1、一个对称群是以对称变换()若一个平面图形 K 在平面刚体运动 m 的作用下仍与原来的图形重合，就说 K 具有对称性， m 叫做 K 的对称变换)为元素的集合。(对称变换举例：正三角形在下面六个平面刚体运动中保持不变：（1）恒等变换。记作 I。（2）关于对称轴 r1 所在直线的反射。记作 r1。（3）关于对称轴 r2 所在直线的反射。记作 r2。（4）关于对称轴 r3 所在直线的反射。记作r3。（5）以重心 O 为中心转 120 的旋转，记作 1。（6）以重心 O 为中心转 240 的旋转，记作 2。正三角形的六个对称变换组成的集合记作 D3，即D3=I,r1,r2,r3,1,2。)在对称群中，
2、e 是恒等变换，对称变换的逆变换是逆元，对称变换的复合仍然是对称变换。在一个对称群的所有对称变换下不变或协变的状态或运动规律具有这个群的对称性。例如：球在转动群的所有对称变换下不变，因此球具有转动对称性。对称性的一个用途是分类。例如：按照几何对称性可以把晶体分为 32 类，再考虑磁性，还可以找到 58 类晶体，即共有 90 类磁性晶体的对称方式。对称性更重要的用途是寻找守恒量。如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，且它的最低能量状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都是一个守恒量。假设时空是均匀的和各向同性的，那么空间平移、时间平移、时间-空间平移和空间转
3、动都是对称变换，这些变换构成非齐次洛伦兹群，即庞加莱群。在庞加莱群中，与空间平移生成元对应的是动量，与时间平移生成元对应的是能量，与时间-空间平移生成元对应的是能量-动量，与空间转动生成元对应的是角动量。因此，空间平移对称性对应于动量守恒，时间平移对称性对应于能量守恒，时间-空间平移对称性对应于能量-动量守恒律，空间转动对称性对应于角动量守恒。能量-动量守恒律可以推出 E=mc2。自由粒子的内部性质用守恒量描述，运动性质用不变量描述。能量、动量、角动量是庞加莱群的守恒量，但不是不变量。质量和总自旋是庞加莱群的不变量。曾大江认为时空不是严格均匀和各向同性的，且时空不能独立于能量-动量而存在。因此
4、，能量-动量守恒是近似的，时空-质能守恒是更高的对称性的守恒律。除时空的几何对称性外，还存在代数对称性。全同粒子交换对称性把粒子分为玻色子和费米子两大类。玻色子的波函数在粒子交换下完全对称，具有整数自旋，满足玻色-爱因斯坦统计。费米子的波函数在粒子交换下全反对称，具有半整数自旋，满足费米-狄拉克统计。处于同一量子态的系统是全同的。两个或多个全同的子系统构成一个总系统时，交换对称性使得总系统的量子态是全对称的或全反对称的。全同性效应可以解释多种现象。例如：电子的全同性及其波函数的全反对称性可以解释元素周期表的排列。 4He 的全同性及其波函数的全对称性可以解释超流动性。曾大江认为严格的全同是不存
5、在的。两个粒子至少其时空位置是不同的，否则就不能称为两个粒子。如果时空不是严格均匀和各向同性的，那么处于不同时空位置的两个粒子就不可能全同。除非时空可以独立于物质而存在，否则处于不同时空位置的两个粒子也不可能全同。因此，人类目前所提出的对称性和守恒律只是在当前的实验精度下是对称和守恒的。不对称是绝对的，对称是相对的和近似的。在量子场论中，所有粒子都是相应的场的量子。场是物质的基本形态。场量在所有时空点都存在。如果场的对称变换在所有时空点上同时进行，这样得到的对称性是整体对称性。如果在时空的每一点独立地进行对称变换，所得到的对称性称为定域对称性。连续的整体对称性导致守恒流，满足守恒方程。例如：电
6、流守恒方程。守恒流是四维矢量，沿时间轴的分量称为荷密度。荷密度对三维空间的积分是一个守恒量，称为守恒荷，不随时间变化。场的能量、动量、角动量和电荷都是相应的整体对称性的守恒荷。守恒律使得物质运动状态只能在具有相同守恒量的状态之间进行转化。定域对称性要求质量为零的矢量规范场的存在。这是定域对称性与整体对称性最大的区别。电磁场的规范对称性就是定域对称性，其对称群是交换 U(1)群，该群只有一个生成元，对应一个矢量规范场。电磁规范变换群 U(1)的对称性对应于电荷守恒。场量和连续介质的状态参量具有多个分量，组成一个矢量空间，称为场量空间。场量是时空点的函数，是时空流形到场量空间的映射。这个映射按照场
7、量任意连续变化下的拓扑不变性质进行分类，得到在最一般的连续变化下的对称性质，相应的守恒量是拓扑荷。拓扑数的守恒使得具有最小拓扑数的单个孤立子在运动过程中成为稳定的粒子。拓扑孤立子的存在和冻结是许多系统由有序态到无序态相变的原因。磁单极子就是理论上预言的拓扑孤立子结构。曾大江认为从自动机的角度理解相变会更加本质。曾大江认为多种对称性存在于同一系统时，必然导致某种对称性的破缺。就像 n+1 个物体放在 n 个盒子中，必然有一个盒子放两个物体一样，物理系统的对称性容量是有限的。一个物理系统只能容纳几种对称性，多余的对称性就必须破缺。物理系统的结构决定其能够容纳那些对称性。从群论的角度看，如果 01，
8、那么一个集合就不能同时是加法群和乘法群。在一个集合中要同时定义加法群和乘法群就必须规定 0 没有逆元，否则就会破坏结合律。同理，在一个物理系统中同时容纳某个加法群 A 和某个乘法群 B 时，必然要求加法群 A 的单位元 e 没有逆元，即在该物理系统中乘法群 B 具有的对称性对除 e 外的所有元素都成立，但对 e 不成立。这样乘法群 B 具有的对称性在该物理系统中就是必然破缺的，但又是近似成立的。可以证明，多种对称性是不相容的。当一种对称性成立时必然要求另一种对称性破缺，这样另一种对称性就只能是近似对称性。物理系统的代数结构决定其能够让那些对称性严格成立，那些对称性近似成立。从这个意义上考虑，弱
9、相互作用、电磁相互作用、强相互作用和引力相互作用的代数结构是不同的，其容纳的对称性也是不同的。能够统一所有相互作用的代数结构必然只具有一种对称性且对这种对称性也是破缺的，其他对称性都是这种对称性不断破缺的产物，即这个代数结构 A0的真子集 A1是一个具有一种对称性的群，A 1的真子集 A2是一个具有两种对称性的群，A 12的真子集 A13是一个具有 13 种对称性的群，但这个代数结构 A0本身不是群。A 13描述超强相互作用，A 11描述强相互作用，A 9描述电磁相互作用，A 7描述弱相互作用，A5描述引力相互作用，A 4描述排斥相互作用，A 2描述切向相互作用。曾大江将在哲学、数学和物理学的统一（预计 2016年完成）一书中详细探讨这个问题，这里点到为止。比如电磁 U(1)规范对称性，在 U(1)规范变换下带电粒子的拉氏密度是 U(1)变换不变量，但根据诺特定理得出的它对应的守恒量却是电荷。又比如三维空间转动变换，一个矢量的长度是转动不变量，但根据诺特定理得出的守恒量是角动量。诺特定理说的是：当系统的作用量是某个连续对称性变换的不变量时，系统有一个与之相对应的守恒量。一个对称性变换可以有很多不变量，但只会对应一个守恒量。
