1、5-2 对流换热问题的数学描写,对流换热过程微分方程式,h 取决于流体热导率、温度差和贴壁流体的温度梯度 温度梯度或温度场与流速、流态、流动起因、换热面的几何因素、流体物性均有关。 速度场和温度场由对流换热微分方程组确定：连续性方程、动量方程、能量方程,层流流动换热的微分方程组,为便于分析，只限于分析二维对流换热；同时假设：,a) 流体为不可压缩的牛顿型流体，（即：服从牛顿粘性定律的流体；而油漆、泥浆等不遵守该定律，称非牛顿型流体）,b) 所有物性参数（、cp、）为常量,4个未知量：速度 u、v；温度 t；压力 p 需要4个方程: 连续性方程（1）; 动量方程（2）;能量方程（1）,1 连续性
2、方程,流体的连续流动遵循质量守恒规律。,从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 的微元体，并设定x方向的流体流速为u，而y方向上的流体流速为v 。 M 为质量流量 kg/s,单位时间内流入微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化。,单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量：,单位时间内、沿y轴方向流入微元体的净质量：,单位时间内微元体内流体质量的变化:,连续性方程：,对于二维、稳定、常物性流场 ：,单位时间：流入微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化,2 动量微分方程,作用力 = 质量 加速度（F=ma）,动量微分方程式描述流体速度场动量守恒,动量微分方程是纳维埃和斯托克斯分别
3、于1827和1845年推导的。 Navier-Stokes方程（N-S方程）,牛顿第二运动定律：作用在微元体上各外力的总和等于控制体中流体动量的变化率,控制体中流体动量的变化率,从x方向进入元体质量流量在x方向上的动量 ：,从x方向流出元体的质量流量在x方向上的动量,从y方向进入元体的质量流量在x方向上的动量为 ：,从y方向流出元体的质量流量在x方向上的动量：,x方向上的动量改变量 ：,化简过程中利用了连续性方程和忽略了高阶小量。,同理，导出y方向上的动量改变量为 ：,作用于微元体上的外力,作用力：体积力、表面力,设定单位体积流体的体积力为F，相应在x和y方向上的分量分别为Fx和Fy。,在x方
4、向上作用于微元体的体积力： 在y方向上作用于微元体的体积力：,表面力:作用于微元体表面上的力。 通常用作用于单位表面积上的力来表示，称之为应力。包括粘性引起的切向应力和法向应力、压力等。 法向应力 中包括了压力 p 和法向粘性应力 。,体积力：重力、离心力、电磁力,在物理空间中面矢量和力矢量各自有三个相互独立的分量（方向），因而对应组合可构成应力张量的九个分量。于是应力张量可表示为,式中 为应力张量，下标i表示作用面的方向，下标j则表示作用力的方向,通常将作用力和作用面方向一致的应力分量称为正应力，而不一致的称为切应力。,对于我们讨论的二维流场应力只剩下四个分量，记为,x为x方向上的正应力（力
5、与面方向一致）；y为y方向上的正应力（力与面方向一致）；xy为作用于x表面上的y方向上的切应力；yx为作用于y表面上的x方向上的切应力。,作用在x方向上表面力的净值为 :,作用在y方向上表面力的净值为,斯托克斯提出了归纳速度变形率与应力之间的关系的黏性定律,得出作用在微元体上表面力的净值表达式：,x方向上,y方向上,动量微分方程式,在x方向上,y方向上,对于稳态流动：,只有重力场时：,3 能量微分方程,能量微分方程式描述流体温度场能量守恒,导入与导出的净热量 + 热对流传递的净热量 +内热源发热量 = 总能量的增量 + 对外作膨胀功,假设：（1）流体的热物性均为常量,变形功=0,Q内热源=0,
6、（2）流体不可压缩,（3）一般工程问题流速低,（4）无化学反应等内热源,Q = E + W,UK=0、=0,Q = E + W,耗散热（ ）：由表面粘性应力产生的摩擦力而转变成的热量。,Q导热 + Q对流 = U热力学能 + 推动功 = H,对于二维不可压缩常物性流体流场而言，微元体的能量平衡关系式为：,Q1为以传导方式进入元体的净的热流量； Q2为以对流方式进入元体的净的热流量； Q3为元体粘性耗散功率变成的热流量； H为元体的焓随时间的变化率。,以传导方式进入元体的净热流量,单位时间沿x轴方向导入与导出微元体净热量：,单位时间沿y轴方向导入与导出微元体净热量：,单位时间沿 x 方向热对流传
7、递到微元体净热量,单位时间沿y 方向热对流传递到微元体的净热量：,以对流方式进入元体的净热流量,元体粘性耗散功率变成的热流量,单位时间内、微元体内焓的增量：,能量微分方程,4 层流流动对流换热微分方程组,（常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体）,4个方程，4个未知量（u, v, p, t） ， 于是速度场和温度场可求.,再引入换热微分方程 (n为壁面的法线方向坐标)，最后可以求出流体与固体壁面之间的对流换热系数，从而解决给定的对流换热问题。,5 单值性条件,单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括：几何、物理、时间、边界
8、,单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括：几何、物理、时间、边界, 几何条件：说明对流换热过程中的几何形状和大小，平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等 物理条件：说明对流换热过程物理特征，如：物性参数 、 、c 和 的数值，是否随温度 和压力变化；有无内热源、大小和分布,时间条件：说明在时间上对流换热过程的特点，稳态对流换热过程不需要时间条件 与时间无关 边界条件：说明对流换热过程的边界特点，边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件 （1）第一类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的温度值 （2）第二类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值,
