1、高等数学教案课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何” ， “微积分” ， “常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求 18 学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、
2、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。
3、第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素1) ,321a2) Px的 性 质元素与集合的关系： A一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R， N+元素与集合的关系： A、 B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称A 是 B 的子集，记作 。如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作 若作 且 则称 A 是 B 的真子集。空集 ： 2、 集合的运算
4、并集 ：BAx|B或交集 ：A|且差集 ： |x且全集 I 、E 补集 ： C集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、 ABAB结合律、 )()(C分配律 )()()(BABCC对偶律 ( cc) ccA)(笛卡儿积 AB |,(Byx且3、 区间和邻域开区间 ),(ba闭区间 半开半闭区间 ba,有限、无限区间邻域： )(aU),(axa 邻域的中心 邻域的半径去心邻域 ),(左、右邻域二、映射1. 映射概念定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 X 中的每一个元素 ，f x按法则 ，在 Y 中有唯一确定的元素 与之对应，则称 为从 X 到 Y 的映射，记作f yYX
5、f：其中 称为元素 的像，并记作 ，即 yx)(x)(xfy注意：1）集合 X；集合 Y；对应法则2）每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念：定义：设数集 ，则称映射 为定义在 D 上的函数 记为 RDRf:xfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用 、 、fg函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：) 2) x3) 符号函数4) 取整函数 （阶梯曲线）xy5) 分段函数 102x2、 函数的几种特性1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界 )有界的充要条件：既有上界又有下界
6、。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2) 函数的单调性 （单增、单减）在 x1、x 2 点比较函数值与 的大小（注：与区间有关）)(1xf)2f3) 函数的奇偶性(定义域对称、 与 关系决定 )(xf)f图形特点 (关于原点、 Y 轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立： )(xflf3、 反函数与复合函数反函数：函数 是单射，则有逆映射 ，称此映射 为 函数)(:Dffxyf)(11f的反函数函数与反函数的图像关 于对称xy复合函数：函数 定义域为 D1，函数 在 D 上有定义、且 。)(gu)(xfy1)(Df则 为复合函数。(注意：构成条件)(xffgu4、 函数的运算和、差、积、
7、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、 初等函数：010xy1) 幂函数： axy2)指数函数： 3) 对数函数 )(logxya4)三角函数 )cot(),tan(),cs(),sin( xyxyxyxy 5) 反三角函数， )arcsi(xy )arcos(xyttn以上五种函数为基本初等函数6) 双曲函数 2xesh2xechxecxt注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式 shyxcyhxyxchss sycxyxyx)()(反双曲函数： arthxys作业： 同步练习册练习一第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个
8、成员。一般写成： naaa4321缩写为 nu例 1 数列 是这样一个数列 ，其中nx，nx5,4321也可写为： 54321可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为 01limn1、 极限的 定义：N则称数列 的极限为 ，记成 axnn0 nxaaxnlim也可等价表述：1） )(0axNnn2） O极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理 1：如果数列 收敛，那么它的极限是唯一nx定理 2 如果数列 收敛，那么数列 一定有界nx定理 3：如果 且 a0(a0，当 nN 时，axnlim)0(nnxx定理 4、如果数列 收敛于
9、 a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于 a。第三节：函数的极限 一、极限的定义1、在 点的极限0x1） 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及 在 有没有定义，以及函数值f0x的大小。只要满足：存在某个 使：)(0xf 0。Dx),(),002）如果自变量 趋于 时，相应的函数值 有一个总趋势-以某个实数 为极)(xf A限 ，则记为 ： 。Axf)(lim0形式定义为： Axfx)()(0注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、 的极限x设： 如果当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐),()(xfy近线 -则称函数在无限远点 有极限。记为：A Axfx)(lim在无穷远点 的左右极
10、限：)(lim)(xffx )(li)(xffx关系为： )(li)(li)(li fAfAf xxx 二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列 ，如果成立如下的命题：nx则称它为无穷小量，即nxN0 0limnx注： 1、 的意义；2、 可写成 ；nx0nx),(nx3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数 ，存在一个号码 N，使在这个号码以后的所有的号码 ，相应的 与极限 0 的距离比这个给定的 还小。它是我们在直观上nx对于一个数列趋于 0 的认识。定理 1 在
11、自变量的同一变化过程 （或 中，函数 具有极限 A 的充0x)xf分必要条件是 ，其中 是无穷小。Axf)(二、无穷大定义一个数列 ，如果成立：nx那么称它为无穷大量。记成： 。GxNGn0 nxlim特别地，如果 ，则称为正无穷大，记成n 特别地，如果 ，则称为负无穷大，记成x0nxlim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，)(xf)(1xf如果 为无穷小，且 则 为无穷大)(xf 0)(xf)(1f即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 时：有0nxnxx1lim0li0lili
12、nxx注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设 和 是无穷小量于是：nxy（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0li0limnxnxnx y（2）对于任意常数 C，数列 也是无穷小量：nc)(lilixnx（3） 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。ny0)(lim0li0limnxnxx y（4） 也是无穷小量：nlili00nxx（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、 若函数 和 在点 有极限，则fg0x)(lim)(li)(lim000 xgfxx 2、 函数 在点 有极限，则对任何常数 成立f0a)(li)
13、(li 00 faaxx3、若函数 和 在点 有极限，则fg)(lim)(li)(lim000 gfxxx 3、 若函数 和 在点 有极限，并且 ，则 f 00)(li)(li00 xgfxgfxx极限的四则运算成立的条件是若函数 和 在点 有极限f0x例：求下述极限4、 复合函数的极限运算法则定理 6 设函数 是由函数 与 复合而成， 在点 的 )(xgfy)(ufy)(xg)(xgf0某去心邻域内有定义，若 ，0lim0x，且存在 ，当 时，有Auf)(lim0 0),(，则xg93lim2x 4532lim1xx37li23xx 5213lim2xx 1235limxxsnAufxgfx
14、 )(lim)(li00第六节：极限存在准则 两个重要极限定理 1 夹逼定理 ：三数列 、 和 ，如果从某个号码起成立：1）nxynz，并且已知 和 收敛， nnzyxnxz2） ，则有结论：nxxalimliyn定理 2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。例：证明： 1sinlm0x例： xtanli020cos1lixxxxarcsinlim0例：证明： 有界。求 的极限 xx)1(limxx)1(li第七节：无穷小的比较定义：若 为无穷小,且 1lim0li0limcK高阶、低阶、同阶、 k 阶、等价 1、 若 为等价无穷小，则 , )(2
15、、 若 、 且 存在，111lim则： 1lili例： xx5sin2talm0xx3sinlm01cos)(lim320xx第八节：函数的连续性与间断点一、 函数在一点的连续性函数 在点 连续，当且仅当该点的函数值 、左极限 与右极限f0x )(0xf )0(xf三者相等：)(0xf)0()(00xfff或者：当且仅当函数 在点 有极限且此极限等于该点的函数值 。其形式定义如下：)(lim00xffx )(0xf函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间a,b连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点若： 中有某一个
16、等式不成立，就间断，分为：)0()0(0xffxf1、 第一类间断点：)0()(0xfxf即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2 、第二类间断点 ：左极限 与右极限 两者之中至少有一个不0x)0(xf )0(xf存在例：见教材第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算1. 且 ，)()lim00xffx)(lim00xgx0 fg 2 且 ，)()li00ffx )(li00x(li0 xgfx 3. 且 ，)(lim0ffx)(lim00x)()(li00gfx反函数连续定理：如果函数 是严格单调增加（减少）并且连续fDxfyf:的，则存在它的反函数
17、 ： 并且 也是严格单调增加（减少）1f fx)(11并且连续的。注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用 X 表示自变量， Y 表示因变量。反函数也可表成1)(1fDxfy复合函数的连续性定理：设函数 和 满足复合条件 ，若函数 在点 x0 连续； ，又若fggfg0)(ug函数在点 连续，则复合函数 在点 连续。f0ugf0x注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： )(lim)(lim00fxgfxx从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。第十节：闭区间上连续函数的性质 一、 最大、最小值设
18、函数： 在上有界，现在问在值域Dxfy,)(Dxfy),(1中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点 的函数值 ，0 )(0xfy则记 叫做函数在 D 上的最大值。)(max0fyD类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点 的函数值f fDx2，则记 称为函数在上的最小值 。)(22xfy)(in2xyfDx二、有界性有界性定理：如果函数 在闭区间 上连续，则它在 上有界。fba,ba,三、零点、介值定理最大值和最小值定理：如果函数 在闭区间 上连续则它在 上有最大值和f,最小值，也就是说存在两个点 和 ，使得baxfxff ,)()(亦即)(min)(,ffbax)(max)(,ffb若 x0 使 ，则称 x0 为函数的零点)(f零点定理：如果函数 在闭区间 上连续，且 在区间 的两个端点异号：fba,fba,则至少有一个零点 ，使0)(*bfa),(0)(中值定理：如果函数 在闭区间 上连续，则 在 上能取到它的最大值和最小值之间的fba,fba,任何一个中间值。作业：见课后各章节练习。
