1、第7章：算法基础,算法是一个程序的灵魂，它是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。具体衡量标准包括时间复杂度和空间复杂度。基本有数值和非数值两种分类。,目录,7.1算法 7.2算法评价 7.3常用算法 7.4具体算法实例,7.1 算法概述,例子: 从10个数中挑选出最大的数具体思路：可以用“打擂台”来比喻， 先有任意一个人在台上，然后第二个人与他比武, 胜者留在台上，如此继续，直到第十个人比较为止 （一共比9次）最后留在台上者为胜。,用计算机算法描述： （1）选数放在A中，设一记数器N，N=0。 （2）将下一个数与A中的数相比，大者放入A中。 （3）使N的值增加1（比较次数）。
2、（4）如果N的值小于9，则执行第（2）步， 如果的值大于或等于9，停止循环， 此时A中的数是最大的数。,算法是一个程序的灵魂，编程工具可以变，用户接口可以变， 但一个程序的核心永远是它的算法和数据结构。,算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。 通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法后者是操作实现的算法。,算法特征 有穷性 确切性 输入 输出 可行性,常用的算法设计方法数值算法如迭代法、递归法等非数值算法如分治法、贪心法等,7.2 算法评价,算法评价标准 算法是正确的 执行算法所耗费的时间。 执行
3、算法所耗费的存储空间，其中主要考虑辅助存储空间。 算法应易于理解、易于编码、易于调试。,7.3 常用的算法,穷举法 迭代法 递归法 递推法 贪心法 分治法,7.3.1 穷举法,【例7-1】设有A、B、C、D四个数都在116范围内。 要求打印出4个数都不相同时，其和为34的所有值。,算法分析：最直接的想法是设置A、B、C、D四个变量， 都从116循环。但这需判断A、B、C、D四数有所重 复的情况。我们可以加上一定的限制条件，ABCD， 设ABCD，这样可以设A的初值为1，B的初值为A+1， C的初值为B+1，D的初值为C+1。每一个循环的终值 （可能的最大数）我们也可以计算出来。A+A+1+A+
4、2+A+3=34， 故A=7；1+B+B+1+B+2=34，故B=10；1+2+C+ C+1=34， 故C=15；D=C+1，故D=16。,7.3.2 迭代法,迭代法适用于方程（或方程组）求解，是使用间接方法求方程近似根的一种常用算法。,算法分析： 1首先选一个x的近似根x0，从x0出发，代入右面函数，求解方程f1(x)=f2(x0)得到下一个近似根x1。 2将上次近似根x1代入右面函数，求解方程f1(x)=f2(x1)，得到另一个近似根x2。 3重复2的计算，得到一系列的近似根x0，x1，x2，xi， xi+1，xn，若方程有根。这数列收敛于方程的根。 如满足 xn-xn-1，则认为xn是方
5、程的近似根。,【例7-2】用迭代法求方程的根 f(x)=x+ex=0,7.3.3 递归法,程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。一个比较经典的描述是老和尚讲故事，他说从前有座山， 山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，他说从前有座山， 山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，他说从前有座山， 。这样没完没了地反复讲故事，直到最后老和尚烦了 停下来为止。,递归的关键在于找出递归方程式和递归终止条件。 即老和尚反复讲故事这样的递归方程式要有， 最后老和尚烦了停下来这样的递归的终止条件也要有,【例7-3】裴波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)；f(0)=1；f(1)=2 【例7-
6、4】梵塔问题：有n个半径各不相同的圆盘，按半径从大到小，自下而上依次套在A柱上，另外还有B、C两根空柱。要求将A柱上的n个圆盘全部搬到C柱上去，每次只能搬动一个盘子，且必须始终保持每根柱子上是小盘在上，大盘在下。,7.3.4 递推法,【例7-6】猴子吃桃小猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃掉了一半， 还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半， 又多吃一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半，又多吃一个。 到第10天早上猴子想再吃时，见到只剩下一个桃子了。问第一天 猴子共摘了多少个桃子。这是典型的倒推问题。从最后一天起逐天推算出前一天的桃子数 ，直到推出第1天为止。设第n天桃子数为
7、x0，已知它是前一天的 桃子数xn-1的一半再减去1， 即：x(n)=1/2*x(n-1)-1利用此公式可以从第n天的桃子数推出其前一天的桃子数。边界条件为：x(10)=1,7.3.5 贪心法,贪心法的基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近 给定的目标，以尽可能快的求得更好的解。当达到某算法 中的某一步不能再继续前进时，算法停止。该算法存在问题： 不能保证求得的最后解是最佳的，不能用来求最大或最小解 问题，只能求满足某些约束条件的可行解的范围。,实现该算法的过程： （1）从问题的某一初始解出发。 （2）while能朝给定总目标前进一步do。 （3）求出可行解的一个解元素。 （4）由所有解元
8、素组合成问题的一个可行解。,【例7-7】删数问题 键盘输入一个高精度的正整数N，去掉其中任意S个数字后使 剩下的数最小。例如：N=175438、S=4，可以删去7、5、4、8、得到13。分析：很容易想到用贪心法，但是贪心法标准是什么呢？ 删S次，每次删的数要使剩下的数尽量小。例如上面的例子，第一次删7，至少比第一次删1、5、4、3、8好！这样，删数过程是：175438 15438 1438 138 13 实现很简单，就是从左向右找到第一个i，使nini+1，如果找到了，就删第i个，否则删最后一位。这里一次选择的i是2,2,2,3,因此解向量是：(2,2,2,3),7.3.6 贪心法,贪心法的基
9、本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近 给定的目标，以尽可能快的求得更好的解。当达到某算法 中的某一步不能再继续前进时，算法停止。该算法存在问题： 不能保证求得的最后解是最佳的，不能用来求最大或最小解 问题，只能求满足某些约束条件的可行解的范围。,实现该算法的过程： （1）从问题的某一初始解出发。 （2）while能朝给定总目标前进一步do。 （3）求出可行解的一个解元素。 （4）由所有解元素组合成问题的一个可行解。,7.3.6 分治法,分治的基本思想是将一个规模为n的问题分解 为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立 且与原问题相同。找出各部分的解，然后把各部分 的解组合成整个问题的解。
10、解决算法实现的同时， 需要估算算法实现所需时间。分治算法时间是这样 确定的：解决子问题所需的工作总量（由子问题的 个数、解决每个子问题的工作量决定）合并所有子 问题所需的工作量。分治法是把任意大小问题尽可 能地等分成两个子问题的递归算法分治的具体过程：,begin 开始if 问题不可分 then 返回问题解else begin从原问题中划出含一半运算对象的子问题1；递归调用分治法过程，求出解1；从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；递归调用分治法过程，求出解2； 将解1、解2组合成整个问题的解； end;end; 结束,【例7-8】金块问题 老板有一袋金块（共n块，n是2的幂（n2），将有
11、两名最优秀的雇员每人得到其中的一块，排名第一的得到最重的那块，排名第二的雇员得到袋子中最轻的金块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。 分析：问题可以简化为：在含n（n是2的幂（n2）个元素的集合中寻找极大元和极小元。明显的方法是逐个的进行比较查找。,7.4 应用实例,简易赛车游戏算法 五子棋算法 加密/解密算法,7-4-1 简易赛车游戏算法,简单的游戏往往更耐玩，所谓的赛车也只有4个方块。 第一步，绘制对象：用函数drawcar()画赛车，drawway(n)画跑道的第n层。 第二步，接受控制：Form的KeyPreview属性要设为true，在Form_Key
12、Press函数中通过改变全局变量cx来控制赛车的位置。 第三步，游戏循环：作为即时游戏，必须要有一个Timer，并在其事件Timer1_Timer()中绘制所有对象和进行碰撞检测。本例中，绘图部分写在了Timer1_Timer()中，碰撞测试放在了test()中。这也是所有即时游戏所共通的框架。当然，我们往往还是根据具体的设计作一些变通，发挥一些技巧，比如这里设计的跑道是随机产生的，这就要通过一点技巧以便既让玩家感到挑战，又不至于出现不可逾越的难关,7-4-2 五子棋算法,五子棋的核心算法，由6个基本功能模块构成，各模块详细分析如下： （1）初始化：在屏幕上画出棋盘。 （2）主循环控制模块：控
13、制下棋顺序，当轮到某方下子时，负责将程序转到相应的模块中去，主要担当一个调度者的角色。 （3）玩家下子：当轮到玩家下时，您通过键盘或鼠标在棋盘上落子，程序会根据该点的位置记录2，以表明该子是玩家下的。 （4）盘面分析填写棋型表：本程序核心模块之一，人工智能算法的根本依据！其具体实现方法如下：您在下五子棋时，一定会先根据棋盘上的情况，找出当前最重要的一些点位，如“活三”、“冲四”等；然后再在其中选择落子点。但是，电脑不会像人一样分析问题，要让它知道哪是“活三”、哪是“冲四”，就得在棋盘上逐点计算，一步一步的教它。 （5）电脑下子：有了上面填写的两张棋型表，现在要做的就是让电脑知道在哪一点下子了。其中最简单的计算方法，就是遍历棋型表找出其中数值最大的一点，在该点下子即可。但这种算法的弱点非常明显，只顾眼前利益，不能顾全大局，这就和许多五子棋初学者一样犯了“目光短浅”的毛病。 （6）胜负判断：某方形成五子连即获胜；若黑棋走出“双三”、“双四”或长连即以禁手判负。,7-4-3 加密/解密,本算法主要是进行目前流行的加解密的一道简单实用算法,本章结束,
