1、5-2 波动方程 = cos ( )+ 中的 表示什么 ?如果改写为 = cos (yAuxt0uxyA)， 又是什么意思?如果 和 均增加，但相应的 ( )+ 的值0uxtxt uxt0不变，由此能从波动方程说明什么?解: 波动方程中的 表示了介质中坐标位置为 的质元的振动落后于原点的时间；/ x则表示 处质元比原点落后的振动位相；设 时刻的波动方程为x t)cos(0uAyt则 时刻的波动方程为t()(0 xtt其表示在时刻 ，位置 处的振动状态，经过 后传播到 处所以在 中，tx tu)(uxt当 ， 均增加时， 的值不会变化，而这正好说明了经过时间 ，波形即向前tx)(ut 传播了 的
2、距离，说明 描述的是一列行进中的波，故谓之u)cos(0uxtAy行波方程5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元 内所有质元的能dV量波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定如果取波动方程为 ，),(txfy则相对形变量(即应变量)为 .波动势能则是与 的平方成正比由波动曲线图xy/ xy/(题 5-3 图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极
3、小(该处 )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波0/动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值题 5-3 图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? =0时刻是否一定是波源开始振动的t时刻? 波动方程写成 = cos ( )时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动yAuxt方程才能写成这种形
4、式?解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样， 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方0t程写成 时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的因为在此处对于)(cosuxty波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?解: 取驻波方程为 ，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，vtxAycos2描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置
5、按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为 而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相xcos2邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6 图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目( )会增多，所以接收频率/u增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即，因而单位时间内通过观察者完整波的数目 也会增多，即接收频率也将增B
6、vu高简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率题 5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿 轴负向传播，波长 =1.0 m，原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz，x振幅 0.1m，且在 =0 时恰好通过平衡位置向 轴负向运动，求此平面波的波动方程At y解: 由题知 时原点处质点的振动状态为 ，故知原点的振动初相为 ,00,0v2取波动方程为 则有)(2cos0xTty 2)1(s1.t4cxm5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 = cos( )，其中 ，yACxBtA， 为正值恒量求：BC(1)波的
7、振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为 处一点的振动方程；l(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为 的两点的位相差d解: (1)已知平面简谐波的波动方程( )cos(CxBtAy0将上式与波动方程的标准形式 )2(t比较，可知：波振幅为 ，频率 ，A2B波长 ，波速 ，C2CBu波动周期 T1(2)将 代入波动方程即可得到该点的振动方程lx )cos(ClBtAy(3)因任一时刻 同一波线上两点之间的位相差为t)(21x将 ，及 代入上式，即得dx12C2Cd5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 =0.05cos(10 )，式中 , 以米计，yxt4y以秒计求：t(
8、1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求 =0.2m 处质点在 =1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的xt运动状态在 =1.25s时刻到达哪一点?t解: (1)将题给方程与标准式 )2cos(xtAy相比，得振幅 ，频率 ，波长 ，波05.Am515.0m速 2u1s(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 5.0.1maxAv 1s222)(m(3) m 处的振动比原点落后的时间为2.0x 08.5uxs故 , 时的位相就是原点( )，在 时的位相，.1ts 92.0.1ts即 2.9设这一位相所代表的运动状态在 s 时刻到达
9、点，则5.1tx825.0)15.(0)(1 ux m5-10 如题5-10图是沿 轴传播的平面余弦波在 时刻的波形曲线(1)若波沿 轴正向传xt x播，该时刻 ， ， ， 各点的振动位相是多少?(2)若波沿 轴负向传播，上述各点的OABCx振动 位相又是多少?解: (1)波沿 轴正向传播，则在 时刻，有t题 5-10 图对于 点： ，O0,Ovy2O对于 点： ，AA0A对于 点： ，B,BvyB对于 点： ，C0C23C(取负值：表示 点位相，应落后于 点的位相)A、 O(2)波沿 轴负向传播，则在 时刻，有xt对于 点： ，O,Ovy对于 点： ，0AA对于 点： ，B,Bvy2B对于
10、点： ，CC3C(此处取正值表示 点位相超前于 点的位相)A、 O5-11 一列平面余弦波沿 轴正向传播，波速为5ms -1，波长为2m，原点处质点的振动曲线x如题5-11图所示(1)写出波动方程；(2)作出 =0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线t解: (1)由题 5-11(a)图知， m，且 时， ， ，1.0A0t0,0vy23又 ，则5.2uHz52题 5-11 图(a)取 ，)(cos0uxtAy则波动方程为 )235(cos1.xtym(2) 时的波形如题 5-11(b)图0t题 5-11 图(b) 题 5-11 图(c) 将 m 代入波动方程，得该点处的振动方程为5.0
11、x )5cos(1.0)235.0cos(1.0 tty m如题 5-11(c)图所示5-12 如题5-12图所示，已知 =0时和 =0.5s时的波形曲线分别为图中曲线 (a)和(b) ，波tt沿 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：x(1)波动方程；(2) 点的振动方程P解: (1)由题 5-12 图可知， ， ，又， 时， ，1.0Am40t0,0vy，而 ， ，2025.txus 5.2uHz2故波动方程为 )(co1.0xty(2)将 代入上式，即得 点振动方程为1PxmPttycos1.0)2cs(.m题 5-12 图5-13 一列机械波沿 轴正向传播， =0时的波形如题5-13图所
12、示，已知波速为10 ms -xt1，波长为2m，求：(1)波动方程；(2) 点的振动方程及振动曲线；P(3) 点的坐标；(4) 点回到平衡位置所需的最短时间解: 由题 5-13 图可知 ， 时， ， ，由题知1.0Amt 0,20vAy32，m，则10u1sm 5210uHz (1)波动方程为 3)10(cos.01xtym题 5-13 图(2)由图知， 时， ， ( 点的位相应落后于 点，故0t 0,2PPvAy34P 0取负值) 点振动方程为P)341cos(.tp(3) |00tx解得 67.5m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题 5-13 图(a)，则由 点回到平衡位置应经历的
13、位P相角题 5-13 图(a)6523所属最短时间为 10/ts5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为 = cos(PyA)0t(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；(2)写出距 点距离为 的 点的振动方程bQ解: (1)如题 5-14 图(a)，则波动方程为)(cos0uxltAy如图(b)，则波动方程为题 5-14 图)(cos0uxtAy(2) 如题 5-14 图(a)，则 点的振动方程为Q)(cs0bt如题 5-14 图(b)，则 点的振动方程为 )(cos0utAQ5-15 已知平面简谐波的波动方程为 (SI)24xy(1)写出 =4.2
14、 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何t时通过原点?(2)画出 =4.2 s时的波形曲线解:(1)波峰位置坐标应满足kxt2)4(解得 ( )4.8(kxm,10k所以离原点最近的波峰位置为 . 故知 ,uxtt2421s ，这就是说该波峰在 前通过原点，那么从计时时刻算起，则.0s.0应是 ，即该波峰是在 时通过原点的4. 4s题 5-15 图(2) ， ，又 处， 时，2,4u1sm 12uTm0x2.4ts8.1642.0AAy0cos又，当 时， ，则应有Ay17x1728.6x解得 ，故 时的波形图如题 5-15 图所示.0xm2.4ts5-16 题5-
15、16图中(a)表示 =0时刻的波形图，(b)表示原点( =0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出 =2m处质元的振动曲线x解: 由题 5-16(b)图所示振动曲线可知 , ，且 时，2Ts.0Am0t，0,0vy故知 ,再结合题 5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿 轴负向传播，2 x且 ，若取4m)(2cos0xTtAy题 5-16 图则波动方程为2)4(cos2.0xty5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.010 -3Jm-2s-1，频率为300 Hz，波速为300ms -1，求 ：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)两个相邻同相
16、面之间有多少波的能量?解: (1) uwI 531060.183mJ4max2.3(2) udwVW2475 104.93)1.0(16 J5-18 如题5-18图所示， 和 为两相干波源，振幅均为 ，相距 ， 较 位相超S2 A1S2前 ，求：2(1) 外侧各点的合振幅和强度；1S(2) 外侧各点的合振幅和强度2解：（1）在 外侧，距离 为 的点， 传到该 点引起的位相差为11Sr1S2P)4(1r0,21AIA（2）在 外侧.距离 为 的点， 传到该点引起的位相差.2S21rS2)4(2r111,AIA5-19 如题5-19图所示，设 点发出的平面横波沿 方向传播，它在 点的振动方程为BB
17、PB; 点发出的平面横波沿 方向传播，它在 点的振动方程为ty2cos103CCC，本题中 以m计， 以s计设 0.4m， 0.5 m，波)(2yt P速 =0.2ms-1，求：u(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时， 处合振动的振幅；P*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时， 处合振动的振幅解: (1) )(2)(12BCu0)4.5(2.0题 5-19 图(2) 点是相长干涉，且振动方向相同，所以P32104APm(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为 ，这时合振动轨迹是通过 ，象限的直线，所以合振幅为33121 108.2AA m5-20 一平面简谐波沿 轴
18、正向传播，如题5-20图所示已知振幅为 ，频率为 波速x A为 u(1)若 =0时，原点 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；tO(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求 轴上 x因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置解: (1) 时， ， 故波动方程为0t0,0vy2m2)(cosuxtAy题 5-20 图(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将 代入) ，再考虑到波由43x243波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为 2若仍以 点为原点，则反射波在 点处的位相为OO，因只考虑 以内的位相角，反射波在
19、点的位相为 ，25432 O2故反射波的波动方程为 2)(cosuxtAy反此时驻波方程为2)(cosuxty )(st)s2t故波节位置为2)1(kxu故 ( )4)12(kx,210k根据题意， 只能取 ，即,43x5-20 一驻波方程为 =0.02cos20 cos750 (SI)，求：yt(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；(2)相邻两波节间距离解: (1)取驻波方程为tuxAy2cos2故知 01m，则 ， 75022u 5.3720/1s(2) 所以相邻两波节间距离3140/u.xm5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为 =0.1cos(13 +0.0079 ) (SI)1
20、ytx试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在 =0处为波 节解: 为使合成驻波在 处形成波节，则要反射波在 处与入射波有 的位相差，故0x 0反射波的波动方程为)79.13cos(.2 xty5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为=0.06cos( )(SI), =0.06cos( )(SI)1ytx42t4(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大? =1.2m 处振幅多大?解: (1)它们的合成波为)4cos(06.)4cos(06. txxy t12出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动
21、令 ，则 ，k=0,1，2此即波腹的位置；kxkx令 ,则 ， ，此即波节的位置)2()(,210k(2)波腹处振幅最大，即为 m； 处的振幅由下式决定，即12.0.x97.)cos(驻Am5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330ms -1，求汽车的速率解: 设汽车的速度为 ，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为sv01svu汽车驶离车站时，车站收到的频率为 02svu联立以上两式，得 3102321u1sm5-25 两列火车分别以72kmh -1和54 kmh -1的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 ms -1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?解: 设鸣笛火车的车速为 ，接收鸣笛的火车车速为 ，则两者201v1sm 152v1s相遇前收到的频率为650340121 vuHz两车相遇之后收到的频率为412050121vz
