1、第五章 中心力场,本章所讲的主要内容,一般性质(5.1),无限球方势阱(5.2),三维各向同性谐振子(5.3),氢原子(5.4),5.1 中心力场中粒子运动的一般性质,无论经典力学或是量子力学中,中心力场都占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力场Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能够精确求解的少数几个问题中的几个。中心力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。,1.角动量守恒与径向方程在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量 守恒。这个结论,对于经典粒子是明显的,因为,其物理意义是：粒子所受到的力矩 (相对于力心)为零。考虑到 ，而 又 是守恒量，中心力
2、场中的粒子运动必为平面,运动，平面的法线方向即 的方向。在量子力学里，不难证明，角动量也是守恒量。因为角动量算符 与 Hamilton量 (1)是对易的,(2)考虑中心力场V(r)的特点(球对称性)，选用求坐标是方便的。利用：,(3)能量本征方程可表示为:(4)上式左边第二项称为离心势(centrifugal potential)，角动量越大，则离心势能越,大。第一项可表为 ,称为径向动能，其中：是径向动量。注意，由于 的各分量都是守恒量，而各分量并不对易，故一般有简并。考虑到 也是守恒量，而且与 的每个,分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便地选为 , 即能量本征方程（4）的解同时也可选
3、为 的本征态,即(5),代入式(4)，可得出径向波函数 满足的方程:(6)在求解方程(6)时，有时作如下替换是方便的。令,(7)代入(6)式 ,得:(8)在一定的边条件下求解径向方程，即可得出粒子能量本征值 E。对于非束缚态，能量 E 是是连续变化的。对于束缚态，则能量 E 是量子化的。,由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m ,因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量与角动量量子数 有关，而对于给定 的情况下， 共计有 个可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子能级一般为 重简并。,在束缚态边界条件下求解
4、径向方程时,将出现径向量子数 ， ,它代表波函数的节点数(r=0，r=不包括在内)。由于 E 只依赖于量子数 和 ，与 m 无关，故记为 。,在给定 的情况下随 增大， 也增大,所以 也可以作为能级( 给定 )高低的编序。与此类似,对给定 的情况下，随 增大（离心势能增大）, 也增大。按原子光谱学的习惯，把 (9)的态分别记为:,2. 径向波函数在r0邻域的渐近行为以下假定 满足:(10)通常我们碰到的中心力场均满足此条件。在此条件下,当r0时,方程(6)渐近地表示成(11),在正则奇点 r=0 邻域,设 ,代入式(11)得:(12)解之,得两个根:即径向波函数在 r0 领域的行为：(13),
5、下面论证，渐近行为是 的解必须抛弃。事实上，按照波函数的统计诠释,在r0邻域任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值,当 r0 ，若 ，则要求 。因此当 时, 的解就必须抛弃。但是对于 的解并不违反此要求。,然而 的解 并不满足薛定谔方程(4)(如将r=0包含在内的话),因为(14)因而,不难由此推断， 不是薛定谔方程(4)的解(如果将 r=0 包含在内)。这样我们得到如下结论：量子力学中求解求解中心力场径向方程 (6)时，在 r0 处只有 的解才是物理上可以接受的,或等价地，要求径向方程(8)的解 满足:(15),3. 两体问题化为单体问题 设两个质量分别为 和 的粒子，相互作用 只依赖于相对
6、距离，这个二粒子体系的能量本征方程为 (16),为体系的总能量，引进质心坐标 和相对坐标 (17)(18)可以证明 (19),其中这样,方程(16)化为(20),此方程可分离变量，令(21)代入式（20），得(22) (23),式（22）描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程， 是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构 无关。式（23）描述相对运动，E 是相对运动能量，可以看出，式（23）与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把 m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。在氢原子问题中，我们感兴趣的是原子的内部状态，即电子相对于核运动的波函数 所满足的方程 ，这种相对运动的能量 E就是电子的能
7、级。,5.2 无限深球方势阱,考虑质量为 的粒子在半径为a的球形匣子中运动，这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动(1)它只存在束缚态 。,先考虑最简单的情况，即s态( )，此时，径向方程( 6.1节，式(8) )为：(2)令(3)则 (4) 边条件为,(5a) (5b)按边条件(5a),方程（4）的解可表示为 再利用边条件（5b），得 (6)此即确定粒子能量的式子。利用式(3)得,(7)相应的归一化波函数可表示为(8)满足 (9)不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的,的能级和波函数，与一维无限深方势阱(宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只是在那里量子数 ,相当于这里的径向量子数 ,
8、。 其次考虑 的量子态，此时，径向波函数 满足下列微分方程：(10),而在边界上要求(11) 引进无量纲变量 (12)则式(10)化为 (13),此即球Bessel方程。令(14)可求出 满足下列方程 (15)这正是半奇数 阶Bessel方程( )，它的两个线性无关解可以表示为,所以，径向波函数的两个解为通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数表示，其定义如下,(16)当 时，它们的渐进行为是(17)按照前面的讨论,无限深势阱中粒子的定态波函数只能取前者,即,(18) 其中 为归一化常数， (或能量E)由边条件 (5b)确定,(15)即 (20)当a取有限值时，并非一切 值都满足
9、上述条件,只有某些分立值可以满足此要求,此时粒子能量是量子化的。,令 的根依次表为 ，则粒子的能量本征值表为(21) 较低的几个根 见表5.1.较低的一些能级见图5.1。(表，图见后两页),表 5.1 值,图 5.1,无限深球方势阱中粒子的能级,利用球Bessel函数的积分公式及边条件(11)可以求出径向波函数的归一化常数：,于是：(22)这里使用了数学公式：,此时(23)当 时，这相当于粒子的运动无任何限制,即为自由粒子,考虑到 时， 边条件(20)自动满足，对k或能量不再有所限制，即能量可连续变化。此时，式(18)的 这反映波函数不能归一化,(连续谱的本征态是不能归一化的)。在此情况下，通
10、常选择如下径向波函数，它们“归一化”到 函数:,考虑质量为的粒子在三维各向同性谐振子势 中运动取力学量完全集 来分类能级 及相应的本征函数。其特解,5.3 三维各向同性谐振子,可得径向方程为,采用自然单位，令 上式变为,为两个奇点，先求奇点附近的渐进解,令代入径向方程得令 方程化为,为使在无穷远处 ，因此要求截断成多项式，即 加上单位得,这是合流超几何方程（见附录A5），要在0处有正常解，则,其中当给定N,1.讨论：A. 三维各向同性谐振子的能级是等间距的，有最低能级B每条能级是简并的。简并度 C当 N 为偶， ，当 N 为奇， 。,所以，宇称为D. 可以求得归一化的波函数,2.直角坐标系中求
11、解,直角坐标系中,Hamilton量为,其中,可以证明 是守恒量,且彼此对应.,由于是三维谐振子,故选择三个互相对易的守恒量完全集,求出它们的共同本征函数和本征值即可.,的本征函数,是三个不同方向的谐振子Hamilton量,可以利用已有结论,即,本征值,的本征函数,本征值,的本征函数,本征值,系统的本征函数为它们的共同本征函数,即三个本征函数之积:,系统的本征值为它们的本征值之和:,3.柱坐标系中求解,柱坐标系中,Hamilton量为,其中,在这种情况下,如何找力学量完全集,即至少要找到三个力学量,且其中两个已经有解. 可以证明 为守恒量,但不能选 作为力学量完全集,为什么?,一般力学量完全集
12、中至多只有一个力学量不能求得其本征函数。上述完全集中有两个无法求解，因此必须另外找到一守恒量，与对易。,可以用 表示即,可以证明 与 对易，且已知它 的解。故选力学量完全集为,的本征函数,的本征函数,本征值,的本征函数,本征值,下面只需求解 变量的解即可,根据 表达式,令它的解为 代入 的本 征方程得,可以求得 ，得到系统本征函数和本征值。,三种坐标求得的本征函数可以相互转换，以N1 为例，讨论球坐标系的波函数与直角坐标系的波 函数之间的关系。,在球坐标系中 ，则,在直角坐标系中 ，则,根据上面结果可得,5.4 氢原子,量子力学发展史上,最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当
13、满意的说明。氢原子是最简单的原子,其Schr-dinger方程可以严格求解。本节将具体解出氢原子的Schrdinger方程，得出能级和能量本征函数，从而对氢原子光谱线的规律及其它一些重要性质给予定量说明。,氢原子的原子核是一个质子，带电+e ,(半径 cm)。在其周围有一个电子(带电-e)绕它运动。原子核与电子间的Coulomb作用能(吸引能)为(取无穷远为势能零点 )(1)按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数 满足下列方程:,(2)式中 为电子的约化质量， 按照前面的分析,物理上允许的解 在r0 的渐近行为应满足 (3)以下采用自然单位，即在计算的过程中令 而在计算所得的最
14、后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。下面是氢原子,的各自然单位(原子单位)：长度: 能量:时间: 动量:在自然单位下，方程(2)化为:(4)是微分方程的两个奇点。,当r0时，式(4)渐近地表示成：(5)容易看出(6)但按照6.1分析, 只有渐近行为是 (7)的解才是物理上可以接受的。其次，讨论解在 r的渐近行为。,我们限于讨论束缚态(E0)。当r时，方程(4)化为 (8)所以 ，其中 , 但 不满足束缚态边条件，所以，当r时，只能取(9),因此，不妨令方程(4)的解表示成:(10) 代入式(4),经过计算,可得:(11)再令 (12)则得,(13)这个方程属于合流超几何方程(见附录A5)。
15、(14)相应的参数为,(15)(16)方程(14)在 邻域有界的解为合流超几何函数:,可证明,在 时,无穷级数解 。这样的解代入式(10)，不能满足在无穷远处的束缚态边条件。为得到物理上允许的解，无穷级数解 必须中断为一个多项式。从(17)式容易看出,只要 为0或负整数即可满足这一要求,即(18),令 (19)则 (20) 按定义( )，得(21)添上能量的自然单位 ，得(22),此即著名的Bohr氢原子能级公式，n称为主量子数。与 相应的径向波函数 可表示为: (23) 其中 (已添上长度自然单位a),归一化的径向波函数为:,(24)满足：(25)氢原子的束缚态能量本征函数为: (26)最低
16、的几条能级的径向波函数是：,氢原子的能级分布如图 5.3 。可以看出，第一条能级掉得很低，这和 Coulomb 吸引势在r=0点是奇点 有密切关系。氢原子基态能量为即氢原子的离化能为13.6eV，随n增大，能级愈来愈密。在 邻域，有无限多条离 散能级密集。当 后，则过渡到连续区 (游离态)。,5.3,图 氢原子能谱,另外,氢原子的长度参数为:由于历史原因,氢原子波尔半径定义为:讨论：1.能级简并度能级是简并的。由(19)式可看出来：给定一个n，对应于n个 值；给定一个 ，对应于 个m值，故能级 对应的波函数,的个数，即能级的简并度为：(28)它比一般中心力场中能级 的简并度 高。,2.径向位置
17、几率分布在空间一点 附近,体积元内找到出于量子态 的电子的几率为 对 积分后，得出电子出现在半径为r到r+dr的球壳中(不管方向)的几率为 (29),较低的几条能级上的电子的径向位置概率分布曲线 ，见书图5.4。可以看出， 的节点数(不包括r=0,点)为 。其中 ( )的态，称为“圆轨道”，它们无节点，例如,基态径向波函数无节点。与Bohr早期量子论不同，在量子力学中，电子并无严格的轨道概念。量子力学认为只能给出其位置分布几率。以基态为例，可以求出 有一个极大值(见书图5.4)因为,由极值条件得是极大值点，a也称为最可几半径，即处于基态的氢原子，电子的最可几半径与Bohr早期量子论给出的半径相
18、同。“圆轨道”的径向波函数为,3.角分布函数 电子出现在角度为 处立体角为 中出现的概率为(30) 它与 角无关，即对绕z轴旋转是对称的。,这是因为 是 的本征态的缘故。角量子数 较低的粒子态的概率密度随 角度的变化(角分布)， 如图5.5所示。,图 5.5,m = -2,m = -1,m = 0,m = +2,m = +1,.电流分布与磁矩 在 态下，从统计意义上说，电子的电流密度由下式给出(电子荷电-e):(31)利用球坐标系中梯度的表示式：,容易求出 的各分量。由于 的径向波函数 及 部分波函数 都是实函数,由式(31)可看出 ,但,是绕z轴的环电流密度(图5.6),所以通过截面 的电流
19、元为 ，它对磁矩的贡献为 , 是绕z轴的环的面积，因此总的磁矩(沿z轴方向)为:,其中 是细环的体积元，利用归一化条件,得:(32)其中:(33),称为Bohr磁子，由式(32)看出，磁矩与量子数m有关，这就是把m称为磁量子数的理由。显然,对于S态 ，磁矩为零，这是由于电流为零的缘故。此外，按式(32) (34),图5.6,是轨道角动量的z分量，上式比值称为回 转磁比值(gyromagnetic ratio)，或称 g因子，取 为单位，则电子的g因子为-1。,5.类氢离子类氢离子是核中有Z个质子，外面仅有一个电子：如 只要 ，并代 ，而,6.一些重要的修正电子在Coulomb场中运动问题是量子
20、力学的试金石因为：量子力学的Coulomb场中运动可以精确求解；其计算结果能以高度的精确性与光谱学精确实验结果作比较。上面得到的 能级表达式，作为零级进似，与实验符合得很好。但对氢原子和类氢原子光谱作仔细研究表明，谱线还有精细甚至超精细的结构。与上面求解的结果有细致但却明显的差别。这表明，上述 Schrdinger方程对氢原子问题的理论描述仍是,近似的还需要作进一步修正。修正后的理论已和精密光谱实验数据更好地符合。这些修正称作氢原子光谱的精细结构和超精细结构。他们包括:对 代表电子动能的高一级修正；电子有自旋，从而有磁矩，这个内禀磁矩和轨道角动量所产生的磁矩之间有相互作用，称为旋轨耦合效应；电
21、子并非是一个位置用几何点表示的质点，而是 de Broglie 波，原则上在其Compton波长 范围内,不再有位置的概念。这导致Coulomb场对它的作用有弥散效应,就是,说，加在电子上的Coulomb场并非 (其中 是电子作为几何点的矢径),而是 附近 范围内的场，这项修正称为Darwin振颤项。以上称为精细结构修正。此外还有超精细结构修正；核电荷分布有限体积的修正,核磁矩和电子磁矩(自旋和轨道两部分)相互作用的修正。最后，对多电子原子，电子之间的电磁相互作用修正更是十分明显。这些修正中，有的只会使能级发生移动，有的也会使能级产生劈裂。,7. HellmannFeynman定理（海尔曼 费
22、曼定理）若 ( 中含有的某一参量)，其本征态 ( 已归一) ，本征值于是有,证：所以，,例：对类氢离子 ，其能级能量为 试求若将z看作,对球坐标,这时可将 l 看作参量,1.掌握中心力场的性质;,本章要点,中心力场中,势场,即中心力场中角动量是守恒量.,本章要点,Schrodinger方程:,选守恒量完全集:,共同本征函数:,本章要点,径向方程:,令,本章要点,3.掌握三维各向同性谐振子在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中选守恒量的方法；,势场：,直角坐标系中守恒量完全集为,球坐标系中守恒量完全集为,本章要点,3.掌握氢原子的求解过程及结果;,势场：,能级:,（玻尔半径）,本章要点,波函数：,（玻尔磁子）,能级简并度：,轨道磁矩：,本章要点,回转磁比值：,类氢离子：,
