1、1迎战 2012 年高考数学函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数 ，其定义域关于原点对称：)(xf1、对于函数 的定义域内任意一个 x，都有 f（x）=f（x）或 f（x）+ f（x）=0，则称 为奇函数.)(xf2、对于函数 的定义域内任意一个 x，都有 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）f=0，则称 为偶函数 .)(x二、判断函数的奇偶性1、定义法判断有解析式的函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） =|x+1|x 1|； （2 ）f（x）=（ 1+x） ；1x（3） ； （4 ）21()|xf()(0),).xfx剖析：根据函数奇偶性的定义进行判
2、断.解：（1）函数的定义域 x（，+ ），对称于原点.f（x）=|x+1| |x1|=|x1|x+1|=（ |x+1|x1| ）= f （x），f（x）=|x+1| |x1|是奇函数.先确定函数的定义域.由 0，得1 x1，其定义域不对称于原点，所以x既不是奇函数也不是偶函数。)(xf解：函数 定义域 1x1()1fx ()f22.()2 22()1()()fxxfx 是偶函数()1fx（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由 得,02|1x.4,1x且故 f（x）的定义域为1，0 ）（0，1，关于原点对称，且有 x+20.从而有f（x）= = ，这时有 f（x）= = =f （x），2x2x2
3、1()x21故 f（x）为奇函数.（4）函数 f（x）的定义域是（，0 ）（0 ，+ ），并且当 x0 时，x0，f（x）=（x）1 （ x）=x（1+x）=f（x）（x0 ）.当 x0 时， x0 ，f（x）=x（1x）=f （x）（x0）.故函数 f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2 ）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.证明抽象函数的奇偶性例 2、已知 f（x）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，bR 都满足：f（ab）=af（b ）+bf（a） 求 f（0 ），f（1）的值；（2）判断 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论分析：应用公式
4、 f（ab ）=af （b）+bf（a），取 a、b 的一些特殊的值进行计算解：（1 ）f（0 ）=f（00）=0f（0）+0 f（0）=0 ；由 f（1 ）=f （11）=1f（1）+1f（1），得 f（1 ）=0（2） f（x）是奇函数证明：因为 f（1）=f （1） 2 =f（1 ）f（1 ）=0，所以 f（1）=0，f（x）=f（1 x）=f（ x）+xf（1）=f （x）因此，f（x）为奇函数3点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。例 3
5、、定义在区间 上的函数 满足：对任意的 )1,(,yx，都有)1,()(xf.求证： 为奇函数；()xyfxff思路点拨欲证明 为奇函数，就要证明 ，但这是抽象函数，应设()f ()(fxf法充分利用条件“对任意的 )1,(,yx，都有 ”中的 yx,进行合)1xyff理“赋值”解析令 x = y = 0，则f (0) + f (0) = = f (0)0()1f f (0) = 0令 x(1, 1) x(1, 1) + f (x) = f ( 21) = f (0) = 0)f f ( x) = )x 在( 1 ，1)上为奇函数)点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，
6、而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是 f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)奇偶函数的性质及其应用1、奇偶函数图象的对称性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。y（2）若 )(xafy是偶函数 )(xf的图象关于直线 ax对称；)()(afxf4若 )(xbfy是奇函数 )(xf的图象关于点 )0,(b中心对)()(bfxf称；例、若函数 在 上为减函数，且对任意的 ，有 ，则)(f),4R)4()(xffA、 B、 C、 D、32)5(2f)53(f632、（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为 0）仍为偶函数。（2）奇函数的和、差仍
7、为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为 0）为奇（偶）函数。（4）奇函数与偶函数的积为奇函数。（5）定义在（ ，+）上的任意函数 都可以唯一表示成一个奇函数与一个)(xf偶函数之和。（1）若 )(xf是奇函数且在 0x处有定义，则 0)(f。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数）（2）奇函数的反函数也为奇函数。（3）若 0)(xf，则 )(xf既是奇函数又是偶函数，若 )0()mxf,则 (xf是偶函数。 函数的周期性公式1、定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，都()fx满足 )(Txf，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。()
8、fx周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：2、抽象函数的周期（1）若函数 满足 ，则 的周期是)(xf )()(xbfafa)(xfTba（2）若函数 满足 ，则 的周期是)( 2（3）若函数 满足 ，则 的周期是)(xf 1)()(xff b)(xf5（4）函数图象有 ax， )(b两条对称轴型，即 = ， =()fxa()fx()fb，则 的周期是()fbx()f2Ta（5）函数 满足 ，则 的周期是f1()fxfxb()fx2Tba证明：（1 ）（2）对于定义域中任意 x满足 )(0)()(axfaf，则有，故函数 的周期
9、是 2bT()(fxbaf（3）若 ，则得 ，所以函数)1)fxba()()(2)fxafxab的周期是 T2；同理若 ，则 的周期是()fx 1bfx2Tba（4）函数图象有 x， )(ba两条对称轴，即 )()(xaff，)()(fxf，从而得 ，故函数 的周期是2()fxax2Tba（5）由 得 ，进而得1()()fxafxb1(2)()fxafxb2bfaf，由前面的结论得 f的周期是 )(4aT用函数周期性例题解析例 1.（1996 年高考题）设 是 上的奇函数， 当 时，)(xf),),()2(xff10，则 等于xf)()5.7(f（A）0.5; （B）-0.5; （C ）1.5
10、; （D）-1.5.分析 ：此题的关键在于求 的周期，如果类比模型函数 及诱导公式)(xfyxysin，将由 最小正周期为 ，可以猜想 周期为 ，会使问题xsin)sin(xysin2)(xf42得以解决.解： )()()2()4( fffff 6).(,5.0).7(,)(,10(5.08).7( .4,4 Bfxfxfff 选 择时 故 函 数 的 周 期 为 例 2 （1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 是定义在实数集上的函数，且xf， 求 的值.)()(xffxf,321f )198(分析：回顾三角部分的知识，不难发现 满足的关系式的结构完全类)(4xftgxtg与似.由于 的周
11、期 而这个 相当于原题中的 2,于是可猜想： 是以 为其一tgx,4 f824个周期的周期函数.解：由已知得 ,)(1)2(xff那么 )(1)(1)()2()()4( xfffxffxf ，即函数 是以 8 为周期的周期函数.)(4(1)()8( fxfxfxf f由于 知，321f .328kf .23)198(,23)2(3 )1()45495)8( f ff二、比较函数值大小例 3.若 是以 2 为周期的偶函数，当 时， 试比较 、)(Rxf1,0x,)(198xf)19(f、 的大小.)170(f54f解： 是以 2 为周期的偶函数，)(x7)154(6()1504( )7()7,1
12、96(196()98(fff ffff又 在 上是增函数，且 ，198)(xf,015496170).()98(17(),5467 ffffff即三、求函数解析式例 4.（1989 年高考题）设 是定义在区间 上且以 2 为周期的函数，对 ，用)(xf ),(Zk表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.kI,12,(k0I.2xf(fkI解：设 11) kkx时，有 0I22 )()2(2,( kxfxxf 得由是以 2 为周期的函数， .)(xf ,)(kf 例 5设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上，),()(xf3,2求 时， 的解析式.4)3()2xf
13、 1x(xf解：当 ，即 ，,3,4)(24)(2)() 22xxfxf又 是以 2 为周期的周期函数，于是当 ，即 时，,1243x).2(4)(243)()(2xxf有 .1(2四、判断函数奇偶性例 6.已知 的周期为 4，且等式 对任意 均成立，)(xf )2()(xffR判断函数 的奇偶性.解：由 的周期为 4，得 ，由 得)(xf )4()xff )2()(xff8， 故 为偶函数.)4()(xff),(xfff五、确定函数图象与 轴交点的个数例 7.设函数 对任意实数 满足 ， )(f )2()(xff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,0)7(xf且 )(x
14、f30,解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得x是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 上，)(xf 1, ,)(0)(2()2()4,0 不 能 恒 为 零且 xfffff故 图象与 轴至少有 2 个交点.(x而区间 有 6 个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有 13 个交点.3,3,)(xf六、在数列中的应用例 8.在数列 中， ，求数列的通项公式，并计算na)2(1,31nan.197951a分析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令 则,1tg)4(1tga 4)1(1,4)1( )2()(4123 ntgantgattannn 于 是不难用归纳法证明数列的通
15、项为： ，且以 4 为周期.4(tn于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，由 得总项数为 500 项，197aa )1(.3501951 七、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？929分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解： 19191)19(2 29022092 CC)37( )37()37()37(912 20 C因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故 天为星期四.92八、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设 ，则满足等式 且大于)(231是 虚 数 单
16、 位iz ,zn1 的正整数 中最小的是n（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：运用 方幂的周期性求值即可.iz231解： ，10)(,1nnn z)(.4)(,1.3 ),3,3minBnkNNkz故 选 择最 小时 即的 倍 数必 须 是九、解“立几”题例 11 .ABCD 是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱1DCBA称为“走完一段” 。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是 它,11DA.1B们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必须是异面直线（其中 .设2ii )Ni黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶
17、点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B） ； （C） ； （D）0.3解：依条件列出白蚁的路线 CBA111立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后,1必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四43段后黑蚁在 点，白蚁在 C 点，故所求距离是1D.2例 12、已知定义在 R上的偶函数 ()fx满足 ()(1ffx对于 R恒成立，且 ()0fx，10则 (19)f 解析由 (2)(1fxf得到 )(12(xff，从而得 )(4(xff，可见 )(xf是以 4为周期的函数，从而 )3(
18、94()(fff，又由已知等式得 )1(3ff又由()fx是 R上的偶函数得 )1，又在已知等式中令 1x得 )(f，即1，所以 )9(f函数的周期公式推导方法f(x+a)= -f(x) ,f(x+a)= ,f(x+a)=- , 这几个式子的周期为什么是 2a?1f(x)1f(x)1. f(x+a)= -f(x) 2. f(x+a)= 1f(x)3. f(x+a)= - f()4. f(x+a)= x+1f()-5. f(x+a)= f(x+a)= f()6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a)这几个式子的周期为什么是 2a?推导步骤如下1.f(x+a)= -f(x) .(1)两边 x 用 x-a 代左边=f(x)= 右边 = -f(x-a).(2)把(2)带入(1)得 f(x+a)= -f(x)= f(x-a)即 f(x+a)=f(x-a)
