1、1目 录第一章 绪 论 .21.1 随机振动的基本概念和特征 .21.2 随机振动研究的内容和意义 .3第二章 随机振动的数学描述 .52.1 随机过程的基本概念和特征 .52.2 随机过程的数学描述 .62.2.1 随机变量定义 .62.2.2 一维随机变量的概率分布函数与概率密度函数 .72.2.3 多维随机变量 .82.2.4 随机变量的数字特征 .102.2.5 随机变量的分布以及运算 .142.3 随机过程的幅域描述 .142.3.1 随机过程概率统计特征量 .142.3.2 平稳随机过程 .162.4 随机过程的时域描述 .172.4.1 各态历经随机过程 .182.4.2 平稳随
2、机过程的自相关函数 .182.4.3 互相关函数 .192.5 随机过程的频域描述： .202.5.1 典型函数的傅里叶变换 .202.5.2 功率谱密度函数 .222.5.3 平稳随机过程的谱分类： .252.5.4 随机过程的分布 .272.6 随机过程的运算 .282.6.1 微分运算 .282.6.2 积分运算 .282.6.3 随机振动位移、速度和加速度的相关函数和谱密度函数关系 .29第三章 SDOF 系统的随机响应 .323.1 系统的脉冲响应函数和频率响应函数描述 .323.2 单自由度系统随机响应分析 .33第四章 多自由度系统的随机响应分析 .414.1 多自由度系统的脉冲
3、响应函数、频率响应函数 .414.2 单输入问题的 MDOF 系统的随机响应 .434.3 多输入问题的 MDOF 系统的随机响应 .454.4 MDOF 系统随机响应分析的模态方法 .524.5 随机响应分析的虚拟激励方法 .55第五章 连续系统的随机响应分析 .62参考文献 .682第一章 绪 论1.1 随机振动的基本概念和特征前面研究的振动问题都属于确定性振动(deterministic vibration)，所谓的确定性就是指振动是有一定规律的，或者可以用一个确定的函数来描述，或者可以用若干离散的值来描述，而且这个规律是可以重复的，可以预先估计的。例如，无阻尼自由振动问题：(1-1)0
4、mxk()0v在确定的初始条件作用下，系统的振动响应规律为：(1-2)()sinxtAt其中， ，是由表征系统特性的物理参数确定的， 和 由初始条件确km A定。只要已知初始时刻的振动值 ， ，就可以预知之后任意时刻的振动值。0xv该系统在另外一次相同的初始激励下，系统振动规律理论上会得到完全的重复。再看一个有外激励力作用的系统的振动规律：(1-3)()mxkf(0)x这个系统的振动规律为：(1-4)()tfhtd其中， 为任意的外激励， 为系统的脉冲响应函数。这个杜哈梅积分如果可fh以精确积分，振动规律可以表示成一个确定的函数表达式，如果不能，需要利用数值积分，得到的振动规律是一组给定的离散
5、时刻的确定的数值。同样，在下一次相同的外激励作用下，振动规律还可以得到完全的重复。在自然界和工程实际中还存在另外一种截然不同的现象，其变化是高度不规则，无规律的，不可预估也不可重复，物理现象的这种变化规律称为随机的。3例如，海浪，地震，阵风（湍流） ，火箭的喷气噪声以及不平路面。在随机现象作用下，系统产生的振动规律也同样有随机的特征，振动过程是不确定的，这样振动称为随机振动。工程中有很多这样的实际例子：在海浪作用下，海洋平台结构、水面舰船、出入水的导弹的振动在湍流作用下，飞行器结构的振动在阵风作用下，高耸建筑物、桥梁的振动在地震作用下，所有地面建筑结构的振动在发动机喷气噪声以及大气气动噪声的作
6、用下，火箭、导弹等飞行器结构的振动在不平路面的作用下，各种车辆的振动。这些振动都是确定的工程结构在随机的外激励力或运动激励作用下产生的，都是随机振动。上述例子共同的特征是：激励和响应都不能用时间的确定函数来描述；对于某一特定时刻取值不确定；对于单个试验记录，从当前时刻的值无法预估之后时刻的值；两次相同条件的试验结果不可能重复，但多次的试验结果放在一起却可以发现现象的某些统计规律。就是说振动运动是随机的，所以在任一给定时刻 时 的精确值不可能0tx精确预计，我们最多只能求出在时刻 ， 取值于某一区间的可能性或概率，0tx给出在某一时刻的统计规律，而且统计规律也可能是随时间变化的。1.2 随机振动
7、研究的内容和意义随机问题，主要分为两大类：1） 系统是确定性的，激励是随机的前面所列举的例子都属于这一类。确定性的系统在随机的激励作用下，系统的响应也是随机的。在这类问题中，主要研究激励以及由其引起的随机振动响应的统计规律，研究这些规律与系统特性之间的关系。通常的随机振动研究主要属于这一类。2） 系统是随机的，激励或确定，或随机自然界和工程中也有这样的问题，例如，雨天，输电线的振动问题，这里，输电线的质量是随机变化的，也就是系统的特性是随机的。这类问题，同样也是研究随机现象的统计规律以及它们之间的相互关系。当然，随机振动也有其它的分类，4按系统自由度可分为：单自由度随机振动；多自由度随机振动；
8、无限多自由度随机振动。按振动微分方程的特点可分为：线性随机振动；非线性随机振动。按随机振动频带宽窄可分为：宽带随机振动，窄带随机振动。按振动的特性随时间变化情况可分为：平稳随机振动；非平稳随机振动。我们主要研究线性单、多自由度、连续体系统在单个和多个平稳随机激励作用下的响应分析。实际工程中，随机振动现象是十分普遍的，严格地说，一切实际系统的振动都是随机的，只不过有些振动随机的成分很小，可以忽略，当作确定性系统来研究。但是对于象湍流引起的飞机、火箭的振动、海浪导致出入水的导弹的振动，以及前面介绍的其它例子，都必须考虑振动的随机性，用随机振动的研究方法进行研究，才能得出更符合实际情况的结论。5第二
9、章 随机振动的数学描述由于确定性的结构系统在随机变化的激励力作用下，系统的振动响应也是随机变化的，所以随机振动主要研究激励以及由其引起的随机振动响应的统计规律，以及这些规律与系统特性之间的关系。对这些规律我们可以利用概率论的知识对他们进行定量或定性的研究，所以，首先我们要对随机激励或者随机响应进行赋值，也就是用一个变量来表示，也就是要对随机振动的各个量进行数学描述。2.1 随机过程的基本概念和特征随机过程是对在空间和时间上高度不规则，事先无法预估，其变化也无法重复，其统计规律随时间演化的物理现象的一种数学描述。工程中存在着很多这种物理现象，如在第一章所举的例子，这些物理现象无法用确定性的理论来
10、描述，但可以用随机过程来描述。随机振动的数学抽象即为随机过程。随机过程的每一次测量所得结果可看作一次实现，或叫样本函数。所有可能的样本函数的集合构成一个随机过程。因此，随机过程是由时间上无限长、样本的无限多个的样本函数构成的，可以写为：(2-1)(),1,2.jXtxtTj图 2-1: 随机过程示意图6随机过程的每次实现是一个确定的非随机函数，但各个实现各不相同，因此为了得到随机过程的统计特性也必须做大量的独立测量。例如在同一条件的海域内，布置 n 个同一类型的波高仪，可同时测得 n 个记录，得到 n 个实现，。在某一固定时刻 可得各样本瞬时波面高度12,.,xtxt 1t，它们构成了通常的随
11、机变量 ，在另一时刻 又构成11n 1xt2t另一个随机变量 。因此随机过程也可以是样本空间上的随机变量 的集2xt x合。下文就将 表示为随机过程。随机过程是随机变量进一步发展得到的，X是随机变量随时间的变化，是随机变量的推广。可以看出随机过程是对随机现象的完全描述，严格的随机过程应包含随机现象的无穷多个独立测量样本，而且每个样本应该在时间上是无限长。实际分析中，我们只能用样本长度有限，样本数目有限的样本集合来代替随机过程。所得结果仅是随机现象统计特征的一个估计，一个近似。2.2 随机过程的数学描述随机过程的概念一方面定义为无穷多个样本函数的集合，另一方面可以看作无穷多个随机变量的集合(2-
12、2),12,.iXt其中 是由随机过程 X 在 时刻所有可能的取值 构成的随机变量，iXt i jixt是样本函数的编号， 。正因为它可以认为是由无穷多个随机变量构j ,.j成的，所以我们首先从随机变量的概率描述角度，来对随机过程进行描述。2.2.1 随机变量定义对所研究的随机现象赋值便得到了一个随机变量，例如，哈尔滨地区每年冬天的最低气温。在同一海域内布置 n 个同一类型的波高仪，在某一时刻所测得的 n 个波高值，就构成一个描述波高可能取值的随机变量。在相同随机激励的多次作用下，结构系统在某一固定时刻振动响应可能的取值，都属于随机变量。许多随机现象的试验结果表现为数量，用来表示随机试验各种结
13、果的变量叫做随机变量。随机试验的一种结果也就是随机变量的一个可能取值，这些所有可能的取值的集合就是一个随机变量，用集合符号表示就是：7(2-3),1,23.jXxn式中 为随机变量 的一种可能取值。 取有限值就是离散随机变量， 取无jx n穷大就是连续随机变量。研究一个随机变量，不但要知道它在每次试验时的取值，更重要的是要知道它取这个数值的概率。综上所述随机变量的基本特征，用数学的语言来描述给出的定义为：定义于某样本空间 上的实变量 ，如果对于每一个,Xn实数 ， 的概率 Prob 都存在，那么就称 为随机变量。xXnx()Xnx通常主要考虑随机变量 的值取在整个实数轴 上的问题。以下为行,文
14、方便 简写为 。2.2.2 一维随机变量的概率分布函数与概率密度函数对一个随机变量作完整的概率描述就是给出它的概率分布，也就是给出 X 取值小于每一个 的概率，就是给出函数：(,)x(2-4)Pr,(,)()FobXxPXxF(x)称为 X 的概率分布函数。概率分布函数的性质：1） (2-5)()1由定义可知实变量 X 取值小于 的概率是 ，或说 是肯定的10%2） (2-6)F（ -） =0X 取值小于 的概率是 0，或说是 不 可 能 的3） 是单调增函数 ()x由定义可知，若 2121,()xFx则4) ()0,F恒 非 负5) 对任意元素 ，有 X 取值在区间 内的概率为：12x()1
15、2x,(2-7)1()PrFxob6） (2-8)Probx（ X） =-r()()xXFx（ ） +(-=18注意：对连续型随机变量，取值为一个特定值的概率为零，。Prob（ Xx） =0当 F(x)连续可导时，可以得到其导数函数(2-8)0()()(limdxFFxpx其意义可解释为随机变量 X 取值在 x 附近的单位区间的概率大小，因为： 22()1()().()()(Fxd pxdopxdPrFxdobX因此，p(x) 大表示 F(x)在该点的变化较大，也就是在这个区间概率分布密度也大，所以也称 p(x)为概率分布密度函数，简称概率密度函数。概率密度函数表示 X取值在 x 点附近的单位
16、区间内的概率大小。概率密度函数的性质：1） (2-9)()()xpudFx2） (2-10)()()()()1F3） (2-11)221121()()()xxpudx4） (2-12)0单调增函数的导函数恒非负。5） (2-13)()()p0x取 +， 附 近 的 概 率 是2.2.3 多维随机变量有些问题需要考虑两个或两个以上的随机现象同时发生的概率，例如打靶，就需要考虑在 两个方向同时射中区间 的概率，这就是xy， axyb， -二维联合概率问题，还有更多维，仅以二维为例。对于二维的随机变量 ，它的联合概率分布函数定义为：,ZXY(2-14)(,)Pr(,)(,)FxyobxyPXxYy即
17、 为随机变量 取小于 同时 小于 的概率，性质：(,)xy91） (2-(,)0,FxyR15)2） (2-16)(,)(,)(,)0F3） (2-1F17)4） (2-18)(,)Pr(,)(Pr()xobXxYFxobXx5） (2-19)Fyyy6） 单独对 是单调增函数(,)x,x7) (2-20)2121122,(,)Pr(,)()(xobXxYFpd当 有二阶偏导数时，有(,)Fxy(2-21)2(,)(,)xypxy这个二阶偏导函数定义了二维联合概率密度函数。由定义及 的性质可知，(,)Fxy(2-22)(,)(,)yxFpd二维联合概率密度函数性质：1） (2-23)(,)0p
18、xy2） (2-24),1d3） (,)(,)(,)()()xx xFpdpdFpd 所以有(2-25)(,)()pxydx同理，由于10(,)(,)(,)()()yy yFpdpdFpd 有(2-26)(,)()pxyd这就给出了二维联合概率密度函数与一维的关系。对于二维随机变量，还定义有条件概率密度函数为：，(,)(,)(:)(:)pxypxy其中 表示在 y 条件下， x 发生的概率，且有(:)px(2-27)(,)(:)(:)pypyxp若 X，Y 统计独立，则(2-28)(:)(,:)(x且有(2-29)(,)()pypy2.2.4 随机变量的数字特征随机变量的统计特征可以用概率分布函数，或概率密度函数作完整描述，但要确定这些函数一般不大容易，通常也不是总有这个必要，实际问题是只需主要的统计特征即可，这些主要的数字特征称为随机变量的矩。原点矩：实随机变量 的 n 阶矩定义为 的集合平均，也称 n 阶原点矩，XnX即有(2-30)()nnExpd其中最常用的是一阶原点矩和二阶原点矩。一阶原点矩定义为(2-31)()EXxpd也就是随机变量的均值，也称数学期望，常记为 。 （对离散随机变量有x，如果随机试验得到一系列独立的观测值 （ ） ，1()nxiiExpix1,23.n
