。试求（1）
35、该弦作自由振动时的频率方程；（2） 假设此重物 比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。M图 26解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件为 lxlxtMT20弦的振动位移为（其中 ）)cos()incos(), utxBuAxt u2nf当 时，得 则0x0A)cos(i,(utxBtts2t)cos(in2utxuxtB带入边界条件可得： )cos(utlT )cos(in2utlMB即 tanMlcTluMlcuS2tan（其中 弦的质量为 ，线密度为 ）,s令 ， ，则 ，这就是弦作自由振动时的频率方程。lcurSrtan（2）当 时 1，故可近似为 mM342tan则 可简化为 求
36、解这一代数方程，可得近似关系为rtan42.321.3且 132xx)1(213则 12rMsS3131ss又 ， lcflurn,Tls则 31210 sslf 312ssl （其中 ）ssMlTsmKlTm2-7 长为 l 的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移 0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为.)cos()incos(), tkxBAxt由棒一端固定一端自由的边界条件得 )2(01|lxx由(1)式 A0.0)cos(wtA由(2)式 .0)cos(wtklBcoskl ),3
37、21()2(nln由此各阶简正频率对应的位移表达式为.)cos(i),( nnn txBxt 棒的总位移为各简正频率位移之和，即 .1i,n nntkt棒的初始条件为 )4(03|0ttlx由(4) .0sinn由(3) xklBnndsi)(2)co(0.200 )(i1xlnn2-8 有一长 1m、截面为 110-4m2 的铝棒( =2.7103kg/m 3)，两端自由.(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？(2) 如果在一端负载着 0.054kg 的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为.)co
38、s()incos(), tkxBAxt由棒两端自由的边界条件得 )2(01lxx由(1)式 B0.0)cos(wtBk由(2)式 inlA0sinkl ),321(nln.lf2(1) 棒作纵振动的基频为 Hz.25017.8631 lcf该简正频率下的位移表达式为： .)cos(),( 11 txkAxt当 ，即 时，位移振幅最小且为零，由于 x 的取值范围为0, l，得知0cos1xkln)21(m 的点位移振幅最小.52lx(2) 当在一端负载时，由 (2-2-25)得 ，即 ，利用数值方法可以求得2.0tanmMkl k2.0tank1=2.65. 该简正频率下的位移表达式为： .)c
39、os(),( 111 txAxt当 ，即 时，位移振幅最小且为零，由于 x 的取值范围为0, l，得知0cos1xk65.2)(nx1=0.59m 的点位移振幅最小 .2-9 有一长为 l 的棒一端固定一端有一质量负载 Mm。（1）试求棒作纵振动时的频率方程；（2）如果棒的参数与 2-8 相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？解：（1）棒的位移方程为 )cos()incos(), wtkxBAxt由边界条件得： mMklctgAtMxESlxml 0)()(02故频率方程为： lctgkl（2）将 2-8 参数代入得 )2.0(,2.0mMklctglt.由牛顿迭代法知： k1
40、=1.3138则 （Hz）3105.2cf基频振幅为： )1(,sin11xkB当 x=1 时， 达到最大，即振幅最大。xi2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作 =1,2 模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位n置 的分布图。解：两端自由的棒：两端固定的棒:2-11 设有一长为 ，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为 ，初速l xlcos0度 。求该棒振动位移表示式。0xv解：棒做纵振动时，其方程的解为： )cos()incos( tkxBAkx两端自由，即不受应力作用， lncflknlxBxl 2000所以， )cos(1nnnxkA)i(1 nnn ttv nnxd
41、lllAAkAxv xdkllxlnn nnnn nn0si ,32,011co2co 0si)si()( cos2coco)sco)(01010即 ),(,1s1 A所以 )cos(tlxl2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即 处，而0x自由端取在 处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。l附：。 (2-2-20)lcnf4)12(),32(解：棒的振动位移表达式 )cos()sincos(), txkBxkAxtn边界条件： ； ，0xlxt代入位移表达式解得： ；n。lk21于是可推出。lcnf4)(),321(若将自
42、由端置于原点，固定端置于 处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。x2-13 长为 的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（ ） 。l tFacos（1）试求棒作纵振动时的位移表达式；（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为 。lESKm解：棒纵振动位移的一般表达式为： )cos()incos( tkxBA满足边界条件： )cs(s)( 00 tklESFtFxESAAlx所以， kxltkltklFA ino)co(in)cos( 当频率较低或棒很短时，即 时， ，1l1slkxin有 lESSlESk1即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为 。lE
43、S2-14 长为 的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为 ，试求以l 0来表示的棒的基频位移。0解：设棒在 端钳定， 端自由，于是边界条件可写为：0xlx， ，0x0x， 。2lx3lx代入横振动方程 )cos(sinco),( txDCxBshAcxt可得 ， ，并有如下关系CADB0)sin()cos( lhBllhAcoins设 ，并用简正值（n=1,2,3,）代表 的一系列根值。l，nnchsABoi 1osnh自由端基频位移振幅)(10lY)sin(cosi 11111 hch11os2in2A)in(2c101h基频位移 ，os),(11 txYAt其中： )sin(cis)( 1111 xllhlxlchY 。)1sin(2o101A2-15 长为 的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移 ，试解棒作横振动的位l xlt0移表达式。解：初始条件和边界条件为： （1）; (2)0x 0x(3); (4)20xl
