1、,1-4 独立性,一、事件的独立性 二、伯努利（Bernoulli)试验 二、实际推断原理,一、事件的独立性由条件概率我们知道，一般情况下P(B/A)P(B)，但有时也会出现P(B/A)=P(B)的情况。例如：同时抛掷两枚均匀的硬币记A=第一枚掷出正面，B =第二枚掷出正面 显然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2, 也就是说，事件A是否发生不影响事件 B的发生，即P(B/A)= P(B)，这时我们称事件A与B是相互独立的。,在事件A与B相互独立的情况下，乘法公式变得非常简单，即P(AB)=P(A)P(B)我们就用上式来定义事件的独立性定义：设A、B为两事件，若满足 P(AB)=P(A)P(
2、B)则称 A与B是相互独立的。,例：从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张， 记A=“抽到K”，B=“抽到黑色的牌”，问事件A与B是否独立？,解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26，所以P(AB)=P(A)P(B)即A与B是相互独立的。,说明：n个事件相互独立与两两独立的区别,下面以3个事件为例：,三个事件A、B、C相互独立，必须满足如下条件：P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C),三个事件A、B、C两两独立，只需满足 P(AB)=P(A)P(B) P(
3、BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C),一般情况下，当A、B、C两两独立时，等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 不一定成立。,例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4，今从中任取一张。设A表示事件“取到标有1或2的卡片”，B表示事件“取到标有1或3的卡片”，C表示事件“取到标有1或4的卡片”。试验证：,1、事件独立性的重要结论 （1）若事件A与事件B是相互独立的，则,也是相互独立的。,（2）设A1,A2,A3,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 An),（1）证明：,（2） P(A1 A2 A3 An),2、利用独立性求事件的概率,注：实际应用中，对于事件的
4、独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据问题的实际意义来判断。,例1:甲、乙、丙三人进行射击，甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.55,丙击中目标的概率为0.45。令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。,(1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485,(2)P(A1+A2+A3)=,例2： 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004,混合100个人的血清，求此混合血清中含有肝炎病毒的概率。,解：设Ak=“第k人的血清中含有肝炎病毒”， k=1,2,，100B=“混合血清中含有肝炎病
5、毒”,二、伯努利（ Bernoulli ）试验,1. n次独立重复试验,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.,满足下列条件的试验称为Bernoulli试验:,每次试验都在相同的条件下重复进行;,2. n重贝努利试验,每次试验只有两个可能的结果:A及 每次试验的结果相互独立,若用 “ 表示n重贝努利试验中事件A发生k次的概率”，则n次试验中事件A发生k次的概率为：,证明：在n重贝努利试验中，事件A在前k次出现，而在后n-k次不出现的概率为:,若满足上述条件的试验重复进行n次,则称这一串试验为n重贝努利(Bernoulii)试验。,而事件A在n次试验中发生k
6、次的方式为：,例1： 将 一枚均匀的骰子掷4次，求3次掷出5点 的概率.,上式即为n重贝努利试验中事件A发生k次的 概率计算公式。,解：令A=“掷出5点”，,表示4次抛掷中3次出现5点的概率，,则：,解：,例2: 设有产品100件，其中3件是次品。从中有放回 地任取5件，求： （1）取得次品数恰好为1件的概率； （2）取得次品数至多为2件的概率。,三、实际推断原理,实际推断原理：人们在长期实践中发现:概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的。,例题：一张概率试卷共有10道选择填空题，每题有4个选择答案，其中只有一个是正确答案。某同学投机取巧，随意填空，试问他至少能填对6道题的概率是多大？,
7、解：设B=“他至少答对6道题”，A=“答对”，则,第一章 小结 样本点、样本空间、随机事件 事件间的关系和运算 概率的基本性质 古典概型与几何概型 条件概率、乘法定理 全概公式与贝叶斯公式 7. 事件的独立性和伯努利试验,解：A=甲中靶, B=乙中靶, C=丙中靶；D=三发中恰两发子弹中靶,则,练习1：甲、乙、丙三人向靶子各射击一次，结果有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别为4/5，3/4，2/3，求丙脱靶的概率。,补充例题： 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，
8、 若被三人击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,Bj =飞机恰被击中j处, j=0,1,2,3,解：Ai =第i人击中飞机, i=1,2,3,C =飞机被击落,显然B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且,由全概率公式:,即飞机被击落的概率为0.458.,登徒子好色赋宋玉 作者简介：宋玉（约公元前298约公元前222 ），宋玉所处的时代是战国后期，其生活时代主要是楚顷襄王在位时期，卒于楚亡之时。宋玉知识渊博，会写文章，又通晓音律。大夫登徒子侍于楚王，短宋玉曰：“玉为人体貌闲丽（体态文雅，容貌美丽），口多微辞（说话婉转而巧妙），又性好色，愿王勿与出入后宫。”王以登徒子之言问宋玉。玉曰：“体貌闲丽，所,受于天 （天生的）也。口多微辞，所学于师也。至于好色，臣无有也。”王曰：“子不好色，亦有说乎？有说则止，无说则退。”玉说：“天下之佳人莫若楚国，楚国之丽者莫若臣里，臣里之美者莫若臣东家之子。东家之子，增一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱则太赤。眉如翠羽，肌如白雪，腰如束素，齿如含贝（牙齿整齐洁白）。嫣然一笑（笑得很美的样子），惑阳城，迷下蔡。然此女登墙窥臣三年，至今未许也。登徒子则不然。其妻蓬头挛耳（头发蓬乱，蜷曲耳朵）,齞唇历齿（齞yan,暴牙露齿），旁行踽偻（踽ju，既驼又瘸），登徒子悦之，使有五子。王孰察之，谁为好色者矣。”,
