1、高等数学竞赛试题 5 答案1计算 ， （a0，b0）2 ,max0abyded解：原积分= 222 20000axababybaybxaxedededx= 222111()()()abababe2. 设幂级数的系数满足 ， ，n=1，2，3，求此幂级数的和函数 。0nx0 ()sx1na解： 则0(),nsx 111() ()nnnsxaxx120()()nns即 ，且2()(1)xsx()oa解方程 由xce01s1()xse3. 已知 二阶可导，且 ， ，()f()fx2()0ffxR（1）证明 ， 211)xf12,xR（2）若 ，证明(0)f(0),fxe证明：（1）记 则 ()ln(
2、)gxf()fxg2() 0fg即 1212x211()()xff 2 22()0()0()ln|()xggxfxfffx4求 即10()limnxxe(0)fx由洛比塔法则原极限=120()ln1lim()2xx xe5设 ，求2 0cos()intuxyed2yx解： 42si()tdt2sin()t4tyex443222i()sin()t tdyeex6 ， （ ） 20(1)0解：记原积分为 I 则 20 1/(1)dxtx含 20()1td7.设函 数 满足方程，20 4dxI()f， ，求 的极值。 解：由条件 ，()()3sinxxeffxRxx有 ()2()sixxefefx解
3、方程得 sinn含 得可能极值点 k 整数()cosi)xfex()0f 4kx当 时有极大值 2xf 24k(2)e时极小值 (1)(2)4k8.证明当 时， (,)2xsinlsin)xx证明:令 ，则 ，要证不等式为 ，即要证t(0,)2t 1istln(1si)t2 米1 米 ，而 且 0，cos1intl(1sin)t0cosln(1si)1itdttcos1insitt 得证0l()itxsiitxt9求 解：原极限=20sinlm(1)xx 201sinlim0l()xx10设 ，求 a， b 的值。3li )xab解： 当（ 时）32 1(2)0xxxx即1a而 3 32312
4、limlim()()x xbbx 11.设 ，求32()f ()nf解：32467271()34(3)()xxxf x2271()4()()fx32()()()fn2()11!3)()nnnf12.某水库的泄洪口为圆形，半径为 1 米，现有一半径为 2 米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？解：取小圆的圆心为原点、水平线为 x 轴，垂线为 y 轴。则泄洪口圆周方程为 ，21xy闸门（原始位置）为 ,下降后为 两圆交点为：22(3)4xy22()4h23(,)ha其中 或224(3)h 23cos =arcsinha盖住的面积为 22014aSxhdx13. 已知 是0，1上二阶可导函数，且 ， ，证明：()yfx 1(0)2f()f(1)f使得 。(0,1证明： 1), (1) (,) 2ff f( 0x 连 续 使220 02222221arcsin4arcsin4(3)(3)1arcsinrcsin4(3)a axxxhh h
