1、一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 或 （a、b0 ），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出 a、b 或利用待定系数法.例 1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题. 一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （kR ，且 k0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.例 2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为 F
2、1、F2，直线 过 F2 且与直线 F1F2 的夹角为 ，且 ， 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点为P，线段 PF2 与双曲线的交点为 Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.解 以 F1F2 的中点为原点，F1、F2 所在直线为 x 轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a0 ，b0 ），设 F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与 y 轴交点 ，由定比分点坐标公式，得 Q 点的坐标为 ，由点 Q 在双曲线上可得 ，又 ， ， ，双曲线方程为 .评 此例用的是直接法.二、双曲线定义的应用1、第一定义的应用例 3 设 F1、F2 为双曲线 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F1PF2
3、=900，求 F1PF2 的面积.解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .F1PF2=900， ， ， .2、第二定义的应用例 4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 l，能否在双曲线左支上找到一点 P，使 是 P 到 l 的距离 d 与 的比例中项？解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ， ， ，又 ，即 ，解之，得 ， ， ， 矛盾，故点 P 不存在.评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、 或其关系，解题过程将复杂得多.三、双曲线性质的应用例 5 设双曲线 （ ）的半焦距为 c，直线 l 过（a，0 ）、（0，b）两点，已知原点到 的距离为
4、，求双曲线的离心率.解析 这里求双曲线的离心率即求 ，是个几何问题，怎么把题目中的条件与之联系起来呢？如图 1， ， ， ，由面积法知 ab= ，考虑到 ，知 即 ，亦即 ，注意到 ao,a1)，图象恒过点（0，1），单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a1 和 0o,a1) 图象恒过点（1，0），单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a1 和 00，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函
5、数的图象），直接比较大小。 中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本应用：放缩，变形； 求函数最值：注意：一正二定三相等；积定和最小，和定积最大。 常用的方法为：拆、凑、平方； 三、绝对值不等式： 注意：上述等号“” 成立的条件； 四、常用的基本不等式： 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差
6、比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证 （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： 添加或舍去一些项，将分子或分母放大（或缩小） 利用基本不等式，（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 十、不等式的解法： （1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （2）绝
7、对值不等式：若 ，则 ； ； 注意：(1）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： 对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；(2).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (3）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； （5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （6）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述
8、情况则一般需要讨论： 不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. 在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. 在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要讨论。 十一、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用
9、等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3 ）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. 函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. 分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类
10、应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列an的通项公式 an： 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系：an= 10、等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中 a1 为首项、ak为已知的第
11、 k 项) 当 d0 时，an 是关于 n 的一次式；当 d=0 时，an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式：Sn= Sn= Sn= 当 d0 时，Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0；当 d=0 时（a10），Sn=na1是关于 n 的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项，an0) 13、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时，Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式)； 当 q1 时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列an的任意连续 m 项的和构
12、成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。 15、等差数列an中，若 m+n=p+q，则 16、等比数列an中，若 m+n=p+q，则 17、等比数列an的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。 18、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。 19、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列 an bn、 、 仍为等比数列。 20、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等
13、差的设法： a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法： a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 24、an为等差数列，则 (c0)是等比数列。 25、bn（bn0）是等比数列，则 logcbn (c0 且 c 1) 是等差数列。 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 26、分组法求数列的和：如 an=2n+3n 27、错位相减法求和：如 an=(2n-1)2n 28、裂项法求和：如 an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和：30、求数列a
14、n的最大、最小项的方法： an+1-an= 如 an= -2n2+29n-3 an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 31、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解： (1)当 0,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 十二、平面向量 1基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2 加法与减法的代数运算： (1)若 a=（x1,y1 ）,b=（ x2,y2 ）则 a b=（x1+x2,y1+y2 ） 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：
15、 = (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; 3实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1) = ; (2) 当 a0 时， 与 a 的方向相同；当 a0 时， 与 a 的方向相反；当 a=0时，a=0 两个向量共线的充要条件： (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得 b= (2) 若 =（ ） ,b=（ ）则 b 平面向量基本定理： 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2 4P 分有向线段 所成的比： 设 P1、P2 是直线 上两个点，点 P 是
16、上不同于 P1、P2 的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点 P 分有向线段 所成的比。 当点 P 在线段 上时， 0；当点 P 在线段 或 的延长线上时， 0 ； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）, （ ）；则 （ 1）， 中点坐标公式： 5 向量的数量积： （1）向量的夹角： 已知两个非零向量 与 b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与 b 的夹角。 （2）两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与 b，它们的夹角为 ，则 b= bcos 其中bcos 称为向量 b 在 方向上的投影 （3）向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则 e = e
17、= cos (e 为单位向量); b b=0 （ ，b 为非零向量）; = ; cos = = (4) 向量的数量积的运算律： b=b ;( )b= ( b)= ( b);( b)c= c+bc 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 十三、立体几何 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线
18、、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 直线与平面垂直的证明方法有哪些？ 直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是00.900 三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关
19、系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题点到面的距离问题 (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： 定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； 垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?高二关键公式向量公式： 1.单位向量：单位向量 a0=向量 a/|向量 a| 2.P(x,y) 那
20、么 向量 OP=x 向量 i+y 向量 j |向量 OP|=根号（x 平方+y 平方） 3.P1(x1,y1) P2(x2,y2) 那么向量 P1P2=x2-x1,y2-y1 |向量 P1P2|=根号(x2-x1)平方+(y2-y1)平方 4.向量 a=x1,x2 向量 b=x2,y2 向量 a*向量 b=|向量 a|*|向量 b|*Cos=x1x2+y1y2 Cos=向量 a*向量 b/|向量 a|*|向量 b| (x1x2+y1y2) = 根号(x1 平方+y1 平方)*根号（x2 平方+y2 平方） 5.空间向量：同上推论 （提示：向量 a=x,y,z） 6.充要条件： 如果向量 a 向
21、量 b 那么向量 a*向量 b=0 如果向量 a/向量 b 那么向量 a*向量 b=|向量 a|*|向量 b| 或者 x1/x2=y1/y2 7.|向量 a向量 b|平方 =|向量 a|平方+|向量 b|平方2 向量 a*向量 b =(向量 a向量 b)平方三角函数公式：1.万能公式 令 tan(a/2)=t sina=2t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) tana=2t/(1-t2) 2.辅助角公式 asint+bcost=(a2+b2)(1/2)sin(t+r) cosr=a/(a2+b2)(1/2) sinr=b/(a2+b2)(1/2) tanr=b/a 3.三倍角
22、公式 sin(3a)=3sina-4(sina)3 cos(3a)=4(cosa)3-3cosa tan(3a)=3tana-(tana)3/1-3(tana2) 4.积化和差 sina*cosb=sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2 5.积化和差 sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2 sina-sinb=2sin(a-b)/2cos(a+b)/2 cosa+cosb=2cos(a+b)
23、/2cos(a-b)/2 cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2高一知识点一 集合与简易逻辑集合具有四个性质 广泛性 集合的元素什么都可以确定性 集合中的元素必须是确定的，比如说是好学生就不具有这种性质，因为它的概念是模糊不清的互异性 集合中的元素必须是互不相等的，一个元素不能重复出现无序性 集合中的元素与顺序无关二 函数这是个重点，但是说起来也不好说，要作专题训练，比如说二次函数，指数对数函数等等做这一类型题的时候，要掌握几个函数思想如 构造函数 函数与方程结合 对称思想，换元等等三 数列这也是个比较重要的题型，做体的时候要有整体思想，整体代换，等比等差要分开来，也
24、要注意联系，这样才能做好，注意观察数列的形式判断是什么数列，还要掌握求数列通向公式的几种方法，和求和公式，求和方法，比如裂项相消，错位相减，公式法，分组求和法等等四 三角函数三角函数不是考试题型，只是个应用的知识点，所以只要记熟特殊角的三角函数值和一些重要的定理就行五 平面向量这是个比较抽象的把几何与代数结合起来的重难点，结体的时候要有技巧，主要就是把基本知识掌握到位，注意拓展，另外要多做题，见的题型多，结体的时候就有思路，能够把问题简单化，有利于提高做题效率高一数学必修 1 第一章知识点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异
25、性,(3) 元素的无序性, 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员， 太平洋, 大西洋,印度洋, 北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1） 列举法： a,b,cR| x-32） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x2 ,x| x-323） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4） Venn 图 :4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集
26、 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含 ”关系子集注意： 有两种可能（1 ） A 是 B 的一部分，；（2 ）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2“相等” 关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”A即： 任何一个集合是它本身的子集。 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)B,且 A真子集:如果ACC ,那么 AB, B如果 AB 如果 A A 那么
27、 A=B同时 B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集 三、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作A B（读作A 交 B），即 A B=x|x A，且 x B由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：A B（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B)设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫
28、做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSA= 韦恩图示 性 质 A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B AA B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 .4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则
29、的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= .7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合
30、A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际
31、问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2)
32、画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 f：AB6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如
33、果 y=f(u)(uM),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性( 局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的
34、单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2 D，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）(B)图象法 (从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(
35、x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f
36、(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数(2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本 p36 页）1 利用二次函数的性质
37、（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a， b上单调递增，在区间b，c 上单调递减则函数 y=f(x)在x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a， b上单调递减，在区间b，c 上单调递增则函数 y=f(x)在x=b 处有最小值 f(b)；例题：1.求下列函数的定义域： 2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ 3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 4.函数 ，若 ，则 = 6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式7.已知函数 满足 ，则 = 。8.设 是 R 上的奇
38、函数，且当 时, ,则当 时 = 在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： (2) 10.判断函数 的单调性并证明你的结论11.设函数 判断它的奇偶性并且求证：数列3等差数列的基本性质公差为 d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d公差为 d 的等差数列，各项同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd若 a 、 b 为等差数列，则 a b 与ka b(k、b 为非零常数)也是等差数列对任何 m、n ，在等差数列 a 中有：a = a + (nm)d ，特别地，当 m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性、一般地，如果 l，
39、k，p，m，n，r，皆为自然数，且 l + k + p + = m + n + r + （两边的自然数个数相等），那么当a 为等差数列时，有：a + a + a + = a + a + a + 公差为 d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为 kd( k 为取出项数之差)如果 a 是等差数列，公差为 d，那么，a ，a ，a 、a 也是等差数列，其公差为d ；在等差数列 a 中，a a = a a = md (其中 m、k、 )在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项当公差 d 0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大
40、；当 d0 时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d0 时，等差数列中的数等于一个常数设 a ，a ，a 为等差数列中的三项，且 a 与 a ，a 与 a 的项距差之比 = （ 1），则 a = 5等差数列前 n 项和公式 S 的基本性质数列 a 为等差数列的充要条件是：数列 a 的前 n 项和 S 可以写成 S = an + bn 的形式 (其中 a、b 为常数)在等差数列 a 中，当项数为 2n (n N )时，S S = nd， = ；当项数为(2n1) (n )时，S S = a ， = 若数列 a 为等差数列，则 S ，S S ，S S ，仍然成等差数列，公差为 若两个等差数列 a
41、、 b 的前 n 项和分别是 S 、T (n 为奇数)，则 = 在等差数列 a 中，S = a，S = b (nm) ，则 S = (ab)等差数列a 中， 是 n 的一次函数，且点（n， ）均在直线 y = x + (a )上记等差数列a 的前 n 项和为 S 若 a 0，公差 d0，则当 a 0 且 a 0 时， S 最大；若 a 0 ，公差 d0 ，则当 a 0 且 a 0 时，S 最小3等比数列的基本性质公比为 q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为 q ( m 为等距离的项数之差)对任何 m、n ，在等比数列 a 中有：a = a q ，特别
42、地，当 m = 1 时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性一般地，如果 t ，k，p，m，n，r，皆为自然数，且 t + k，p，m + = m + n + r + (两边的自然数个数相等 )，那么当a 为等比数列时，有：a a a = a a a 若 a 是公比为 q 的等比数列，则| a |、a 、ka 、 也是等比数列，其公比分别为| q |、q 、q、 如果 a 是等比数列，公比为 q，那么，a ，a ，a ，a ，是以 q 为公比的等比数列如果 a 是等比数列，那么对任意在 n ，都有 a a = a q 0两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且
43、公比等于这两个数列的公比的积当 q1 且 a 0 或 0q 1 且 a 0 时，等比数列为递增数列；当 a 0且 0q1 或 a 0 且 q1 时，等比数列为递减数列；当 q = 1 时，等比数列为常数列；当 q0 时，等比数列为摆动数列4等比数列前 n 项和公式 S 的基本性质如果数列a 是公比为 q 的等比数列，那么，它的前 n 项和公式是 S = 也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q = 1 处因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是必不等于 1，如果 q 可能等于 1，则需分 q = 1和 q1 进行讨论当已知 a ， q，n 时，用公式 S = ；当已知 a ，q，a 时，用公式 S = 若 S 是以 q 为公比的等比数列，则有 S = S qS 若数列 a 为等比数列，则 S ，S S ，S S ，仍然成等比数列若项数为 3n 的等比数列(q1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 与 T ，次 n项和与次 n 项积分别为 S 与 T ，最后 n 项和与 n 项积分别为 S 与 T ，则 S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列
