1、解析几何 11.已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 )0(12bayax ),0(M36e（1）求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆交于 A，B 两点，坐标原点 O到直线 的距离为 2，求AOB 面积的最l l大值2.已知 ABC的顶点 A、B 在椭圆 ./,2:,432 lABxylCyx 且上在 直 线点上 （1）当 AB边通过坐标原点 O时，求 AB的长及 AB的面积；（2）当 90，且斜边 AC的长最大时，求 AB所在直线的方程 .3.已知椭圆 的中心在原点，左焦点为 ，离心率为 设直线 与椭圆 有且只C(3,0)23lC有一个公共点 ，记点 在第一象限时直线 与 轴、 轴的交点分别为 ，
2、且向量PlxyBA、,求：OMAB（1）椭圆 的方程；C（2） 的最小值及此时直线 的方程.l4.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， 为其右焦点.2:1(0)xyCab123(1,)2PF（1）求椭圆 的方程；（2）设过点 的直线 与椭圆相交于 、 两点（点 在 两点之间） ，若(4,0)AlMN,AN与 的面积相等，试求直线 的方程.MF N l5.已知椭圆 : 的右焦点为 ，离心率为 .C21(0)xyab1F(,0)12（1）求椭圆 的方程及左顶点 的坐标；P（2）设过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程.1F,ABPA361AB6.已知椭圆 的一个焦点是 ，且离心
3、率为 .:C21(0)xyab(1,0)F12（1）求椭圆 的方程；（2）设经过点 的直线交椭圆 于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点FC,MNy，求 的取值范围.0(,)Py07.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 点 是椭圆的一210xyab1F20,M个顶点， 是等腰直角三角形21MF（1）求椭圆的方程；（2）过点 分别作直线 ， 交椭圆于 ， 两点，设两直线的斜率分别为 ，ABA1k，且 ，证明：直线 过定点（ ） k1282,18.已知椭圆 的离心率为 ，直线 过点 ， ， 且与椭2:1(0)xyCab12l(4,0)A(,2)B圆 相切于点 .P（1）求椭圆 的方程；（2）是否
4、存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 、 ，使得(4,0)AmCMN?若存在，试求出直线 的方程；若不存在,请说明理由。365MN9.已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆的上顶点， 为坐标原)0(12bayx )0,1(FMO点，且 是等腰直角三角形OMF（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线 l交椭圆于 ， 两点， 且使点 为 的垂心（垂心：三角形三PQPQ边高线的交点）？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由10.已知焦点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 , 为椭圆 的左顶点.xC(0,1)32QC（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.6(
5、,0)5lAB（）若直线 垂直于 轴，求 的大小;lxQ（）若直线 与 轴不垂直，是否存在直线 使得 为等腰三角形？如果存在，求出l直线 的方程；如果不存在，请说明理由.l参考答案1.解：（）设 ，依题意得 ， 2bac1b263cabe解得 . 所以椭圆的方程为 . ,31xy23（）当 AB.|,x轴 时 当 与 轴 不 垂 直 时 ， 设 直 线 的 方 程 为 ，AB),(),(21yxBAmkxy由已知 得 ,231|km,42代入椭圆方程，整理得xy把 ,036)13(22kmxk于是 故.13)(,16221 kmxkx2122)(1| xkAB3)(36)(22km22()31
6、k22()913k)0(6191922 k .46当且仅当 时等号成立，此时 3,2k即 .2|AB当 综上： ，.|0ABk时 |max面积取最大值 AOB.23|21maxS2.解：（）因为 ,/l且 AB通过原点（0，0） ，所以 AB所在直线的方程为 .xy由 xy432得 A、B 两点坐标分别是 A（1，1） ，B（-1，-1） 。2)()(| 2121yAB又 lhAB等 于 原 点 到 直 线边 上 的 高的距离。.2|1,2hShABC（）设 AB所在直线的方程为 mxy由 .043643222 mx得 因为A，B 两点在椭圆上，所以 ,012即 .设 A，B 两点坐标分别为
7、),(,21yx，则 ,43,2211 mxx且 .,21mxyxy 21211 )()()(|AB6343492 222121xx 又 lmBC到 直 线的 长 等 于 点 ),0(的距离， 即 .|mBC .)1(102| 2222 BCA AC,1时当 边最长。（显然 341）,所以，AB 所在直线的方程为 xy 3.解：()由题意可知 ， ，所以 ，于是 ，由于焦点在 轴c23ace2a12bx上，故 C椭圆的方程为 214xy（）设直线 的方程为： ，lmk)0(),0(,(mBkA消去 得： 直线 与曲线 有且只有,142yxmky12)41(2xlC一个公共点， 0)(22mkk
8、即 , 将式代入得：142kmOMAB2|mkO当且仅当 时，等号成立，故221|5453Ok ，此时直线方程为： . min|30yx4.解：（）因为 ，所以 ， .设椭圆方程为 ，又点12cac3b2143xyc在椭圆上,所以 ，解得 ， 所以椭圆方程为 . 3(1)2P234c212（）易知直线 的斜率存在,设 的方程为 ， 由 消去 整理，ll(4)ykx2(4),13ykxy得 ，由题意知 ，222(34)6410kxk22(3)(4)6)0k解得 . 设 ， ， 则 ， ， 11(,)Mxy2(,)Ny122x. .因为 与 的面积相等，21643kxAF 所以 ，所以 . 由消去
9、 得 . AN124x 2x21463k将 代入得 . 214x2161()3k将代入 ，整理化简得 ，解得 ，22264()3kkk2365k56k经检验成立. 所以直线 的方程为 . l5()6yx5.解：（）由题意可知： ， ， 所以 . 所以 . 1c=2a=223bac=-所以 椭圆 的标准方程为 ，左顶点 的坐标是 . C243xyP(,0)-（）根据题意可设直线 的方程为 ， .AB1my=+12,AxyB由 可得： . ，21,43xym+= 2(34)690ym+-=2236(4)0m+， .所以 的面积1226y-122=-PAB12121213()4SPFyyy=+-.2
10、223668()4mm-=+因为 的面积为 ， 所以 .令 ，则 .PAB312143+21t=+2(1)3tt=解得 （舍） ， .所以 . 16t=2t=所以直线 的方程为 或 .30xy-0xy-6. 解：（）设椭圆 的半焦距是 .依题意，得 . 因为椭圆 的离心率为 ，Cc1cC12所以 ， .故椭圆 的方程为 . 2ac223baC243xy（）当 轴时，显然 .当 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为MNx0yMNMN.由 消去 整理得 (1)yk2(1),34kxy.设 ，线段 的中点为 ，0)(84322x12(,)(,)x3(,)Qxy则 .所以 ， .线段 的122kx123
11、24xk32134kykMN垂直平分线方程为 .在上述方程中令 ，得)(422ky 0x. 当 时， ；当 时， .kky31420034k34k所以 ，或 . 综上， 的取值范围是 . 012y0312y0y3,127.解：（）由已知可得 ， 所求椭圆方程为 22,8bab2184xy（）若直线 的斜率存在，设 方程为 ，依题意 设 ，ABABykxm),(1A，由 得 ,则),(2yx,1482mkxy22480由已知 ，所以212128,12yx，即 所以 ，整理得 12kxmkx128k42mk故直线 的方程为 ，即 （ ） AByxy1x所以直线 过定点（ ） 若直线 的斜率不存在，
12、设 方程为 ，设2,1ABAB0x， ，由已知 ，得 此时 方程为0(,)Axy0(,)y0028yx012x，显然过点（ ） 综上，直线 过定点（ ） 122,1,8.解: （）由题得过两点 ， 直线 的方程为 . 因为 ，(40)A(,2)Bl40xy12ca所以 ， . 设椭圆方程为 , 由 消去 得，2ac3b213xyc2,143cx.又因为直线 与椭圆 相切,所以 ,解22410ylC22()0c得 . 所以椭圆方程为 . 2c2143xy（）易知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ， 由 消去 ，mm(4)ykx2(4),13ykxy整理得 .由题意知222(34)6410kxk
13、，解得 .设 ， ， 则()12k1(,)Mxy2(,)Ny， . 又直线 与椭圆 相切，21234kx21643kx:240lxy2:143xyC由 解得 ，所以 . 则 . 所以20,3y,2y3(1,)P25A. 又645817AMN221(4)(4)AMNxyxy22211 2()()()xkxk24k121()6xx所以 ，22263(1) 6)34kk23.4k223681(1)47k解得 .经检验成立. 所以直线 的方程为 . 4m()yx9.解：（）由 是等腰直角三角形，得 ， ，OMF1b2ba故椭圆方程为 12yx（）假设存在直线 交椭圆于 ， 两点，且 为 的垂心，lPQ
14、FPQM设 ， 因为 ， ，故 于是设直线 的方程为),(1yxP),(2yxQ)1,0(),(1kl，由 得 由 ，得 ， 且m,2 02432mx32m, 由题意应有 ，又3421x21x FQMP，故 ，得12(,),(,)MPyFQy 0)1()(221yx即 0122mxx 21mx整理得 解得 或 经检验，当)(342 34m1时， 不存在，故舍去 当 时，所求直线 存在，且直线 的方1mPQM1ll程为 34xyNQBAOyx10.解：（）设椭圆 的标准方程为 ，且 .C21(0)xyab22abc=+由题意可知： ， .所以 .所以，椭圆 的标准方程为 .1b=32ca24=C
15、214xy（）由（）得 .设 .（）当直线 垂直于 轴时，直线 的(,0)Q12(,)(,)AxyBll方程为 .由 解得： 或 即65x2,14xy 6,54xy,4.xy（不妨设点 在 轴上方）.则直线 的斜率 ，直线(,) (,)ABAxAQ1AQk的斜率 .因为 ，所以 .所以 .Q1Qk1QBkB2（）当直线 与 轴不垂直时，由题意可设直线 的方程为 .lx 6()05ykx由 消去 得： .26(),514ykxy222(510)410kx因为 点 在椭圆 的内部，显然 . 因为 6(,0)5-C021224,510.kx， ， ，12(2,) (,)QAxyBxy16()5kx26()5ykx所以 12 12126()()()5kx222112636()()(455kxkxk.2 2 22 24001 )05所以 .所以 为直角三角形. 假设存在直线 使得 为等腰三角形，则QABAlQAB.取 的中点 ，连接 ，则 .QABMQAB记点 为 .另一方面，点 的横坐标 ，6(,0)5-N 2212045150Mxkk+=-=-+所以 点 的纵坐标 . 26()50Mkykx=+所以 .2222106(,)(,)55kQN+ 2013(5)k=所以 与 不垂直，矛盾.所以 当直线 与 轴不垂直时，不存在直线 使得lxl为等腰三角形.AB
