1、1,第五章 质心 刚体,2,5.1 质心,5.1.1 质心 质心运动定理,质点系的总质量,每个质点的质量、位矢和受力：,质点系所受合力,质点系的运动,3,质点系的质心 (center of mass),质心速度,质心加速度,质心动量等于质点系的总动量,质心动能,质心角动量,4,质心运动定理,质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。,牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。,特殊的质点系刚体,5,质心的性质,质心在整个物体的包络内,物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。,几个物体的质心满足质心组合关系,6,例 由两个质点构成的质点系的质心,质
2、心位置满足杠杆关系,7,5.1.2 质点系动力学量的分解,质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。,在质心系中质心静止,质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。,8,质点系的动量,质点系的动量等于质心的动量,质点系相对质心的动量总是为零,质点系中各质点 mi 相对质心的运动,mi,O,C,在任一参考系中 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系,9,质点系的动能,质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和,柯尼希(Knig)定理,10,核反应中的资用能,11,质点系的角动量,质点系的角动量 可分解
3、成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和,同一参考点,质心为参考点,mi,O,C,其中,12,5.1.3 质心参考系,质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力,在质心系中 质点系的动能定理和角动量定理,质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。,质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用,质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力,平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小 方向沿着质心加速度的反向,13,质心系中质点系动能定理,质心系中质点系动能定理的微分形式,质心系中质点系动能定理,与惯性系完全相同，机械能定理也相同,质心系中质心位置矢量为常量,14,质心系中
4、质点系角动量定理,质心系中质点系角动量定理,选质心为参考点,质心系中质点系角动量定理,与惯性系完全相同,15,小结,质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动,质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理,相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理,质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和,16,例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对小球A所做的功。,A,B,m, q0,m,分析碰撞过程,第一次碰撞用时,第k次碰撞用时,A相对B的运动,弹性
5、碰撞,质心运动,17,A，B系统的质心加速度,在tk时间内质心位移,A球的位移,电场力对A所做的功,18,例 质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？,m,19,在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功,利用动能定理,在质心系中，只有力 F 作功,20,例 线性引力,假设质点间的万有引力是线性的： 其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。,质心系是惯性系，以质心为坐标原点：,质心,第 i 个质点,质
6、点系总质量 m,动力学方程组,21,方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。,22,第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动,动力学方程可分解为：,每个方程的解都是简谐运动，角频率都是,合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为,23,例 长l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳子完全伸直？（提示：可在质心系中分析）,B端的速度,质心速度,质心离A点的位置,B端相对质心
7、的距离,在质心系中，B端相对质心速度不变,绳子伸直所用时间,24,力学期中考试,时间：11月18日晚19：00 - 21：00地点：二教309考试时间：2：00,25,5.2 刚体定轴转动,5.2.1 运动学描述,刚体的运动总是可以分解为：平动+转动,刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。,刚体的定轴转动只有一个自由度,26,刚体中每一个点部位都在做圆周运动,参考点选在转轴上,每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。,第 i 个点部位,27,5.2.2 动力学量 转动惯量,动量刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。,动能,刚体相对某转轴的转动
8、惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定,V：刚体的质量分布区域 r：质元 dm 到转轴的距离,28,选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量,刚体的定轴转动与质点的直线运动相似,都是一维运动,29,例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位于一端，求细杆的转动惯量。,(a) 转轴位于质心,(b) 转轴位于一端,30,例 圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转动惯量,圆环,匀质圆盘,31,关于计算转动惯量的定理,C,取两个互相平行、间距为 d 的转轴 其中一个转轴通过刚体质心C,平行轴定理,推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小,
9、32,对于平板刚体,垂直轴定理,33,例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理,绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能,此轴到刚体质心的距离 d,刚体相对质心的转动角速度为,刚体相对质心的动能,刚体质心的速度,质心动能,柯尼希定理,34,例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，,量纲分析,其中的系数待定,边长a和b互换，转动惯量不变,35,应用平行轴定理,比较系数,36,例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，求其以直径为转轴的转动惯量。,匀质球体,37,5.2.3 动力学规律,刚体定轴转动的动力学规律,质心运动定理,转动定理,动能
10、定理,选取 z 轴与刚体转轴重合,38,蛙式打夯机,蛙式打夯机是目前使用最广泛的夯机，它具有操作方便、结构简单、经久耐用、夯实效果好、易维修、价格低等优点。适用于建筑、水利、筑路等上方工程中素土、灰土的夯实作业。,39,茹可夫斯基凳,40,例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。将杆水平静止释放后，当摆角为时，求 （1）杆的旋转角速度和角加速度； （2）转轴对杆的支持力。,机械能守恒,角动量定理,41,轴对杆的作用力,质心运动定理,切向,径向,mg,42,例 滑轮的质量M，半径为R。滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求物块的加速度和摩擦因数的取值范围？,m1,m2,43
11、,可能的运动必是m1下降,44,例 匀质细杆的A端、B端和中央位置O处各有一光滑小孔。先让杆在光滑的水平桌面上绕O孔以角速度0顺时针旋转。操作：当杆运动到同一位置时，依次以A、B、O为转轴，求最后绕O转动时角速度的方向和大小。,细杆相对O、A、B的转动惯量,正方向,45,杆相对A点(桌面上)的角动量,A点操作不影响杆相对A点的角动量，故杆的角动量守恒。,B、O点的操作可作类似处理,质心速度,46,杆相对B点的角动量,杆相对O点的角动量,质心速度,质心角动量为零,47,例 在水平的光滑细杆上，套着两个半径相同的匀质圆柱体。开始时1以角速度0绕细杆转动，同时以速度v0朝2运动，2静止。两者发生弹性
12、碰撞，碰撞力在接触面上均匀分布，接触面之间的摩擦因数 处处相同。求碰后两者的速度和角速度。,两个圆柱体的碰撞是正碰，碰撞力不影响各自相对质心的转动动能 两个圆柱体平动动能守恒,48,平均碰撞力,平均摩擦力矩,1、2的平均角加速度,碰撞后，二者的角速度,49,上述结果适合,满足条件,若不满足上述条件，则必在二者角速度相等时摩擦力消失。,碰撞力和摩擦力都是内力，系统的角动量守恒。,50,烟囱的倾倒过程,Toy models for the falling chimney Gabriele Varieschi, Kaoru Kamiya Am.J.Phys. 71 (2003) 1025-1031,
13、模拟实验1,模拟实验2,51,烟筒内部应力的变化,横向应力,52,外侧,内侧,沿着烟筒的纵向应力,53,第五章作业 A组 2、5、9、14、16、17 19、23、24、25、29 B组 35、 36*、56*,54,5.3 刚体平面平行运动,5.3.1 运动学描述,刚体运动的自由度是6：3个平动，3个转动,刚体定轴转动的自由度是1,抽象为质点的物体的运动：3个平动,刚体的定点转动：3个转动,刚体的另外两种典型的运动,刚体的平面平行运动：2个平动，1个转动,刚体的其它运动 ,55,刚体的平面平行运动：刚体的每一个点部位都在自己对应的一个平面内运动，所有这些平面相互平行。,刚体转动的角速度相对刚
14、体上任一点都相同,任选刚体上两点A、B,56,平面平行运动,在每一个点部位对应的运动平面上,瞬心是一个点,刚体的任意运动,瞬心是一条线瞬时转动轴,平动刚体的瞬心,瞬心 某时刻刚体上速度为零的一点即为该时刻刚体的瞬心,由两点速度确定瞬心的位置,57,例 半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心绕着B的环心做圆周运动的角速度为，求： （1）A环绕着环心O转动的角速度 （2）A环瞬心M的加速度,纯滚的约束条件：接触点无相对运动,58,瞬心位于接触点 瞬心的加速度可分解为 O点的加速度与 M相对 O点的加速度,O点的加速度,M相对 O点的加速度,瞬心的加速度,59,5.3.2
15、动力学规律,刚体的平面平行运动 = 质心的平动 + 过质心的定轴转动,惯性系,质心系,质心轴转动定理：,60,61,例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑轮的平动加速度。,上面的滑轮,下面的滑轮,质心运动,相对质心的转动,运动约束关系,62,例 乒乓球在水平地面上向右运动，并逆时针转动，乒乓球与地面的摩擦因数为，试求乒乓球最后达到的稳定运动状态。,63,经时间 t，右行速度和逆时针方向的角速度,分三种情况讨论,（1）经某段时间后，速度和角速度同时为零,此后乒乓球处于静止状态,64,（2）经某段时间后，有,该阶段的末态为,
16、此后，摩擦力仍朝左，右行速度减小，顺时针角速度增大,当满足条件,时，摩擦力消失，小球达到右行纯滚状态,65,（3）经某段时间后，有,该阶段的末态为,此后，摩擦力仍朝左，左行速度增大，逆时针角速度减小,当满足条件,时，摩擦力消失，小球达到左行纯滚状态,66,例 匀质细杆直立在光滑地面上，因不稳定而倾倒。在细杆全部着地前，它的下端是否会跳离地面？,杆在倾倒过程中无水平外力 杆的质心竖直向下运动,杆跳离地面的临界条件,质心速度与角速度的关系,67,机械能定理,将角速度代入，两边对时间求导,支持力,杆的下端不会跳离地面,68,例 物体落地为什么会翻转？,设刚体落地速度v0 与光滑地面的碰撞是弹性的,质
17、心运动,刚体转动,机械能守恒,P0点速度反向,69,思考题 两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连，重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端轻球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆落地前能翻转成竖直的条件。,70,打击中心（center of percussion）,质心,质心,质心,打击中心,打击中心,打击中心,向左动,向右动,静止,在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动,71,例 以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆，打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程中轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离d。,F,d,
18、O,P,细杆在水平力矩作用下作定轴转动,质心切向加速度,细杆相对O点的转动惯量,质心切向运动方程,切向力为零,72,网球拍,the sweet spot,73,思考题,长 l 匀质细杆在水平光滑的桌面上沿细杆方向以速度 v0 匀速运动，计算细杆离开桌子边缘后的运动。,74,5.4 刚体定点转动 刚体平衡,5.4.1 定点转动的角动量,定点转动是刚体转动的一般情况,2005年6月8日，一名青年在贵阳市休闲文化广场， 在玩一个巨型木制陀螺。该陀螺高35厘米，直径 22厘米，抽陀螺的鞭子用马达带制成。,75,以定点O为参考点，刚体角动量的方向一般与角速度不同。,转动惯量,惯量积,惯量张量,76,角动
19、量,对于质量球对称分布的球体，绕球心作定点转动时， 惯量积均为零，且Ixx= Iyy= Izz= I,轴对称分布的刚体，绕对称轴旋转时，设对称轴为 z 轴，,其它情形，刚体角动量的方向一般与角速度不同,77,5.4.2 刚体的进动与章动,重力矩使刚体产生进动与章动,地面光滑,78,地球的进动与章动,太阳,月亮,地球,北极星,黄道面,赤道面,79,地球进动周期 = 25770年 26000年,织女星,北极星,80,地球进动周期 = 25770年 26000年,地球章动周期 = 18.6年 19年,地球进动周期约为2.6万年，章动周期约为19年。 中国古代历法以19年为一章，译名“章动”即源于此。,81,82,5.4.3 刚体的平衡,83,在某一时刻，刚体静止。 若刚体所受外力之和为零，则刚体的质心不动。 若刚体所受外力矩之和为零，则刚体无转动。,刚体的平衡条件,84,
